23.1 图形的旋转同步练习（含解析）
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人教版九年级上
23.1图形的旋转同步练习
一．选择题
1．（2021春?淮阳区校级期末）下列图形分别绕某个点旋转120°后不能与自身重合的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2021春?凤翔县期末）下列运动形式属于旋转的是（ ）
A．在空中上升的氢气球
B．飞驰的火车
C．时钟上钟摆的摆动
D．运动员掷出的标枪
3．（2020春?英德市期末）将图中可爱的“小鸭子”图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2021春?平顶山期末）如图，将线段AB先向左平移3个单位，再绕原点O逆时针旋转90°，得到线段A'B'，则点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣2）
B．（﹣2，﹣3）
C．（﹣3，﹣3）
D．（﹣3，3）
5．（2021春?巴中期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝65°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转n度（0＜n＜180）得到△ADE，若DE∥AB，则n的值为（ ）
A．65
B．75
C．85
D．130
6．（2021春?曹县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，若点B′恰好落在BC边上，AB′＝CB′，则∠C′的度数为（ ）
A．18°
B．20°
C．22°
D．24°
7．（2021春?单县期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D是斜边上任意一点，将点D绕点C逆时针旋转60°得到点E，则线段DE长度的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．3
8．（2020秋?南充期末）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．（2021春?安丘市期末）如图，点E在边长为5的正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作FE的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若CG＝2，则CE的长为（ ）
A．
B．
C．4
D．
10．（2021?和平区二模）如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），D（6，6），连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（ ）
A．（2，0）
B．（4，2）
C．（2，4）
D．（6，0）
二．填空题
11．（2021?庆阳一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则BB′的长度为
．
12．（2020秋?瑞安市期末）如图，在△ABC中，∠C＝30°，∠ABC＝100°，将△ABC绕点A顺时针旋转至△ADE（点B与点D对应），连接BD，若BD∥AE，则∠CAD的度数为
度．
13．（2021春?临邑县期末）旋转变换在几何证明或计算中有很重要的应用，利用旋转解决问题：如图，P为正方形ABCD内一点，PA＝，PB＝3，PC＝5，则∠APB＝
．
14．（2021春?九江期末）如图所示，△ADE是将△ABC绕点A顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°）得到的，AC与DE相交于点M，其中∠B＝70°，∠C＝30°，现要使得△ADM为等腰三角形，则旋转角α的度数为
．
15．（2021?越秀区校级三模）一块直角三角板ADC中，D为直角顶点，∠A＝30°，将它绕点A顺时针旋转60°，得到△AEB，其中E为直角顶点，则∠BAD＝
．
三．解答题
16．（2020秋?汕尾期末）如图，等腰三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α．作AD⊥BC于点D，将线段BD绕着点B顺时针旋转角α后得到线段BE，连接CE．
（1）求证：BE⊥CE；
（2）延长线段AD，交线段CE于点F．求∠CFA的度数（用含有α的式子表示）．
17．（2021春?沈河区期中）在△ABC中，∠B+∠ACB＝30°，AB＝4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD中点，如图．
（1）旋转中心是
，旋转角的大小是
．
（2）求出∠BAE的度数和AE的长．
18．（2020秋?南充期末）如图，P是正△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．将△ABP逆时针旋转到△ACQ的位置．
（1）求PQ的长．
（2）求∠APB的度数．
19．（2021春?靖江市月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
（3）若把直线FD绕点F旋转，直线DF和直线BE相交于点M，当DF和三角形ABC的一边平行时，请直接写出∠FME的度数．
