第2讲
常用逻辑用语与常见不等式解法
知识点详解
知识点1
充分条件与必要条件
充分条件与必要条件
若p，则q为真命题；等价于如果p?q，那么p是q的充分条件，q是p的必要条件。
2、充要条件
若p，则q为真命题；同时若q，则p也是真命题；等价于若p?q，q?p，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件。
知识点2
全称量词与存在量词
1、全称量词与全称量词命题
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词。用符号“?”表示。
含有全称量词的命题，叫做全称量词命题。
全称命题的符号记法：?x∈M，p(x)，读作“对任意的x属于M，有p(x)成立”。
2、存在量词与存在量词命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词。用符号“?”表示。
含有存在量词的命题，叫做存在/特称量词命题。
存在命题的符号简记为：?x0∈M，p(x0)，读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”。
3、全称量词命题和存在量词命题的否定
（1）全称命题p：?x∈M，p(x)，它的否定?p：?x0∈M，?p(x0)。
（2）特称命题p：?x0∈M，p(x0)，它的否定?p：?x∈M，?p(x)。
（3）全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，即它们互为否定形式。
知识点3
常见不等式的解法
一元一次不等式与一元二次不等式
解一元一次不等式以及不等式组
（1）去括号、移项，注意变号
（2）去分母（分母不含未知数）---左右同时乘以分母
/
分母的最小公倍数
（3）不等号左右两边同除系数---不等号左右两边同除
正/负
的系数
（4）不等式组结果取交集
解一元二次不等式
移项：先将不等式所有项移到不等号左边，右边为0
因式分解：
①不等式无解或者全体实数
②利用因式分解，配方，公式法等将不等号左边分解称为乘积式（）
（）
调系数：调整未知数系数，使得系数均为正数
出结果：大于取两边，小于取中间
2、绝对值不等式的解法
（1）去绝对值分类讨论
（2）绝对值内系数调整，整体思想，大于取两边，小于取中间
3、分式不等式
（1）移项，化简，通分
（2）注意分式化整式，当出现，注意分母不等于0
（3）调整未知数系数为正
（4）大于取两边，小于取中间
例题解析
例1：常见不等式的解答
（1）解下列一元二次不等式
（1）
（2）4x2﹣4x+1≥0；
（3）2x2﹣x﹣1≤0；
（4）3（x﹣2）（x+2）﹣4（x+1）2+1＜0．
（5）﹣2x2+5x+7≥0．
【答案】解：（1）2＜x＜6，
（2）原不等式的解集为R；
（3）原不等式的解集为；（4）原不等式的解集为
（5）
（2）解下列绝对值不等式
|3﹣4x|＞5；
（2）解不等式组．
【答案】（1）{x|x＜或x＞2}
（2）原不等式的解集为
（3）解下列分式不等式
（2）
求不等式的解集．
【答案】（1）{x|x≥4或}．
(2)
例2：充分条件与必要条件
（1）．是的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】由可得，但由，可得，故是的充分不必要条件，
故选：．
（2）设，则“”是“”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】解：由，解得或，故”是“”的充分不必要条件，
（3）设，则“
“是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必条件
【答案】B
【解析】解：，解得：．，解得：．
“
“是“”的必要不充分条件．
故选：．
（4）命题，则命题的一个充分不必要条件为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：由：，反之不成立，
命题，则命题的一个充分不必要条件为：．故选：．
例3：全称量词与全称量词命题
（1）下列语句中是全称命题的是
A．对每一个无理数，也是无理数
B．存在两个相交平面垂直于同一条直线
C．
D．某些平行四边形是菱形
【答案】A
【解析】解：含有全称量词每一个，所以是全称命题．
含有特此量词存在，是特称命题．
不是命题．
含有特此量词某些，是特称命题．
故选：．
【题干】（2）命题“，”的否定是
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【解析】解：将量词否定，结论否定，可得，
【题干】（3）已知命题，，那么为
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【解析】解：已知命题，，那么是，，
三、课堂练习
A类
1、下列一元二次不等式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）．
（2）．
【解析】解：（1）方，即，不等式的解集为：．
（2）原方程化为，即，，即原不等式的解集为：．
2、解不等式组：
【答案】
【解析】解可得：﹣1＜x＜3，①解可得：0＜x＜4，②即不等式的解集为．
3、设，则“”是“”的
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】解：由，得或．即由可得，反之不一定成立．故“”是“”的充分非必要条件．故选：．
4、已知命题，总有，则为
A．，使得
B．，使得
C．，使得
D．，使得
【答案】B
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题，总有，则为：，使得．故选：．
5、设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】解：，解得．．
“”是“”的充分不必要条件．故选：．
B类
