函数单调性
一、知识点详解
知识点1
函数单调性的定义
增函数
减函数
定义
符号语言
设函数的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值
当时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数
当时，都
，那么就说函数在区间D上是减函数
图象语言
自左向右看图象逐渐上升
自左向右看图象逐渐下降
文字语言
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
单调性定义的两种变式：
设任意且，那么
上是增函数；
上是减函数．
②在上是增函数；
在上是减函数．
知识点2
利用定义证明函数单调性
1、作差法判断单调性的步骤：
①设自变量：设给定区间上的且
②作差比较大小：计算；
③定号：判断差的符号；
④下结论.
知识点3
单调性的应用
利用单调性定义判断单调性
利用单调性，求函数值域
一般地，设函数的定义域为，如果存在存在实数满足：
都有
（2），使得
那么我们称是函数的最大值
二、例题解析
例1：判断函数单调性
(1)下列函数中，在上为增函数的是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于为一次函数，在上为减函数，不符合题意；对于为二次函数，在上为减函数，不符合题意；对于为反比例函数，在上为增函数，符合题意；
对于当时，，函数在为减函数，不符合题意；
（2）已知函数，那么
A．当时，函数单调递增
B．当时，函数单调递减
C．当时，函数单调递增
D．当时，函数单调递减
【答案】A
【解析】解：因为函数的图象开口向上，关于对称，
所以其单调增区间为，单调减区间为．故选：．
（3）函数在上是减函数，则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：函数在上是减函数
例2：利用定义证明函数单调性
（1）．利用定义判断函数求在区间，上的单调性，并求该函数在，上的最大值和最小值．
【答案】减函数，该函数在，上的最大值为，最小值为．
【解析】解：设，，，且，则：
；
由，，，得，，；
；
在区间，上单调递减；
该函数在，上的最大值为，最小值为
(2).
已知函数．
（1）证明在上是减函数；
（2）当，时，求的最小值和最大值．
【答案】（1）略
（2）（3），（5）．
【解析】（1）证明：设，则
，，，，，
，，在上是减函数．
（2）解：，，在，上是减函数，
（3），（5）．
（3）已知函数（其中，为常数）的图象经过、两点．
求，的值
证明：函数在区间，上单调递增．
【答案】（Ⅰ），
（Ⅱ）略
【解析】解：（Ⅰ）函数的图象经过、两点，得，，
函数解析，定义域为：，，
设任意的，且，
，，且，
所以，即，
函数在区间上单调递增．
【总结与反思】如果是解答题，那么“判断函数的单调性”与“证明函数的单调性”实际上解题过程是完全一样的，都需要这几步：设元、作差、变形、断号、定论．
例3：利用函数单调性解不等式
（1）已知是在，上的增函数，，则的范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：由已知可得，解得
（2）函数为上的减函数，则满足（1）的实数的取值范围是
A．，，
B．，，
C．
D．
【答案】A
【解析】解：为上的减函数；
由得，；
解得，且；
实数的取值范围为，，．
故选：．
（3）若函数定义在，上，且满足（1），则在区间，上是
A．增函数
B．减函数
C．先减后增
D．无法判断其单调性
【答案】D
【解析】解：由不能判断：
对任意的，，，与的大小关系；
在区间，上是无法判断其单调性的．
故选：．
例4：利用函数单调性求参数范围/求值域
（1）若与在都是增函数，则在上是
A．增函数
B．减函数
C．先增后减
D．先减后增
【答案】A
【解析】解：根据函数与在都是增函数，可得，，
故函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为，
故函数在上是增函数，
（2）函数，的单调增区间是
A．，，，
B．，，，
C．，
D．，
【答案】A
【解析】解：由得，解得或，
当或，，，此时函数的递增区域为，，
当，，，此时函数的递增区域为，，
综上函数的递增区间为，，，，
（3）若函数在区间，上是增函数，则的取值范围是 ．
【答案】．故答案为，．
【解析】，在上单调减，在，上单调增，
函数在区间，上是增函数，，解得．
（4）已知函数，，．
（Ⅰ）当时，求函数的最大值和最小值；
（Ⅱ）求实数的取值范围，使在区间，上是单调函数．
【答案】（Ⅰ）时，取最小值1
时，取最大值37；
（Ⅱ）实数的取值范围为，，．
【解析】解：（Ⅰ），；
，；
时，取最小值1；
时，取最大值37；
（Ⅱ）的对称轴为；
在，上是单调函数；
，或；
三、课堂练习
A类
1.已知函数．
（Ⅰ）根据绝对值和分段函数知识，将写成分段函数；
（Ⅱ）在如图的直角坐标系中画出函数的图象：
（Ⅲ）根据图象，写出函数的单调区间、值域．（不要求证明）
【答案】见解析
【解析】解：（Ⅰ），（Ⅱ）图象如图所示，
（Ⅲ）根据图象，写出函数的单调区增区间为，，单调减区间为，值域为，
2．下列四个函数中，在上是增函数的是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，
在上是减函数．
3．函数的单调递增区间是
A．
B．
C．，
D．
【答案】C
【解析】解：令，解得：或，
而函数的对称轴是：，由复合函数同增异减的原则，
故函数的单调递增区间是，，
4.函数在上为增函数，且，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．，，