20．（2020秋?历城区期末）如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝5，PB＝4，PC＝3，将△APB绕点B逆时针旋转60°，得到△CQB．
（1）求点P与点Q之间的距离；
（2）求∠BPC的度数；
（3）求△ABC的面积．
答案与解析
一．选择题
1．（2021春?淮阳区校级期末）下列图形分别绕某个点旋转120°后不能与自身重合的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：A、等边三角形绕它的中心旋转120°能与本身重合，本选项不符合题意．
B、圆绕圆心旋转任意角度能与本身重合，本选项不符合题意．
C、这个图形绕中心性质120°能与本身重合，本选项不符合题意．
D、五角星绕中心旋转72°与本身重合，本选项符合题意．
故选：D．
2．（2021春?凤翔县期末）下列运动形式属于旋转的是（ ）
A．在空中上升的氢气球
B．飞驰的火车
C．时钟上钟摆的摆动
D．运动员掷出的标枪
【解析】解：A、在空中上升的氢气球是平移，故此选项错误；
B、飞驰的火车是平移，故此选项错误；
C、时钟上钟摆的摆动，属于旋转，故此选项正确；
D、运动员掷出的标枪是平移，故此选项错误．
故选：C．
3．（2020春?英德市期末）将图中可爱的“小鸭子”图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：如图所示：“小鸭子”图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是：．
故选：C．
4．（2021春?平顶山期末）如图，将线段AB先向左平移3个单位，再绕原点O逆时针旋转90°，得到线段A'B'，则点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣2）
B．（﹣2，﹣3）
C．（﹣3，﹣3）
D．（﹣3，3）
【解析】解：观察图象可知，B′（﹣2，﹣3）．
故选：B．
5．（2021春?巴中期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝65°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转n度（0＜n＜180）得到△ADE，若DE∥AB，则n的值为（ ）
A．65
B．75
C．85
D．130
【解析】解：∵在△ABC中，∠BAC＝65°，∠C＝20°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣65°﹣20°＝95°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转n角度（0＜n＜180°）得到△ADE，
∴∠ADE＝∠ABC＝95°，
∵DE∥AB，
∴∠ADE+∠DAB＝180°，
∴∠DAB＝180°﹣∠ADE＝85°，
∴旋转角n的度数是85°，
故选：C．
6．（2021春?曹县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，若点B′恰好落在BC边上，AB′＝CB′，则∠C′的度数为（ ）
A．18°
B．20°
C．22°
D．24°
【解析】解：∵AB′＝CB′，
∴∠C＝CAB′，
∴∠AB′B＝∠C+∠CAB′＝2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′，
∴∠C＝∠C′，AB＝AB′，
∴∠B＝∠AB′B＝2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，
∴3∠C＝180°﹣108°，
∴C＝24°，
∴∠C′＝∠C＝24°，
故选：D．
7．（2021春?单县期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D是斜边上任意一点，将点D绕点C逆时针旋转60°得到点E，则线段DE长度的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【解析】解：由旋转的性质得，CD＝CE，∠DCE＝60°，
∴△CDE为等边三角形，
∴CD＝CE＝DE，
当DE最短，CD最短，
当CD⊥AB时，CD最短，
此时S△ABC＝AC?BC＝AB?CD，
即AC?BC＝AB?CD，
在Rt△ABC中，∠ACD＝90°，AB＝5，BC＝3，
由勾股定理得，AC＝4，
∴3×4＝5CD，
∴CD＝，
∴线段DE长度的最小值是，
∴故选：A．
8．（2020秋?南充期末）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】解：如图，
绕A点逆时针旋转90°，可到正方乙的位置；
绕C点顺时针旋转90°，可到正方乙的位置；
绕AC的中点B旋转180°，可到正方乙的位置；
故选：C．
9．（2021春?安丘市期末）如图，点E在边长为5的正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作FE的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若CG＝2，则CE的长为（ ）
A．
B．
C．4
D．
【解析】解：如图所示，连接EG，
由旋转可得，△ADE≌△ABF，
∴AE＝AF，DE＝BF，
又∵AG⊥EF，
∴H为EF的中点，