6、设，则“”是“”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】解：解之得：，是“”的充分不必要条件
7、已知，则“”是“”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】解：，，即或，
“”是“”的充分不必要条件．
8、命题，命题，且的一个必要不充分条件是，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】，解得或，且的一个必要不充分条件是，则
9．已知，，如果是的充分不必要条件，则实数的取值范围是
A．，
B．
C．，
D．，
【答案】B
【解析】解：，，或，是的充分不必要条件，
10、若“”是“”的充分而不必要条件，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：由得，由得，
若“”是“”的充分而不必要条件，则，即，得
四、课后作业
A类
1．“，”的否定是 ．
【答案】故答案为：，．
【解析】解：命题为全称命题，则“，”的否定是：，，
2、“，是”的 条件．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】解：若，则，是充分条件，若，则或，不是必要条件，
3、设，则“”是“”的
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】解：由，得；由，得．故选：．
4、设，，则“”是“且”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】解：由不能推出且，由且能推出，故选：．
5、设，则“”是“”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】解：“”，解之得或，“”，解之得或，
故“”是“”的充分必要条件．
故选：．
B类
6．设，则“”是“”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A．
【解析】由知，．故．由，知或．故或．因为，所以答案为充分不必要条件．故选：．
7、设，则“”是“”的
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】解：当时，由得，得，此时无解，
当时，由得，得，综上不等式的解为，
由得得，则“”是“”的必要不充分条件，
故选：．
8、不等式的解集为，，则等于 ．
【答案】
【解析】解：不等式的解集为，
，为方程的两个根根据韦达定理：
①
②
由①②解得：
故答案为
9、若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是
A．
B．，，
C．，
D．，，
【答案】C．
【解析】解：命题“，”为假命题，
命题，为真命题，即判别式△，即，即，
10、设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】解：由得，得，由得，得或，
则“”是“”的充分不必要条件，故选：．
C类
11、不等式成立的充分不必要条件是
A．
B．
C．或
D．或
【答案】A
【解析】解：由得，即或，则不等式成立的充分不必要条件应该是或的真子集，即满足条件．故选：．
12、设，则“”是“”的
A．充分不必要区间
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A．
【解析】解：表示的是数轴上到和1的距离之和，
到的距离为1，到1的距离为4，到和1的距离之和为5，
同理可证：到和1的距离之和为5，，
，推不出，是的充分不必要条件．
故选：．
13、设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】解：由可得，解得，由，解得，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：．
14、设命题，命题；若是的充分条件，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】解：命题“”是命题“”的充分不必要条件，
命题，命题；若是的充分条件，则．第2讲
常用逻辑用语与常见不等式解法
知识点详解
知识点1
充分条件与必要条件
充分条件与必要条件
若p，则q为真命题；等价于如果p?q，那么p是q的充分条件，q是p的必要条件。
2、充要条件
若p，则q为真命题；同时若q，则p也是真命题；等价于若p?q，q?p，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件。
知识点2
全称量词与存在量词
1、全称量词与全称量词命题
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词。用符号“?”表示。
含有全称量词的命题，叫做全称量词命题。
全称命题的符号记法：?x∈M，p(x)，读作“对任意的x属于M，有p(x)成立”。
2、存在量词与存在量词命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词。用符号“?”表示。
含有存在量词的命题，叫做存在/特称量词命题。
存在命题的符号简记为：?x0∈M，p(x0)，读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”。
3、全称量词命题和存在量词命题的否定
（1）全称命题p：?x∈M，p(x)，它的否定?p：?x0∈M，?p(x0)。
（2）特称命题p：?x0∈M，p(x0)，它的否定?p：?x∈M，?p(x)。
（3）全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，即它们互为否定形式。
知识点3
常见不等式的解法
一元一次不等式与一元二次不等式
解一元一次不等式以及不等式组
（1）去括号、移项，注意变号
（2）去分母（分母不含未知数）---左右同时乘以分母
