22.3 实际问题与二次函数同步练习（含解析）

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人教版九年级上
22.3实际问题与二次函数同步练习
一．选择题
1．（2020秋?九龙坡区期末）二次函数y＝﹣（x+1）2+6的最大值是（　　）
A．1
B．﹣1
C．﹣6
D．6
2．（2021?北京）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
3．（2020秋?沙坪坝区校级期中）如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣x2+26x（2≤x＜52）
B．y＝﹣x2+50x（2≤x＜52）
C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52）
D．y＝﹣x2+27x﹣52（2≤x＜52）
4．（2020秋?曾都区期末）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来（　　）
A．10s
B．20s
C．30s
D．40s
5．（2020秋?天长市期末）河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝﹣x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（　　）
A．﹣20m
B．20m
C．10m
D．﹣10m
6．（2020秋?思明区校级期末）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间t（单位：s）的函数关系式满足y＝﹣t2+60t，则飞机着陆至停下来滑行的距离是（　　）
A．25m
B．50m
C．625m
D．750m
7．（2021?杭州一模）一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高是2.44m，若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是（　　）
A．10m
B．8m
C．6m
D．5m
8．（2020秋?丽水期末）已知x＝t﹣1，y＝t+3，且﹣2≤t≤2，令S＝xy，则函数S的取值范围是（　　）
A．﹣4≤S≤5
B．﹣3≤S≤5
C．﹣4≤S≤﹣3
D．﹣4≤S≤0
9．（2021?雁塔区校级模拟）已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（　　）
A．3
B．﹣3或
C．3或﹣
D．﹣3或﹣
10．（2021?柳南区三模）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论：其中正确结论的个数是（　　）
①图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
②当﹣1＜x＜1或x＞3时，函数值随x值的增大而增大；
③当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
④当x＝1时，函数的最大值是4．
A．4
B．3
C．2
D．1
二．填空题
11．（2020秋?乳山市期末）二次函数y＝x2﹣2x﹣3（3≤x≤6）的最小值是　
　．
12．（2020秋?抚顺县期末）一辆汽车的行驶距离s（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝9t+t2，经过12秒汽车行驶了　
　．
13．（2021春?天心区期末）为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师对小明投掷铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣（x﹣2）2+2，由此可知小明此次投掷的成绩是
　
　．
14．（2020秋?路南区期末）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为
　
　．
15．（2020秋?浦北县期末）甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水平距离s（米）与其距地面高度h（米）之间的关系式为h＝﹣s2+s+，如图，已知球网AB距原点5米，乙（用线段CD表示）扣球的最大高度为2.25米，设乙的起跳点C的横坐标为m，若乙原地起跳．因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m的取值范围是　
　．
16．（2020秋?桐城市期末）若点P（a，b）在抛物线y＝﹣2x2+2x+1上，则a﹣b的最小值为　
　．
三．解答题
17．（2020秋?开封期末）在体育课训练期间，小亮练习实心球项目时，发现实心球的飞行路线是一条抛物线（不计空气阻力），实心球飞行高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，其中抛物线的最高点坐标为（4，3），请根据图象解答下列问题：
（1）小亮在训练过程中实心球飞行的最远距离为　
　m；
（2）求出实心球飞行高度y（m）与水平距离x（m）之间函数解析式；
（3）求出当y＝2.25时，相对应x的值，并说明它们的实际意义．
18．（2021春?浦江县期末）篮球运动员投篮后，球运动的路线为抛物线的一部分（如图），抛物线的对称轴为直线x＝2.5．
（1）求篮球运动路线的抛物线表达式和篮球在运动中离地面的最大高度．
（2）若篮筐离地面3.05m，离运动员投篮处水平距离为4.2m，问：篮球以该运动方式，能否投进篮筐？若能投进篮筐，请说明理由；若不能，则运动员应向前还是往后移动多少米后再投篮，刚好能使篮球投进篮筐？
