指数运算与指数函数
一、知识点详解
知识点1
指数运算
1.n次方根概念与表示
定义
一般地，如果＝，那么x叫做的次方根，其中＞1，且．
性质
及表
示
是奇数
正数的次方根是一个正数
的次方根用符号表示
负数的次方根是一个负数
是偶数
正数的次方根有两个，这两个数互为相反数
正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号－表示．
合并写成±(＞)．
负数没有偶次方根
的任何次方根都是，记作＝．
2.根式概念
式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．
3.根式的性质
①.
②；
分数指数幂
①（，且）.
②（，且）.
③的正分数指数幂等于；
的负分数指数幂没有意义.
5.一般地，无理数指数幂(，是无理数)是一个确定的实数；
6.实数指数幂的运算性质
知识点2
指数函数
1、指数函数概念：形如且）函数叫指数函数，其中是自变量，函数定义域为.
2、指数函数图象与性质
图像
性质
定义域
值域
过定点
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值分布
当时，；
时，.
当时，；
时，.
3、指数函数在第一象限按逆时针方向底数依次增大.
二、例题精析
例1：根式运算与分数指数幂
（1）化简：
A．4
B．
C．或4
D．
【答案】A
【解析】解：．
（2）下列各式正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：对于选项，左边为正，右边为负，故不正确；
对于选项，，当为负数时等式不成立，故不正确；
对于选项，，故正确；
对于选项，当时无意义，故不正确．故选：．
（3）化简的结果是
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【解析】解：．
（4）计算 ．
【答案】9
【解析】解：原式．
例2：实数运算
（1）计算下列各式
① ．
② ．
【答案】见解析
【解析】①原式．
②原式．
（2）计算下列各式（式中字母均是正数）．
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
【答案】见解析
【解析】
（1）
（Ⅱ）原式．
（3）化简．
【答案】见解析
【解析】解：原式
（4）计算的值；
【答案】见解析
【解析】解：（1）原式．
例3：指数运算
（1）已知，则
A．3
B．9
C．
D．
【答案】A
【解析】解：知，可得，，
．
（2）已知，则 ．
【答案】7
【解析】解：，，．
（3）若，则 ．
【答案】设，原方程化为，即，解出即可．
【解析】解：设，原方程化为，即，
解得．，解得．
故答案为：2．
例4：指数函数概念、定义域、值域、图像
（1）已知函数，的图象经过点，则常数的值为
A．2
B．4
C．
D．
【答案】D
【解析】解：函数，的图象经过点，，．
（2）函数图象恒过的定点坐标为 ．
【答案】，．
解：由，解得，此时，图象恒过的定点坐标为：，．
（3）函数的值域是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解：函数是指数函数，定义域是，
的值域是．
（4）函数的图象可能是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由于当时，，即函数
的图象过点，故排除、、．
例5：指数函数单调性及比较大小
（1）若，则函数的值域是
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【解析】解：，，，解得，
函数的值域为：，即，，
（2）设，，，则，，的大小关系
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：函数为减函数，故，
函数在上为增函数，故故，
（3）下列关系中正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：根据指数函数为减函数，
根据在为增函数，
．
（4）已知函数，若，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
若，则是单调减函数，的取值范围是．故选：．
（5）求不等式中的取值范围．
【答案】当时，的取值范围为；当时，的取值范围为．
【解析】解：由知需要进行分类，具体情况如下：
当时，在定义域上递增，，解得；
当时，在定义域上递减，，解得；
综上得，当时，的取值范围为；当时，的取值范围为．
三、课堂练习
A类
1.求值： ．
2．下列各式中恒成立的是
A．
B．
C．
D．
3．下列各式正确的是
A．
B．
C．
D．
4． ．
B类
5．化简（其中，的结果是
A．
B．
C．
D．
6．已知，则函数和在同坐标系中的图象只能是图中的
A．
B．
C．
D．
7.已知在同一坐标系下，指函数和的图象如图，则下列关系中正确的是
A．
B．
C．
D．
8．若，，则
A．
B．
C．
D．
9.函数在，上的最大值与最小值的和为3，则
A．
B．2
C．4
D．
10．设，那么
A．
B．
C．
D．
C类
11．函数和的图象关于
A．轴对称
B．轴对称
C．原点对称
D．直线对称
12．设，，，则
A．
B．
C．
D．
13．若函数，的图象在第一、三、四象限，则有
A．且
B．且
C．且
D．且
14．已知函数在上为减函数，则的取值范围为_________.