/
分母的最小公倍数
（3）不等号左右两边同除系数---不等号左右两边同除
正/负
的系数
（4）不等式组结果取交集
解一元二次不等式
移项：先将不等式所有项移到不等号左边，右边为0
因式分解：
①不等式无解或者全体实数
②利用因式分解，配方，公式法等将不等号左边分解称为乘积式（）
（）
调系数：调整未知数系数，使得系数均为正数
出结果：大于取两边，小于取中间
2、绝对值不等式的解法
（1）去绝对值分类讨论
（2）绝对值内系数调整，整体思想，大于取两边，小于取中间
3、分式不等式
（1）移项，化简，通分
（2）注意分式化整式，当出现，注意分母不等于0
（3）调整未知数系数为正
（4）大于取两边，小于取中间
例题解析
例1：常见不等式的解答
（1）解下列一元二次不等式
（1）
（2）4x2﹣4x+1≥0；
（3）2x2﹣x﹣1≤0；
（4）3（x﹣2）（x+2）﹣4（x+1）2+1＜0．
（5）﹣2x2+5x+7≥0．
【答案】解：（1）2＜x＜6，
（2）原不等式的解集为R；
（3）原不等式的解集为；（4）原不等式的解集为
（5）
（2）解下列绝对值不等式
|3﹣4x|＞5；
（2）解不等式组．
【答案】（1）{x|x＜或x＞2}
（2）原不等式的解集为
（3）解下列分式不等式
（2）
求不等式的解集．
【答案】（1）{x|x≥4或}．
(2)
例2：充分条件与必要条件
（1）．是的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】由可得，但由，可得，故是的充分不必要条件，
故选：．
（2）设，则“”是“”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】解：由，解得或，故”是“”的充分不必要条件，
（3）设，则“
“是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必条件
【答案】B
【解析】解：，解得：．，解得：．
“
“是“”的必要不充分条件．
故选：．
（4）命题，则命题的一个充分不必要条件为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：由：，反之不成立，
命题，则命题的一个充分不必要条件为：．故选：．
例3：全称量词与全称量词命题
（1）下列语句中是全称命题的是
A．对每一个无理数，也是无理数
B．存在两个相交平面垂直于同一条直线
C．
D．某些平行四边形是菱形
【答案】A
【解析】解：含有全称量词每一个，所以是全称命题．
含有特此量词存在，是特称命题．
不是命题．
含有特此量词某些，是特称命题．
故选：．
【题干】（2）命题“，”的否定是
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【解析】解：将量词否定，结论否定，可得，
【题干】（3）已知命题，，那么为
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【解析】解：已知命题，，那么是，，
课堂练习
A类
1、下列一元二次不等式：
（1）；
（2）．
2、解不等式组：
3、设，则“”是“”的
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
4、已知命题，总有，则为
A．，使得
B．，使得
C．，使得
D．，使得
5、设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B类
6、设，则“”是“”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
7、已知，则“”是“”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8、命题，命题，且的一个必要不充分条件是，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
9、已知，，如果是的充分不必要条件，则实数的取值范围是
A．，
B．
C．，
D．，
10、若“”是“”的充分而不必要条件，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
四、课后作业
A类
1．“，”的否定是 ．
2、“，是”的 条件．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3、设，则“”是“”的
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
4、设，，则“”是“且”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5、设，则“”是“”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
B类
6．设，则“”是“”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7、设，则“”是“”的
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
8、不等式的解集为，，则等于 ．
9、若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是
A．
B．，，
C．，
D．，，
10、设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
C类
11、不等式成立的充分不必要条件是
A．
B．
C．或
D．或
12、设，则“”是“”的
A．充分不必要区间
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
13、设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
14、设命题，命题；若是的充分条件，则实数的取值范围是 ____