19．（2020秋?浑源县期末）2021元旦前夕，某花店购进一批单价为4元/枝的玫瑰，按每枝10元的价格销售，每天能售出80枝．经市场调查发现这种玫瑰的销售单价每降低1元，平均每天就能多售出40枝．
（1）店家在每枝10元的基础上，将这种玫瑰的销售单价降低x元，则平均每天的销售量为　
　枝（用含x的代数式表示）；
（2）为了吸引顾客前来购买这种玫瑰需要采用更低的价格，并使得销售玫瑰每天的利润达到600元，则店家应将其销售单价降低多少元？
（3）当这种玫瑰的销售单价降低多少元时，才能使该花店销售玫瑰每天所获利润最大？最大利润是多少？
20．（2021?朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标；
（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；
（3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．
答案与解析
一．选择题
1．（2020秋?九龙坡区期末）二次函数y＝﹣（x+1）2+6的最大值是（　　）
A．1
B．﹣1
C．﹣6
D．6
【解析】解：二次函数y＝﹣（x+1）2+6，当x＝﹣1时，函数有最大值6，
故选：D．
2．（2021?北京）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
【解析】解：由题意得，
2（x+y）＝10，
∴x+y＝5，
∴y＝5﹣x，
即y与x是一次函数关系．
∵S＝xy
＝x（5﹣x）
＝﹣x2+5x，
∴矩形面积满足的函数关系为S＝﹣x2+5x，
即满足二次函数关系，
故选：A．
3．（2020秋?沙坪坝区校级期中）如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣x2+26x（2≤x＜52）
B．y＝﹣x2+50x（2≤x＜52）
C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52）
D．y＝﹣x2+27x﹣52（2≤x＜52）
【解析】解：y关于x的函数表达式为：y＝（50+2﹣x）x
＝﹣x2+26x（2≤x＜52）．
故选：A．
4．（2020秋?曾都区期末）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来（　　）
A．10s
B．20s
C．30s
D．40s
【解析】解：∵a＝﹣1.5＜0，
∴函数有最大值，
当t＝﹣＝﹣＝20（秒），
即飞机着陆后滑行20秒能停下来，
故选：B．
5．（2020秋?天长市期末）河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝﹣x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（　　）
A．﹣20m
B．20m
C．10m
D．﹣10m
【解析】解：由题意得，﹣4＝﹣x2，
解得，x＝±10，
即点A的坐标为（﹣10，﹣4），点B的坐标为（10，﹣4），
这时水面宽度AB为20m，
故选：B．
6．（2020秋?思明区校级期末）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间t（单位：s）的函数关系式满足y＝﹣t2+60t，则飞机着陆至停下来滑行的距离是（　　）
A．25m
B．50m
C．625m
D．750m
【解析】解：∵y＝60t﹣t2＝﹣（t﹣25）2+750，
∴当t＝25时，y取得最大值750，
即飞机着陆后滑行750米才能停下来，
故选：D．
7．（2021?杭州一模）一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高是2.44m，若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是（　　）
A．10m
B．8m
C．6m
D．5m
【解析】解：如图，建立直角坐标系，设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+3，
将（0，0）代入解析式得a＝，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣6）2+3，
当x＝10时，y＝，＜2.44，满足题意，
故选：A．
8．（2020秋?丽水期末）已知x＝t﹣1，y＝t+3，且﹣2≤t≤2，令S＝xy，则函数S的取值范围是（　　）
A．﹣4≤S≤5
B．﹣3≤S≤5
C．﹣4≤S≤﹣3
D．﹣4≤S≤0
【解析】解：∵x＝t﹣1，y＝t+3，
∴S＝xy＝（t﹣1）（t+3）＝t2+2t﹣3＝（t+1）2﹣4，
∴当t＝﹣1时，有最小值﹣4，
∵﹣2≤t≤2，
∴当t＝2时，有最大值5，
∴函数S的取值范围是﹣4≤S≤5，
故选：A．
9．（2021?雁塔区校级模拟）已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（　　）
A．3
B．﹣3或
C．3或﹣
D．﹣3或﹣
【解析】解：∵二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
①m＞0，抛物线开口向上，
x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣2，
解得：m＝3；
②m＜0，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，
∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣2，
解得：m＝﹣；
故选：C．
