幂函数与函数应用
知识点详解
知识点1
幂函数
幂函数定义
一般地，形如的函数称为幂函数，是常数．自变量是幂的底数。
幂函数图像与性质
定义域
[0，＋∞)
值域
[0，＋∞)
[0，＋∞)
(0，＋∞)
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶
奇函数
偶函数
单调性
递增
(－∞，0)减
递增
[0，＋∞)
增
(－∞，0)减
(－∞，0)增
(0，＋∞)增
(0，＋∞)减
(0，＋∞)减
定点
(1，1)
这些函数虽然定义域不同，但有公共区间．
为了更好地观察函数图象特征，总结幂函数的性质，我们把6个幂函数的图象画在同一平面直角坐标系中．
虽然这6个幂函数图象所分布的象限不同，但是我们还是不难发现它们共同的特征．这6个幂函数在都有定义，图象都过点(1，1)．
注意到这6个幂函数在第一象限内的单调性的差异，性质总结如下：
在有定义，图象过点(1，1)；
在上是增函数
在上是减函数
图象过原点
知识点2
用函数模型解决实际问题
（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用分别表示问题中的变量；
（2）建立函数模型：将变量表示为的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；
（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.
二、例题解析
例1：幂函数的定义
（1）若函数是幂函数，在是增函数，则
A．
B．2
C．2或
D．0或2或
【答案】A
【解析】解：是幂函数，可得，解得或2．
当时，函数为在区间上单调递增，满足题意，
当时，函数为在上不是递增，不满足条件．故选：．
（2）已知幂函数的图象过点，则这个幂函数的解析式是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解：幂函数的图象过点，，解得，
（3）已知幂函数的图象过点，则 ．
【答案】8
【解析】设，图象过，则有，，故，故
例2：幂函数的图像与性质
（1）给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是
A．①，②，③，④
B．①，②，③，④
C．①，②，③，④
D．①，②，③，④
【答案】B
【解析】解：②的图象关于轴对称，②应为偶函数，故排除选项，
①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除
（2）如图所示，曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知分别取，1，，2四个值，则相应图象依次为 ．
【答案】故答案为：，，，．
【解析】解：由幂函数的图象与性质可得：从到指数依次增大，
分别取，1，，2四个值，则相应图象依次为，，，．
（3）已知幂函数的图象经过点．
（1）求幂函数的解析式；
（2）试求满足的实数的取值范围．
【答案】（1）幂函数；
（2）实数的取值范围是，．
【解析】解：（1）幂函数的图象经过点，，解得，
（2）不等式可化为，解得，
（4）幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：设幂函数，则，解得；
的单调递增区间是，故选：．
例3：函数应用
（1）设，则使函数的定义域为，且该函数为奇函数的值为
A．1或3
B．或1
C．或3
D．、1或3
【答案】A
【解析】解：当时，函数的定义域为，不满足定义域为；
当时，函数的定义域为且为奇函数，满足要求；
当函数的定义域为，不满足定义域为；
当时，函数的定义域为且为偶函数，不满足要求
当时，函数的定义域为且为奇函数，满足要求；
（2）当时，幂函数为减函数，则实数的值为
A．
B．
C．或
D．
【答案】A
【解析】解得：．故选：．
（3）若，则实数的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：由题意得：，解得：，故选：．
例4：函数实际问题应用
为保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如表：
每户每月用水量
水价
不超过的部分
3元
超过但不超过的部分
6元
超过的部分
9元
设某户居民本月实际用水量为（单位：，应交纳水费为（单位：元）．
（Ⅰ）求关于的函数解析式：
（Ⅱ）若某户居民本月交纳的水费为48元，求此户居民本月用水量．
【答案】见及解析
【解析】解：（Ⅰ）关于的函数解析式为：；
（Ⅱ）
，
故此户居民本月用水量为．
课堂练习
A类
1．已知点在幂函数的图象上，则的表达式为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：设幂函数为：，因为点在幂函数的图象上，