∴AG垂直平分EF，
∴EG＝FG，
设CE＝x，则DE＝5﹣x＝BF，FG＝8﹣x，
∴EG＝8﹣x，
∵∠C＝90°，
∴Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即x2+22＝（8﹣x）2，
解得x＝，
∴CE的长为，
故选：B．
10．（2021?和平区二模）如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），D（6，6），连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（ ）
A．（2，0）
B．（4，2）
C．（2，4）
D．（6，0）
【解析】解：观察图象可知，旋转中心P的坐标为（4，2）．
故选：B．
二．填空题
11．（2021?庆阳一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则BB′的长度为
6 ．
【解析】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°，AB＝2AC＝6，
∵将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，
∴∠BAB'＝∠CAC'＝60°，AB＝AB'，
∴△ABB'是等边三角形，
∴BB'＝AB＝6，
故答案为：6．
12．（2020秋?瑞安市期末）如图，在△ABC中，∠C＝30°，∠ABC＝100°，将△ABC绕点A顺时针旋转至△ADE（点B与点D对应），连接BD，若BD∥AE，则∠CAD的度数为 30 度．
【解析】解：在△ABC中，∠C＝30°，∠ABC＝100°，
∴∠BAC＝50°，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转至△ADE，
∴AD＝AB，∠DAE＝∠BAC＝50°，
∵BD∥AE，
∴∠BDA＝∠DAE＝50°，
∵AD＝AB，
∴∠ADB＝∠ABD＝50°，
∴∠BAD＝80°，
∴∠CAD＝30°，
故答案为：30．
13．（2021春?临邑县期末）旋转变换在几何证明或计算中有很重要的应用，利用旋转解决问题：如图，P为正方形ABCD内一点，PA＝，PB＝3，PC＝5，则∠APB＝ 135° ．
【解析】解：如图1，将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°，使AB与BC重合，连接PP'，
则∠PBP′＝90°，BP′＝BP＝3，P′C＝PA＝；
由勾股定理得：PP′2＝32+32＝18；
∵P′C2＝（）2＝7，PC2＝52＝25，
∴PC2＝PP′2+P′C2，
∴∠PP′C＝90°；
∵∠BP′P＝45°，
∴∠BP′C＝135°，∠APB＝∠BP′C＝135°．
故答案为135°．
日期：2021/8/28
15:21:54；用户：17705819008；邮箱：17705819008；学号：26285814．（2021春?九江期末）如图所示，△ADE是将△ABC绕点A顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°）得到的，AC与DE相交于点M，其中∠B＝70°，∠C＝30°，现要使得△ADM为等腰三角形，则旋转角α的度数为
10°或40°或25° ．
【解析】解：∵△ADE是将△ABC绕点A顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°）得到的，
∴∠D＝∠B＝70°，∠C＝E＝30°，
∴∠BAC＝∠DAE＝80°，
∴∠DAM＝80°﹣α，
∴∠AMD＝30°+α，
∵△ADM为等腰三角形，
当80°﹣α＝70°时，α＝10°，
当30°+α＝70°时，α＝40°，
当80°﹣α＝30°+α时，α＝25°，
∴△ADM为等腰三角形，α＝10°或40°或25°．
故答案为：10°或40°或25°．
15．（2021?越秀区校级三模）一块直角三角板ADC中，D为直角顶点，∠A＝30°，将它绕点A顺时针旋转60°，得到△AEB，其中E为直角顶点，则∠BAD＝ 30°或90° ．
【解析】解：根据题意分两种情况画图：
①如图，∵∠DAC＝30°，将它绕点A顺时针旋转60°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°；
②如图，∵∠DAC＝30°，将它绕点A顺时针旋转60°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝90°；
则∠BAD＝30°或90°．
故答案为：30°或90°．
三．解答题
16．（2020秋?汕尾期末）如图，等腰三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α．作AD⊥BC于点D，将线段BD绕着点B顺时针旋转角α后得到线段BE，连接CE．
（1）求证：BE⊥CE；
（2）延长线段AD，交线段CE于点F．求∠CFA的度数（用含有α的式子表示）．
【解析】（1）证明：∵线段BD绕点B顺时针旋转角α得到线段BE，
∴BD＝BE，∠DBE＝α，
∵∠ABC＝α，
∴∠ABD＝∠CBE，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
在△ABD与△CBE中，
，
∴△ADB≌△CEB（SAS），