10．（2021?柳南区三模）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论：其中正确结论的个数是（　　）
①图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
②当﹣1＜x＜1或x＞3时，函数值随x值的增大而增大；
③当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
④当x＝1时，函数的最大值是4．
A．4
B．3
C．2
D．1
【解析】解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线x＝﹣＝1，故①正确；
令|x2﹣2x﹣3|＝0可得x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴（﹣1，0）和（3，0）是函数图象与x轴的交点坐标，
又对称轴是直线x＝1，
∴当﹣1＜x＜1或x＞3时，函数值y随x值的增大而增大，故②正确；
由图象可知（﹣1，0）和（3，0）是函数图象的最低点，则当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0，故③正确；
由图象可知，当x＜﹣1时，函数值随x的减小而增大，当x＞3时，函数值随x的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，
故当x＝1时的函数值4并非最大值，故④错误．
综上，只有④错误．
故选：B．
二．填空题
11．（2020秋?乳山市期末）二次函数y＝x2﹣2x﹣3（3≤x≤6）的最小值是　0　．
【解析】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴为x＝1，
∵3≤x≤6时，y随x的增大而增大，
∴x＝3时，有最小值，y最小值＝22﹣4＝0；
故答案为：0．
12．（2020秋?抚顺县期末）一辆汽车的行驶距离s（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝9t+t2，经过12秒汽车行驶了　180米　．
【解析】解：把把t＝12秒代入s＝9t+t2得，s＝0.5×122+9×12＝180（米），
答：经过12秒汽车行驶了180米，
故答案为：180米．
13．（2021春?天心区期末）为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师对小明投掷铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣（x﹣2）2+2，由此可知小明此次投掷的成绩是
　7　．
【解析】解：由题意，得
当y＝0时，﹣（x﹣2）2+2＝0，
化简，得：（x﹣2）2＝25，
解得：x1＝7，x2＝﹣3（舍去），
故答案为：7．
14．（2020秋?路南区期末）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为
　y＝﹣0.2x2+3.5　．
【解析】解：∵当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，
∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴设此抛物线的解析式为y＝ax2+3.5，
由图象可知，篮圈中心与y轴的距离为：4﹣2.5＝1.5（m），且篮圈中心距离地面高度为3.05m，
∴篮圈中心的坐标为（1.5，3.05），代入y＝ax2+3.5，得：
3.05＝a×1.52+3.5，
∴a＝﹣0.2，
∴y＝﹣0.2x2+3.5．
故答案为：y＝﹣0.2x2+3.5．
15．（2020秋?浦北县期末）甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水平距离s（米）与其距地面高度h（米）之间的关系式为h＝﹣s2+s+，如图，已知球网AB距原点5米，乙（用线段CD表示）扣球的最大高度为2.25米，设乙的起跳点C的横坐标为m，若乙原地起跳．因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m的取值范围是　5＜m＜4+　．
【解析】解：先求乙恰好扣中的情况：
在h＝﹣s2+s+中，当h＝2.25时
﹣m2+m+＝2.25
解得m＝4±
但扣球点必须在球网右边，即m＞5
∴m＝4﹣（舍去）
由于乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败
∴5＜m＜4+
故答案为：5＜m＜4+．
16．（2020秋?桐城市期末）若点P（a，b）在抛物线y＝﹣2x2+2x+1上，则a﹣b的最小值为　﹣　．
【解析】解：∵点P（a，b）在抛物线y＝﹣2x2+2x+1上，
∴b＝﹣2a2+2a+1，
∴a﹣b＝a﹣（﹣2a2+2a+1）＝2a2﹣a﹣1，
∵a﹣b＝2a2﹣a﹣1＝2（a﹣）2﹣，
∴a﹣b的最小值为﹣，
故答案为﹣．
三．解答题
17．（2020秋?开封期末）在体育课训练期间，小亮练习实心球项目时，发现实心球的飞行路线是一条抛物线（不计空气阻力），实心球飞行高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，其中抛物线的最高点坐标为（4，3），请根据图象解答下列问题：
（1）小亮在训练过程中实心球飞行的最远距离为　10　m；
（2）求出实心球飞行高度y（m）与水平距离x（m）之间函数解析式；
（3）求出当y＝2.25时，相对应x的值，并说明它们的实际意义．
【解析】解：（1）由图象可知，
实心球飞行的最远距离为10m，
故答案为：10；
（2）设实心球飞行高度y（m）与水平距离x（m）之间函数解析式为y＝a（x﹣h）2+b（a≠0），