所以，解得，
函数的解析式为：．
2．已知幂函数的图象经过点，则的解析式为 ．
【答案】
【解析】解：设幂函数的解析式为，
幂函数图象过点，，即，，
幂函数的解析式为．故答案为：．
3．已知幂函数在上单调递减，则 ．
【答案】2
【解析】解：依题意幂函数幂函数在上单调递减，
，
解得或，
当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去
，
故答案为：2
4．幂函数的图象过点且，则实数的所有可能的值为
A．4或
B．
C．4或
D．或2
【答案】C
【解析】解：由于幂函数的解析式为，由图象过点可得，
，解得，
故或故选：．
5．如图，曲线与分别是函数和在第一象限内图象，则下列结论正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解：由题图象可知，两函数在第一象限内递减，故，．
取，则有，知，故故选：．
B类
6.满足不等式的实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解：函数为定义在上的增函数，若，
则，故实数的取值范围是，故选：．
7．某学生在假期进行某种小商品的推销，他利用所学知识进行了市场调查，发现这种商品当天的市场价格与他的进货量（件加上20成反比．已知这种商品每件进价为2元．他进100件这种商品时，当天卖完，利润为100元．若每天的商品都能卖完，求这个学生一天的最大利润是多少？获得最大利润时每天的进货量是多少件？
【解析】解：由题意，设市场价格元，他的进货量为件，则，
这种商品每件进价为2元．他进100件这种商品时，当天卖完，利润为100元，
，，利润，
设，则，
当且仅当，即，时，最大利润是160元．
课后作业
A类
1．幂函数的图象经过，则（3） ．
【答案】9
【解析】解：设幂函数，幂函数的图象经过，
，解得，，（3）．故答案为：9．
2．当时，幂函数为减函数，则实数的值为 ．
【答案】故答案为：
【解析】幂函数为减函数，则，解得：．
3．函数是幂函数且在上单调递减，则实数的值为 ．
【答案】2．
【解析】解：函数是幂函数，，解得或；
当时，，函数在上单调递减，满足题意；
当时，，函数不满足题意；综上，实数的值为2．
4．幂函数的图象关于轴对称，则实数 ．
【答案】根据幂函数的定义与性质，列方程求出的值，再验证即可．
【解析】解：函数是幂函数，，
解得或；
当时，函数的图象不关于轴对称，舍去；
当时，函数的图象关于轴对称；实数．
B类
5．若，则实数的取值范围
A．
B．，
C．，，
D．，
【答案】B
【解析】解：在定义域上是增函数，故有，解不等式组得．
6.某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为立方米，深为．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低（设蓄水池池底的相邻两边边长分别为，？最低总造价是多少？
【答案】见解析
【解析】解：设蓄水池池底的相邻两边边长分别为，，
根据题意，由体积为可知：
所以，
又，
，
，
当且仅当，时，上式成立，此时．
所以，将蓄水池的池底设计成边长为40米的正方形时总造价最低，最低总造价是278400．幂函数与函数应用
知识点详解
知识点1
幂函数
幂函数定义
一般地，形如的函数称为幂函数，是常数．自变量是幂的底数。
幂函数图像与性质
定义域
[0，＋∞)
值域
[0，＋∞)
[0，＋∞)
(0，＋∞)
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶
奇函数
偶函数
单调性
递增
(－∞，0)减
递增
[0，＋∞)
增
(－∞，0)减
(－∞，0)增
(0，＋∞)增
(0，＋∞)减
(0，＋∞)减
定点
(1，1)
这些函数虽然定义域不同，但有公共区间．
为了更好地观察函数图象特征，总结幂函数的性质，我们把6个幂函数的图象画在同一平面直角坐标系中．
虽然这6个幂函数图象所分布的象限不同，但是我们还是不难发现它们共同的特征．这6个幂函数在都有定义，图象都过点(1，1)．
注意到这6个幂函数在第一象限内的单调性的差异，性质总结如下：
在有定义，图象过点(1，1)；
在上是增函数
在上是减函数
图象过原点
知识点2
用函数模型解决实际问题
（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用分别表示问题中的变量；
（2）建立函数模型：将变量表示为的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；
（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.