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
∴BE⊥CE；
（2）解：如图，由（1）得：△ADB≌△CEB，
∴∠DAB＝∠ECB，
∵∠ADB＝∠CDF，∠CFA＝180°﹣∠CDF﹣∠ECB，∠CBA＝180°﹣∠ADB﹣∠DAB，
∴∠CFA＝∠CBA＝α．
17．（2021春?沈河区期中）在△ABC中，∠B+∠ACB＝30°，AB＝4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD中点，如图．
（1）旋转中心是 A ，旋转角的大小是 150° ．
（2）求出∠BAE的度数和AE的长．
【解析】解：（1）由图可得，当，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，
A，B，C的对应点分别为A，D，E，
∴旋转中线是点A，∠BAC是旋转角，
在△ABC中，∠B+∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠BAC）＝150°，
故答案为：A，150°；
（2）∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，
∴△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE＝150°，AB＝AD＝4，
∴∠BAE＝360°﹣∠BAC﹣∠DAE＝60°，
∵C是AD的中点，
∴AC＝CD＝2，
∵△ABC≌△ADE，
∴AE＝AC＝2，
即∠BAE＝60°，AE＝2．
18．（2020秋?南充期末）如图，P是正△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．将△ABP逆时针旋转到△ACQ的位置．
（1）求PQ的长．
（2）求∠APB的度数．
【解析】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，BA＝BC，
∵将△ABP逆时针旋转到△ACQ的位置，
∴△ABP≌△ACQ，
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ，
∴∠PAQ＝∠BAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴PQ＝AP＝3；
（2）由（1）知∠AQP＝60°，
∵△ABP≌△ACQ，
∴BP＝CQ＝4，∠APB＝∠AQC，
∵PC＝5，
∴PQ2+CQ2＝CP2，
∴△PCQ是直角三角形，且∠PQC＝90°，
∴∠AQC＝∠PQC+∠AQP＝150°，
∴∠APB＝150°．
19．（2021春?靖江市月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
（3）若把直线FD绕点F旋转，直线DF和直线BE相交于点M，当DF和三角形ABC的一边平行时，请直接写出∠FME的度数．
【解析】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，
∴∠CBD＝130°，
∵BE是∠CBD平分线，
∴∠CBE＝∠CBD＝65°；
（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，
∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°，
∵DF∥BE，
∴∠F＝∠CEB＝25°；
（3）当FD与BC平行时，如图：
则∠FME＝∠CBE，
∴∠FME＝65°，
当FM与AB平行时，如图：
则∠FME＝∠ABE＝115°，
∵F在AC上，
∴FM与AC平行不存在，
综上：∠FME＝65°或115°．
20．（2020秋?历城区期末）如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝5，PB＝4，PC＝3，将△APB绕点B逆时针旋转60°，得到△CQB．
（1）求点P与点Q之间的距离；
（2）求∠BPC的度数；
（3）求△ABC的面积．
【解析】解：（1）连接PQ，如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，BA＝BC，
∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的，
∴△QCB≌△PAB，
∴BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，
∵BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴PQ＝PB＝4；
（2）∵QC＝5，PC＝3，PQ＝4，
而32+42＝52，
∴PC2+PQ2＝CQ2，
∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，
∵△PBQ是等边三角形，
∴∠BPQ＝60°，
∴∠BPC＝∠BPQ+∠QPC＝60°+90°＝150°；
（3）如图2，过点C作CH⊥BP，交BP的延长线于H，
∵∠BPC＝150°，
∴∠CPH＝30°，
∴CH＝PC＝，PH＝HC＝，
∴BH＝4+，
∴BC2＝BH2+CH2＝+（4+）2＝25+12，
∵S△ABC＝BC2，
∴S△ABC＝（25+12）＝+9．
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精品试卷·第