把顶点坐标（4，3）代入得：
y＝a（x﹣4）2+3，
把（10，0）代入得：
0＝a（10﹣4）2+3，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣4）2+3＝﹣x2+x+；
（3）当y＝2.25时，
2.25＝﹣x2+x+，
解得x1＝1，x2＝7，
实际意义：
当水平距离为1m或7m时，实心球飞行高度为2.25m．
18．（2021春?浦江县期末）篮球运动员投篮后，球运动的路线为抛物线的一部分（如图），抛物线的对称轴为直线x＝2.5．
（1）求篮球运动路线的抛物线表达式和篮球在运动中离地面的最大高度．
（2）若篮筐离地面3.05m，离运动员投篮处水平距离为4.2m，问：篮球以该运动方式，能否投进篮筐？若能投进篮筐，请说明理由；若不能，则运动员应向前还是往后移动多少米后再投篮，刚好能使篮球投进篮筐？
【解析】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2.5）2+h，
将（0，2.25）和（3.5，3.3）代入，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5，（0≤x≤3.5），
当x＝2.5时，y最大，最大值为3.5m，
∴篮球在运动中离地面的最大高度为3.5m；
（2）不能，
∵篮筐离地面3.05m，
∴3.05＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5，
解得：x1＝1，x2＝4，
∴抛物线向右平移0.2m，即运动员应向前移动0.2m，
19．（2020秋?浑源县期末）2021元旦前夕，某花店购进一批单价为4元/枝的玫瑰，按每枝10元的价格销售，每天能售出80枝．经市场调查发现这种玫瑰的销售单价每降低1元，平均每天就能多售出40枝．
（1）店家在每枝10元的基础上，将这种玫瑰的销售单价降低x元，则平均每天的销售量为　（80+40x）　枝（用含x的代数式表示）；
（2）为了吸引顾客前来购买这种玫瑰需要采用更低的价格，并使得销售玫瑰每天的利润达到600元，则店家应将其销售单价降低多少元？
（3）当这种玫瑰的销售单价降低多少元时，才能使该花店销售玫瑰每天所获利润最大？最大利润是多少？
【解析】解：（1）由题意得：店家在每枝10元的基础上，将这种玫瑰的销售单价降低x元，则平均每天的销售量为：（80+40x）枝，
故答案为：（80+40x）；
（2）根据题意，得（10﹣4﹣x）（80+40x）＝600，
解，得x1＝1，x2＝3，
为了吸引顾客x＝1舍去，
∴店家应将其销售单价降低3元可使得该玫瑰每天的利润达到600元；
（3）设销售玫瑰每天所获利润为w元，
则w＝（10﹣4﹣x）（80+40x）＝﹣40x2+160x+480＝﹣40（x﹣2）2+640，
∵a＝﹣40＜0，
∴抛物线开口向下，y有最大值．
当x＝2时，y最大＝640．
∴当这种玫瑰的销售单价降低2元时，才能使该花店销售玫瑰每天所获利润最大，最大利润是640元．
20．（2021?朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标；
（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；
（3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．
【解析】解：（1）将x＝1代入抛物线y＝ax2+bx+a﹣4得，
y＝a+b+a﹣4＝2a+b﹣4，
∵对称轴是直线x＝1．
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝2a+b﹣4＝2a﹣2a﹣4＝﹣4，
∴抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）①a＜0时，抛物线开口向下，y的最大值是﹣4，
∵当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，
∴a＜0不合题意；
②a＞0时，抛物线开口向上，
∵对称轴是直线x＝1.1到﹣2的距离大于1到3的距离，
∴x＝﹣2时，y的值最大，
∴y＝4a﹣2b+a﹣4＝5a﹣2b﹣4＝5，
将b＝﹣2a代入得，a＝1；
（3）①t＜0时，
∵a＝1，
∴b＝﹣2a＝﹣2，
∴y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，
∵m﹣n＝3，
∴t2﹣2t﹣3﹣[（t+1）2﹣2（t+1）﹣3]＝3，解得：t＝﹣1；
②≤t＜1时，
∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝﹣4，
∵m﹣n＝3，
∴（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±（不成立）；
③0＜t≤时，
y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝﹣4，
m﹣n＝t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±+1（不成立）；
④t≥1时，
∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝t2﹣2t﹣3，
m﹣n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝3，解得：t＝2；
综上，t的值为﹣1或2．
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精品试卷·第
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