15．已知，，求函数的最小值和最大值．
课后作业
A类
1．下列运算正确的是
A．
B．
C．
D．
2．已知，，化简
A．
B．
C．
D．
3．计算： ．
4．函数在，上的值域为 ．
5．函数且在区间，上的最大值为4，最小值为，则
．
B类
6．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成
A．511个
B．512个
C．1023个
D．1024个
7．设，，，则
A．
B．
C．
D．
8．已知，，，则，，三者的大小关系是
A．
B．
C．
D．
9．函数的图象一定过定点，则点的坐标是 ．
10．函数在区间，上的值域是 ．
C类
11．已知，，且，则下列不等式恒成立的是
A．
B．
C．
D．
12．已知函数的图象经过点，其中且．
（1）求的值；（2）求函数的值域．
13．设函数，若，则的取值范围是 ．
14．已知函数是上的减函数，则的值______指数运算与指数函数
一、知识点详解
知识点1
指数运算
1.n次方根概念与表示
定义
一般地，如果＝，那么x叫做的次方根，其中＞1，且．
性质
及表
示
是奇数
正数的次方根是一个正数
的次方根用符号表示
负数的次方根是一个负数
是偶数
正数的次方根有两个，这两个数互为相反数
正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号－表示．
合并写成±(＞)．
负数没有偶次方根
的任何次方根都是，记作＝．
2.根式概念
式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．
3.根式的性质
①.
②；
分数指数幂
①（，且）.
②（，且）.
③的正分数指数幂等于；
的负分数指数幂没有意义.
5.一般地，无理数指数幂(，是无理数)是一个确定的实数；
6.实数指数幂的运算性质
知识点2
指数函数
1、指数函数概念：形如且）函数叫指数函数，其中是自变量，函数定义域为.
2、指数函数图象与性质
图像
性质
定义域
值域
过定点
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值分布
当时，；
时，.
当时，；
时，.
3、指数函数在第一象限按逆时针方向底数依次增大.
二、例题解析
例1：根式运算与分数指数幂
（1）化简：
A．4
B．
C．或4
D．
【答案】A
【解析】解：．
（2）下列各式正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：对于选项，左边为正，右边为负，故不正确；
对于选项，，当为负数时等式不成立，故不正确；
对于选项，，故正确；
对于选项，当时无意义，故不正确．故选：．
（3）化简的结果是
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【解析】解：．
（4）计算 ．
【答案】9
【解析】解：原式．
例2：实数运算
（1）计算下列各式
① ．
② ．
【答案】见解析
【解析】①原式．
②原式．
（2）计算下列各式（式中字母均是正数）．
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
【答案】见解析
【解析】
（1）
（Ⅱ）原式．
（3）化简．
【答案】见解析
【解析】解：原式
（4）计算的值；
【答案】见解析
【解析】解：（1）原式．
例3：指数运算
（1）已知，则
A．3
B．9
C．
D．
【答案】A
【解析】解：知，可得，，
．
（2）已知，则 ．
【答案】7
【解析】解：，，．
（3）若，则 ．
【答案】设，原方程化为，即，解出即可．
【解析】解：设，原方程化为，即，
解得．，解得．
故答案为：2．
例4：指数函数概念、定义域、值域、图像
（1）已知函数，的图象经过点，则常数的值为
A．2
B．4
C．
D．
【答案】D
【解析】解：函数，的图象经过点，，．
（2）函数图象恒过的定点坐标为 ．
【答案】，．
解：由，解得，此时，图象恒过的定点坐标为：，．
（3）函数的值域是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解：函数是指数函数，定义域是，
的值域是．
（4）函数的图象可能是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由于当时，，即函数
的图象过点，故排除、、．
例5：指数函数单调性及比较大小
（1）若，则函数的值域是
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【解析】解：，，，解得，
函数的值域为：，即，，
（2）设，，，则，，的大小关系
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：函数为减函数，故，
函数在上为增函数，故故，
（3）下列关系中正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：根据指数函数为减函数，
根据在为增函数，
．
（4）已知函数，若，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
若，则是单调减函数，的取值范围是．故选：．
（5）求不等式中的取值范围．
【答案】当时，的取值范围为；当时，的取值范围为．
【解析】解：由知需要进行分类，具体情况如下：
当时，在定义域上递增，，解得；
当时，在定义域上递减，，解得；