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人教版九年级上
23.1图形的旋转同步练习
一．选择题
1．（2021春?淮阳区校级期末）下列图形分别绕某个点旋转120°后不能与自身重合的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2021春?凤翔县期末）下列运动形式属于旋转的是（ ）
A．在空中上升的氢气球
B．飞驰的火车
C．时钟上钟摆的摆动
D．运动员掷出的标枪
3．（2020春?英德市期末）将图中可爱的“小鸭子”图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2021春?平顶山期末）如图，将线段AB先向左平移3个单位，再绕原点O逆时针旋转90°，得到线段A'B'，则点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣2）
B．（﹣2，﹣3）
C．（﹣3，﹣3）
D．（﹣3，3）
5．（2021春?巴中期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝65°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转n度（0＜n＜180）得到△ADE，若DE∥AB，则n的值为（ ）
A．65
B．75
C．85
D．130
6．（2021春?曹县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，若点B′恰好落在BC边上，AB′＝CB′，则∠C′的度数为（ ）
A．18°
B．20°
C．22°
D．24°
7．（2021春?单县期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D是斜边上任意一点，将点D绕点C逆时针旋转60°得到点E，则线段DE长度的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．3
8．（2020秋?南充期末）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．（2021春?安丘市期末）如图，点E在边长为5的正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作FE的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若CG＝2，则CE的长为（ ）
A．
B．
C．4
D．
10．（2021?和平区二模）如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），D（6，6），连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（ ）
A．（2，0）
B．（4，2）
C．（2，4）
D．（6，0）
二．填空题
11．（2021?庆阳一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则BB′的长度为
．
12．（2020秋?瑞安市期末）如图，在△ABC中，∠C＝30°，∠ABC＝100°，将△ABC绕点A顺时针旋转至△ADE（点B与点D对应），连接BD，若BD∥AE，则∠CAD的度数为
度．
13．（2021春?临邑县期末）旋转变换在几何证明或计算中有很重要的应用，利用旋转解决问题：如图，P为正方形ABCD内一点，PA＝，PB＝3，PC＝5，则∠APB＝
．
14．（2021春?九江期末）如图所示，△ADE是将△ABC绕点A顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°）得到的，AC与DE相交于点M，其中∠B＝70°，∠C＝30°，现要使得△ADM为等腰三角形，则旋转角α的度数为
．
15．（2021?越秀区校级三模）一块直角三角板ADC中，D为直角顶点，∠A＝30°，将它绕点A顺时针旋转60°，得到△AEB，其中E为直角顶点，则∠BAD＝
．
三．解答题
16．（2020秋?汕尾期末）如图，等腰三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α．作AD⊥BC于点D，将线段BD绕着点B顺时针旋转角α后得到线段BE，连接CE．
（1）求证：BE⊥CE；
（2）延长线段AD，交线段CE于点F．求∠CFA的度数（用含有α的式子表示）．
17．（2021春?沈河区期中）在△ABC中，∠B+∠ACB＝30°，AB＝4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD中点，如图．
（1）旋转中心是
，旋转角的大小是
．
（2）求出∠BAE的度数和AE的长．
18．（2020秋?南充期末）如图，P是正△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．将△ABP逆时针旋转到△ACQ的位置．
（1）求PQ的长．
（2）求∠APB的度数．
19．（2021春?靖江市月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
（3）若把直线FD绕点F旋转，直线DF和直线BE相交于点M，当DF和三角形ABC的一边平行时，请直接写出∠FME的度数．