【答案】C
【解析】函数在上为增函数，，，解得，
5．已知为上的减函数，则满足（1）的实数的取值范围是
A．
B．
C．，，
D．，，
【答案】D
【解析】解：为上的减函数；由得：；
解得，或；的取值范围是，，．故选：．
B类
6．已知函数是上的减函数，，是其图象上的两点，那么不等式的解集是
A．
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】C
【解析】解：，或，
又，是其图象上的两点，，，
函数是上的减函数，或，解得或，故选：．
7．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是 ．
【答案】实数的取值范围是，．
【解析】解：根据题意知，在上是减函数，
又在上是减函数，解得实数的取值范围是，．
8．函数的最大值是
．
【答案】故答案为：
【解析】解：函数
由基本不等式得
故函数的最大值是
9．函数，是上的单调递减函数，则实数的范围是 ．
【答案】故答案为：，．
【解析】解：若在递减，则，解得：
课后作业
A类
1．若函数在上是减函数，则的取值范围为 ．
【答案】故答案为：
【解析】，即，
解不等式可得
2．下列四个函数中，在上为增函数的是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：在上为减函数，不正确；是开口向上对称轴为的抛物线，所以它在上先减后增，不正确；
在上随的增大而减小，所以它为减函数，不正确；
在上随的增大而增大，所它为增函数，正确．
3．已知函数在定义域，上是单调减函数，且，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】，求得，
4．已知在，上递减，在，上递增，则（1） ．
【答案】21
【解析】二次函数的对称轴为
解得，
，因此（1）
答案为21．
5．如果函数在区间，上是减函数，那么实数的取值范围是 ．
【答案】故答案为
【解析】对称轴，
在区间，上是减函数，可得，得．
B类
6．函数的单调减区间是
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【解析】得，，或；函数的单调减区间是，．
7.已知函数．
（Ⅰ）证明：函数在区间上是增函数；
（Ⅱ）求函数在区间，上的最大值和最小值．
【答案】见解析
【解析】解：（Ⅰ）设，则：；
；
，，；
；
；
在区间上是增函数；
（Ⅱ）在上是增函数；最小值为（1），最大值为．
8．若函数在区间，上单调递减，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】，即，解得，
故答案为：
9．已知函数，满足，
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）当，时，求函数的最大值和最小值．
【答案】见解析
【解析】（Ⅰ）由，得，又
得，故，解得：，，
所以．
（Ⅱ），图象对称轴为，且开口向上
所以，单调递增区间为，单调递减区间为
（Ⅲ），对称轴为，，
故（1），又，（2），
所以．
10．若函数在上为增函数，则取值范围为 ．
【答案】故答案为：，．
【解析】解：在内是增函数；
根据增函数的定义及一次函数、二次函数的单调性得满足：；
解得；的取值范围为，．函数单调性
一、知识点详解
知识点1
函数单调性的定义
增函数
减函数
定义
符号语言
设函数的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值
当时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数
当时，都
，那么就说函数在区间D上是减函数
图象语言
自左向右看图象逐渐上升
自左向右看图象逐渐下降
文字语言
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
单调性定义的两种变式：
设任意且，那么
上是增函数；
上是减函数．
②在上是增函数；
在上是减函数．
知识点2
利用定义证明函数单调性
1、作差法判断单调性的步骤：
①设自变量：设给定区间上的且
②作差比较大小：计算；
③定号：判断差的符号；
④下结论.
知识点3
单调性的应用
利用单调性定义判断单调性
利用单调性，求函数值域
一般地，设函数的定义域为，如果存在存在实数满足：
都有
（2），使得
那么我们称是函数的最大值
二、例题解析
例1：判断函数单调性
(1)下列函数中，在上为增函数的是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于为一次函数，在上为减函数，不符合题意；对于为二次函数，在上为减函数，不符合题意；对于为反比例函数，在上为增函数，符合题意；
对于当时，，函数在为减函数，不符合题意；
（2）已知函数，那么
A．当时，函数单调递增
B．当时，函数单调递减
C．当时，函数单调递增
D．当时，函数单调递减
【答案】A
【解析】解：因为函数的图象开口向上，关于对称，
所以其单调增区间为，单调减区间为．故选：．
（3）函数在上是减函数，则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：函数在上是减函数
例2：利用定义证明函数单调性
（1）．利用定义判断函数求在区间，上的单调性，并求该函数在，上的最大值和最小值．
【答案】减函数，该函数在，上的最大值为，最小值为．
【解析】解：设，，，且，则：
；
由，，，得，，；
；
在区间，上单调递减；
该函数在，上的最大值为，最小值为
(2).