综上得，当时，的取值范围为；当时，的取值范围为．
课堂练习
A类
1.求值： ．
【答案】故答案为：
【解析】解：
2．下列各式中恒成立的是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：对于选项，；
对于选项，；
对于选项，；
对于选项，；
3．下列各式正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：对于选项，左边为正，右边为负，故不正确；
对于选项，，当为负数时等式不成立，故不正确；
对于选项，，故正确；
对于选项，当时无意义，故不正确．
4． ．
【答案】
【解析】解：原式．
5．化简（其中，的结果是
A．
B．
C．
D．
【答案】C．
【解析】解：．
B类：
6．已知，则函数和在同坐标系中的图象只能是图中的
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】，是减函数，，，开口向下，
7.已知在同一坐标系下，指函数和的图象如图，则下列关系中正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】根据指数函数的图象和性质即可得到结论．
【解析】解：很显然，均大于1；且函数图象比变化趋势小，故，综上所述：．
8．若，，则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：若，则
故
若，
故，，，
9.函数在，上的最大值与最小值的和为3，则
A．
B．2
C．4
D．
【答案】B
【解析】解：根据题意，由的单调性，可知其在，上是单调函数，即当和1时，取得最值，即，再根据其图象，可得，则，即，
10．设，那么
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：，．，且
故：
C类
11．函数和的图象关于
A．轴对称
B．轴对称
C．原点对称
D．直线对称
【答案】B
【解析】解：的图象与的图象关于轴对称，
函数和的图象关于轴对称
12．设，，，则
A．
B．
C．
D．
【答案】A．
【解析】解：，，，，
，故选：．
13．若函数，的图象在第一、三、四象限，则有
A．且
B．且
C．且
D．且
【答案】B．
【解析】解：函数，的图象在第一、三、四象限，
根据图象的性质可得：，，即，，
14．已知函数在上为减函数，则的取值范围为
A．
B．
C．
D．，
【答案】B
【解析】解：要使函数在上为减函数，则，解得．
15．已知，，求函数的最小值和最大值．
【答案】当时，函数取得最小值为，
当时，函数取得最大值为57．
【解析】解：令，将原函数转化：
当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为57．
课后作业
A类：
1．下列运算正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：对于选项，故选项错误；
对于选项，故选项错误；
对于选项，故选项错误；
对于选项，故选项正确，
2．已知，，化简
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：，， ，
3．计算： ．
【答案】
【解析】解：当时，
4．函数在，上的值域为 ．
【答案】故答案为：，．
【解析】解：函数在，上递减，故，（2），
5．函数且在区间，上的最大值为4，最小值为，则 ．
【答案】2
【解析】若，函数在区间，上的最大值为4，最小值为，
，解得：，而，故，符合题意；
若，函数在区间，上的最大值为4，最小值为，
，，解得，不合题意，，
B类
6．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成
A．511个
B．512个
C．1023个
D．1024个
【分析】B
【解析】解：经过3个小时，总共分裂了九次，就是个，
7．设，，，则
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解：指数函数是定义域上的减函数，且即；
又幂函数在上是单调增函数，且，，即；．
8．已知，，，则，，三者的大小关系是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解：根据，单调递减，，在单调递增，
，，
9．函数的图象一定过定点，则点的坐标是 ．
【答案】得到恒过
【解析】解：的图象可以看作把的图象向右平移一个单位再向上平移3个单位而得到，且一定过点，则应过点
10．函数在区间，上的值域是 ．
【答案】故答案为：，．
【解析】，对称轴为，
在，上单调减，在，上单调递增，又为复合函数，
在，上单调减，在，上单调递增，（1）；
C类
11．已知，，且，则下列不等式恒成立的是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：根据指数函数单调性可得：若，，且，则，
12．已知函数的图象经过点，其中且．
（1）求的值；（2）求函数的值域．
【答案】（1）．（2），．
【解析】解：（1）由题意得所以
（2）由（1）得因为函数在，上是减函数
所以当时由最大值所以所以，
13．设函数，若，则的取值范围是 ．
【答案】故答案为，，
【解析】①当时，可得，即，所以，得；
②当时，，可得．故答案为，，
14．已知函数是上的减函数，则的值
【答案】
【解析】解：要使函数在上单调递减，只需，解得，