20．（2020秋?历城区期末）如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝5，PB＝4，PC＝3，将△APB绕点B逆时针旋转60°，得到△CQB．
（1）求点P与点Q之间的距离；
（2）求∠BPC的度数；
（3）求△ABC的面积．
答案与解析
一．选择题
1．（2021春?淮阳区校级期末）下列图形分别绕某个点旋转120°后不能与自身重合的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：A、等边三角形绕它的中心旋转120°能与本身重合，本选项不符合题意．
B、圆绕圆心旋转任意角度能与本身重合，本选项不符合题意．
C、这个图形绕中心性质120°能与本身重合，本选项不符合题意．
D、五角星绕中心旋转72°与本身重合，本选项符合题意．
故选：D．
2．（2021春?凤翔县期末）下列运动形式属于旋转的是（ ）
A．在空中上升的氢气球
B．飞驰的火车
C．时钟上钟摆的摆动
D．运动员掷出的标枪
【解析】解：A、在空中上升的氢气球是平移，故此选项错误；
B、飞驰的火车是平移，故此选项错误；
C、时钟上钟摆的摆动，属于旋转，故此选项正确；
D、运动员掷出的标枪是平移，故此选项错误．
故选：C．
3．（2020春?英德市期末）将图中可爱的“小鸭子”图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：如图所示：“小鸭子”图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是：．
故选：C．
4．（2021春?平顶山期末）如图，将线段AB先向左平移3个单位，再绕原点O逆时针旋转90°，得到线段A'B'，则点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣2）
B．（﹣2，﹣3）
C．（﹣3，﹣3）
D．（﹣3，3）
【解析】解：观察图象可知，B′（﹣2，﹣3）．
故选：B．
5．（2021春?巴中期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝65°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转n度（0＜n＜180）得到△ADE，若DE∥AB，则n的值为（ ）
A．65
B．75
C．85
D．130
【解析】解：∵在△ABC中，∠BAC＝65°，∠C＝20°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣65°﹣20°＝95°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转n角度（0＜n＜180°）得到△ADE，
∴∠ADE＝∠ABC＝95°，
∵DE∥AB，
∴∠ADE+∠DAB＝180°，
∴∠DAB＝180°﹣∠ADE＝85°，
∴旋转角n的度数是85°，
故选：C．
6．（2021春?曹县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，若点B′恰好落在BC边上，AB′＝CB′，则∠C′的度数为（ ）
A．18°
B．20°
C．22°
D．24°
【解析】解：∵AB′＝CB′，
∴∠C＝CAB′，
∴∠AB′B＝∠C+∠CAB′＝2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′，
∴∠C＝∠C′，AB＝AB′，
∴∠B＝∠AB′B＝2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，
∴3∠C＝180°﹣108°，
∴C＝24°，
∴∠C′＝∠C＝24°，
故选：D．
7．（2021春?单县期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D是斜边上任意一点，将点D绕点C逆时针旋转60°得到点E，则线段DE长度的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【解析】解：由旋转的性质得，CD＝CE，∠DCE＝60°，
∴△CDE为等边三角形，
∴CD＝CE＝DE，
当DE最短，CD最短，
当CD⊥AB时，CD最短，
此时S△ABC＝AC?BC＝AB?CD，
即AC?BC＝AB?CD，
在Rt△ABC中，∠ACD＝90°，AB＝5，BC＝3，
由勾股定理得，AC＝4，
∴3×4＝5CD，
∴CD＝，
∴线段DE长度的最小值是，
∴故选：A．
8．（2020秋?南充期末）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】解：如图，
绕A点逆时针旋转90°，可到正方乙的位置；
绕C点顺时针旋转90°，可到正方乙的位置；
绕AC的中点B旋转180°，可到正方乙的位置；
故选：C．
9．（2021春?安丘市期末）如图，点E在边长为5的正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作FE的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若CG＝2，则CE的长为（ ）
A．
B．
C．4
D．
【解析】解：如图所示，连接EG，
由旋转可得，△ADE≌△ABF，
∴AE＝AF，DE＝BF，
又∵AG⊥EF，
∴H为EF的中点，