二、例题解析
例1：幂函数的定义
（1）若函数是幂函数，在是增函数，则
A．
B．2
C．2或
D．0或2或
【答案】A
【解析】解：是幂函数，可得，解得或2．
当时，函数为在区间上单调递增，满足题意，
当时，函数为在上不是递增，不满足条件．故选：．
（2）已知幂函数的图象过点，则这个幂函数的解析式是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解：幂函数的图象过点，，解得，
（3）已知幂函数的图象过点，则 ．
【答案】8
【解析】设，图象过，则有，，故，故
例2：幂函数的图像与性质
（1）给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是
A．①，②，③，④
B．①，②，③，④
C．①，②，③，④
D．①，②，③，④
【答案】B
【解析】解：②的图象关于轴对称，②应为偶函数，故排除选项，
①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除
（2）如图所示，曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知分别取，1，，2四个值，则相应图象依次为 ．
【答案】故答案为：，，，．
【解析】解：由幂函数的图象与性质可得：从到指数依次增大，
分别取，1，，2四个值，则相应图象依次为，，，．
（3）已知幂函数的图象经过点．
（1）求幂函数的解析式；
（2）试求满足的实数的取值范围．
【答案】（1）幂函数；
（2）实数的取值范围是，．
【解析】解：（1）幂函数的图象经过点，，解得，
（2）不等式可化为，解得，
（4）幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：设幂函数，则，解得；
的单调递增区间是，故选：．
例3：函数应用
（1）设，则使函数的定义域为，且该函数为奇函数的值为
A．1或3
B．或1
C．或3
D．、1或3
【答案】A
【解析】解：当时，函数的定义域为，不满足定义域为；
当时，函数的定义域为且为奇函数，满足要求；
当函数的定义域为，不满足定义域为；
当时，函数的定义域为且为偶函数，不满足要求
当时，函数的定义域为且为奇函数，满足要求；
（2）当时，幂函数为减函数，则实数的值为
A．
B．
C．或
D．
【答案】A
【解析】解得：．故选：．
（3）若，则实数的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：由题意得：，解得：，故选：．
例4：函数实际问题应用
为保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如表：
每户每月用水量
水价
不超过的部分
3元
超过但不超过的部分
6元
超过的部分
9元
设某户居民本月实际用水量为（单位：，应交纳水费为（单位：元）．
（Ⅰ）求关于的函数解析式：
（Ⅱ）若某户居民本月交纳的水费为48元，求此户居民本月用水量．
【答案】见及解析
【解析】解：（Ⅰ）关于的函数解析式为：；
（Ⅱ）
，
故此户居民本月用水量为．
课堂练习
A类
1．已知点在幂函数的图象上，则的表达式为
A．
B．
C．
D．
2．已知幂函数的图象经过点，则的解析式为 ．
已知幂函数在上单调递减，则 ．
4．幂函数的图象过点且，则实数的所有可能的值为
A．4或
B．
C．4或
D．或2
B类
5．如图，曲线与分别是函数和在第一象限内图象，则下列结论正确的是
B．
C．
D．
6.满足不等式的实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
2．某学生在假期进行某种小商品的推销，他利用所学知识进行了市场调查，发现这种商品当天的市场价格与他的进货量（件加上20成反比．已知这种商品每件进价为2元．他进100件这种商品时，当天卖完，利润为100元．若每天的商品都能卖完，求这个学生一天的最大利润是多少？获得最大利润时每天的进货量是多少件？
课后作业
A类
1．幂函数的图象经过，则（3） ．
2．当时，幂函数为减函数，则实数的值为 ．
3．函数是幂函数且在上单调递减，则实数的值为 ．
B类
4．幂函数的图象关于轴对称，则实数 ．
5．若，则实数的取值范围
A．
B．，
C．，，
D．，
6.某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为立方米，深为．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低（设蓄水池池底的相邻两边边长分别为，？最低总造价是多少？