已知函数．
（1）证明在上是减函数；
（2）当，时，求的最小值和最大值．
【答案】（1）略
（2）（3），（5）．
【解析】（1）证明：设，则
，，，，，
，，在上是减函数．
（2）解：，，在，上是减函数，
（3），（5）．
（3）已知函数（其中，为常数）的图象经过、两点．
求，的值
证明：函数在区间，上单调递增．
【答案】（Ⅰ），
（Ⅱ）略
【解析】解：（Ⅰ）函数的图象经过、两点，得，，
函数解析，定义域为：，，
设任意的，且，
，，且，
所以，即，
函数在区间上单调递增．
【总结与反思】如果是解答题，那么“判断函数的单调性”与“证明函数的单调性”实际上解题过程是完全一样的，都需要这几步：设元、作差、变形、断号、定论．
例3：利用函数单调性解不等式
（1）已知是在，上的增函数，，则的范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：由已知可得，解得
（2）函数为上的减函数，则满足（1）的实数的取值范围是
A．，，
B．，，
C．
D．
【答案】A
【解析】解：为上的减函数；
由得，；
解得，且；
实数的取值范围为，，．
故选：．
（3）若函数定义在，上，且满足（1），则在区间，上是
A．增函数
B．减函数
C．先减后增
D．无法判断其单调性
【答案】D
【解析】解：由不能判断：
对任意的，，，与的大小关系；
在区间，上是无法判断其单调性的．
故选：．
例4：利用函数单调性求参数范围/求值域
（1）若与在都是增函数，则在上是
A．增函数
B．减函数
C．先增后减
D．先减后增
【答案】A
【解析】解：根据函数与在都是增函数，可得，，
故函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为，
故函数在上是增函数，
（2）函数，的单调增区间是
A．，，，
B．，，，
C．，
D．，
【答案】A
【解析】解：由得，解得或，
当或，，，此时函数的递增区域为，，
当，，，此时函数的递增区域为，，
综上函数的递增区间为，，，，
（3）若函数在区间，上是增函数，则的取值范围是 ．
【答案】．故答案为，．
【解析】，在上单调减，在，上单调增，
函数在区间，上是增函数，，解得．
（4）已知函数，，．
（Ⅰ）当时，求函数的最大值和最小值；
（Ⅱ）求实数的取值范围，使在区间，上是单调函数．
【答案】（Ⅰ）时，取最小值1
时，取最大值37；
（Ⅱ）实数的取值范围为，，．
【解析】解：（Ⅰ），；
，；
时，取最小值1；
时，取最大值37；
（Ⅱ）的对称轴为；
在，上是单调函数；
，或
课堂练习
A类
1.已知函数．
（Ⅰ）根据绝对值和分段函数知识，将写成分段函数；
（Ⅱ）在如图的直角坐标系中画出函数的图象：
（Ⅲ）根据图象，写出函数的单调区间、值域．（不要求证明）
2．下列四个函数中，在上是增函数的是
A．
B．
C．
D．
3．函数的单调递增区间是
A．
B．
C．，
D．
4.函数在上为增函数，且，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．，，
5．已知为上的减函数，则满足（1）的实数的取值范围是
A．
B．
C．，，
D．，，
B类
6．已知函数是上的减函数，，是其图象上的两点，那么不等式的解集是
A．
B．，，
C．，，
D．，，
7．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是 ．
8．函数的最大值是
．
9．函数，是上的单调递减函数，则实数的范围是 ．
四、课后作业
A类
1．若函数在上是减函数，则的取值范围为 ．
2．下列四个函数中，在上为增函数的是
A．
B．
C．
D．
3．已知函数在定义域，上是单调减函数，且，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
4．已知在，上递减，在，上递增，则（1） ．
5．如果函数在区间，上是减函数，那么实数的取值范围是 ．
B类
6．函数的单调减区间是
A．，
B．，
C．，
D．，
已知函数．
（Ⅰ）证明：函数在区间上是增函数；
（Ⅱ）求函数在区间，上的最大值和最小值．
8．若函数在区间，上单调递减，则实数的取值范围是 ．
9．已知函数，满足，
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）当，时，求函数的最大值和最小值．
10．若函数在上为增函数，则取值范围为 ．