∴AG垂直平分EF，
∴EG＝FG，
设CE＝x，则DE＝5﹣x＝BF，FG＝8﹣x，
∴EG＝8﹣x，
∵∠C＝90°，
∴Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即x2+22＝（8﹣x）2，
解得x＝，
∴CE的长为，
故选：B．
10．（2021?和平区二模）如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），D（6，6），连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（ ）
A．（2，0）
B．（4，2）
C．（2，4）
D．（6，0）
【解析】解：观察图象可知，旋转中心P的坐标为（4，2）．
故选：B．
二．填空题
11．（2021?庆阳一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则BB′的长度为
6 ．
【解析】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°，AB＝2AC＝6，
∵将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，
∴∠BAB'＝∠CAC'＝60°，AB＝AB'，
∴△ABB'是等边三角形，
∴BB'＝AB＝6，
故答案为：6．
12．（2020秋?瑞安市期末）如图，在△ABC中，∠C＝30°，∠ABC＝100°，将△ABC绕点A顺时针旋转至△ADE（点B与点D对应），连接BD，若BD∥AE，则∠CAD的度数为 30 度．
【解析】解：在△ABC中，∠C＝30°，∠ABC＝100°，
∴∠BAC＝50°，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转至△ADE，
∴AD＝AB，∠DAE＝∠BAC＝50°，
∵BD∥AE，
∴∠BDA＝∠DAE＝50°，
∵AD＝AB，
∴∠ADB＝∠ABD＝50°，
∴∠BAD＝80°，
∴∠CAD＝30°，
故答案为：30．
13．（2021春?临邑县期末）旋转变换在几何证明或计算中有很重要的应用，利用旋转解决问题：如图，P为正方形ABCD内一点，PA＝，PB＝3，PC＝5，则∠APB＝ 135° ．
【解析】解：如图1，将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°，使AB与BC重合，连接PP'，
则∠PBP′＝90°，BP′＝BP＝3，P′C＝PA＝；
由勾股定理得：PP′2＝32+32＝18；
∵P′C2＝（）2＝7，PC2＝52＝25，
∴PC2＝PP′2+P′C2，
∴∠PP′C＝90°；
∵∠BP′P＝45°，
∴∠BP′C＝135°，∠APB＝∠BP′C＝135°．
故答案为135°．
日期：2021/8/28
15:21:54；用户：17705819008；邮箱：17705819008；学号：26285814．（2021春?九江期末）如图所示，△ADE是将△ABC绕点A顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°）得到的，AC与DE相交于点M，其中∠B＝70°，∠C＝30°，现要使得△ADM为等腰三角形，则旋转角α的度数为
10°或40°或25° ．
【解析】解：∵△ADE是将△ABC绕点A顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°）得到的，
∴∠D＝∠B＝70°，∠C＝E＝30°，
∴∠BAC＝∠DAE＝80°，
∴∠DAM＝80°﹣α，
∴∠AMD＝30°+α，
∵△ADM为等腰三角形，
当80°﹣α＝70°时，α＝10°，
当30°+α＝70°时，α＝40°，
当80°﹣α＝30°+α时，α＝25°，
∴△ADM为等腰三角形，α＝10°或40°或25°．
故答案为：10°或40°或25°．
15．（2021?越秀区校级三模）一块直角三角板ADC中，D为直角顶点，∠A＝30°，将它绕点A顺时针旋转60°，得到△AEB，其中E为直角顶点，则∠BAD＝ 30°或90° ．
【解析】解：根据题意分两种情况画图：
①如图，∵∠DAC＝30°，将它绕点A顺时针旋转60°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°；
②如图，∵∠DAC＝30°，将它绕点A顺时针旋转60°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝90°；
则∠BAD＝30°或90°．
故答案为：30°或90°．
三．解答题
16．（2020秋?汕尾期末）如图，等腰三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α．作AD⊥BC于点D，将线段BD绕着点B顺时针旋转角α后得到线段BE，连接CE．
（1）求证：BE⊥CE；
（2）延长线段AD，交线段CE于点F．求∠CFA的度数（用含有α的式子表示）．
【解析】（1）证明：∵线段BD绕点B顺时针旋转角α得到线段BE，
∴BD＝BE，∠DBE＝α，
∵∠ABC＝α，
∴∠ABD＝∠CBE，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
在△ABD与△CBE中，
，
∴△ADB≌△CEB（SAS），
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
∴BE⊥CE；
（2）解：如图，由（1）得：△ADB≌△CEB，
∴∠DAB＝∠ECB，
∵∠ADB＝∠CDF，∠CFA＝180°﹣∠CDF﹣∠ECB，∠CBA＝180°﹣∠ADB﹣∠DAB，
∴∠CFA＝∠CBA＝α．
17．（2021春?沈河区期中）在△ABC中，∠B+∠ACB＝30°，AB＝4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD中点，如图．
（1）旋转中心是 A ，旋转角的大小是 150° ．
（2）求出∠BAE的度数和AE的长．
【解析】解：（1）由图可得，当，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，
A，B，C的对应点分别为A，D，E，
∴旋转中线是点A，∠BAC是旋转角，
在△ABC中，∠B+∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠BAC）＝150°，
故答案为：A，150°；
（2）∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，
∴△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE＝150°，AB＝AD＝4，
∴∠BAE＝360°﹣∠BAC﹣∠DAE＝60°，
∵C是AD的中点，
∴AC＝CD＝2，
∵△ABC≌△ADE，
∴AE＝AC＝2，
即∠BAE＝60°，AE＝2．
18．（2020秋?南充期末）如图，P是正△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．将△ABP逆时针旋转到△ACQ的位置．
（1）求PQ的长．
（2）求∠APB的度数．
【解析】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，BA＝BC，
∵将△ABP逆时针旋转到△ACQ的位置，
∴△ABP≌△ACQ，
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ，
∴∠PAQ＝∠BAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴PQ＝AP＝3；
（2）由（1）知∠AQP＝60°，
∵△ABP≌△ACQ，
∴BP＝CQ＝4，∠APB＝∠AQC，
∵PC＝5，
∴PQ2+CQ2＝CP2，
∴△PCQ是直角三角形，且∠PQC＝90°，
∴∠AQC＝∠PQC+∠AQP＝150°，
∴∠APB＝150°．
19．（2021春?靖江市月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
（3）若把直线FD绕点F旋转，直线DF和直线BE相交于点M，当DF和三角形ABC的一边平行时，请直接写出∠FME的度数．
【解析】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，
∴∠CBD＝130°，
∵BE是∠CBD平分线，
∴∠CBE＝∠CBD＝65°；
（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，
∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°，
∵DF∥BE，
∴∠F＝∠CEB＝25°；
（3）当FD与BC平行时，如图：
则∠FME＝∠CBE，
∴∠FME＝65°，
当FM与AB平行时，如图：
则∠FME＝∠ABE＝115°，
∵F在AC上，
∴FM与AC平行不存在，
综上：∠FME＝65°或115°．
20．（2020秋?历城区期末）如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝5，PB＝4，PC＝3，将△APB绕点B逆时针旋转60°，得到△CQB．
（1）求点P与点Q之间的距离；
（2）求∠BPC的度数；
（3）求△ABC的面积．
【解析】解：（1）连接PQ，如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，BA＝BC，
∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的，
∴△QCB≌△PAB，
∴BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，
∵BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴PQ＝PB＝4；
（2）∵QC＝5，PC＝3，PQ＝4，
而32+42＝52，
∴PC2+PQ2＝CQ2，
∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，
∵△PBQ是等边三角形，
∴∠BPQ＝60°，
∴∠BPC＝∠BPQ+∠QPC＝60°+90°＝150°；
（3）如图2，过点C作CH⊥BP，交BP的延长线于H，
∵∠BPC＝150°，
∴∠CPH＝30°，
∴CH＝PC＝，PH＝HC＝，
∴BH＝4+，
∴BC2＝BH2+CH2＝+（4+）2＝25+12，
∵S△ABC＝BC2，
∴S△ABC＝（25+12）＝+9．
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