函数奇偶性
一、知识点详解
知识点1
函数就行的定义
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个,都有，且,那么函数是偶函数.
关于轴的对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个,都有，且,那么函数是奇函数.
关于原点对称
1.奇偶函数的定义域必关于原点对称；
2.等价性：若函数的定义域关于原点对称，
是偶函数,
是奇函数,
知识点2
奇偶函数的图像特征
1.如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形;
反之,如果一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.
奇函数若在处有定义，则
2.如果一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形;
反之,如果一个函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形,则这个函数是偶函数.
知识点3
函数奇偶性的判断
定义法
利用定义法判断函数的奇偶性的步骤:
（1）考察定义域是否关于原点对称，如果定义域不关于原点对称,那么此函数既不是奇函数又不是偶函数;
如果定义域关于原点对称，则进行下一步；
（2）验证或对定义域中的任意的值是否成立;
（3）得出结论.
2．函数图象法
若的图象关于原点对称,则为奇函数;
若函数的图象关于轴对称,
则为偶函数。
3.性质法
（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反。
（2）在公共定义域内，亦即：相同相加减；乘除：同偶异奇；复合：一奇则奇，同偶则偶
奇函数与奇函数
奇函数与偶函数
偶函数与偶函数
和
奇函数
偶函数
差
奇函数
偶函数
积
偶函数
奇函数
偶函数
商
偶函数
奇函数
偶函数
复合
奇函数
奇函数
偶函数
二、例题解析
例1：判断函数奇偶性
（1）函数是
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．奇函数同时也是偶函数
【答案】B
【解析】因为，并且；函数是偶函数；
（2）下列函数是奇函数的是
A．
B．
C．
D．
，
【答案】A
【解析】解：定义域为，是奇函数．
定义域为，是偶函数；
定义域为，，是非奇非偶函数；
，，是非奇非偶函数；
（3）若为奇函数，则，的值为
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【解析】；
，，，；
例2：已知函数奇偶性求值
（1）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则
A．
B．
C．
D．
【答案】A．
【解析】时，，则，则；
（2）已知函数，则（2）
A．
B．
C．44
D．0
【答案】D
【解析】解：，（2）．
（3）已知函数是偶函数，且（2），则
A．
B．1
C．
D．5
【答案】D
【解析】解：令，
（2），（2）（2），
函数是偶函数，，解得．
（4）已知且，那么（2） ．
【答案】
【解析】解：
令，则为奇函数
，
（2）
（2）（2）
例3：利用函数奇偶性求解析式
（1）已知函数是上的奇函数，且当时，则在，上的解析式是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可得：设，则；当时，，
，
因为函数是奇函数，
所以，
所以时
（2）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是 ．
【答案】故答案为：．
【解析】：函数是奇函数，令，则，，
，，
当，即，，（舍去）
当，即，，
或，又，．
例4：函数奇偶性与函数单调性结合
（1）设偶函数的定义域为，．当，时，的图象如图，则不等式的解集为 ．
【答案】故答案为，，．
【解析】结合函数在，上的图象，可得不等式在，上的解集为．
根据为偶函数，图象关于轴对称，可得不等式在，上的解集为．
综上可得，不等式的解集为，，，
（2）已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】故答案为：．
【解析】在上单调增，又是定义在上的奇函数，
奇函数的对称区间上的单调性可知，在上单调递增，在上单调递增．
，，解不等式可得，，
（3）已知定义在上的奇函数，当时，，那么时， ．
【答案】故答案为：．
【解析】解：设，则，
当时，，，
是定义在上的奇函数，，
课堂练习
A类
1．下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是
A．
B．
C．
D．
2.函数为奇函数，则实数
A．
B．1
C．0
D．
3．已知是定义在，上的偶函数，那么的值是 ．
4．定义域为，的奇函数，则的值为 ．
5．已知是奇函数，当时，，则 ．
B类
6．已知函数为奇函数，且当时，，则 ．
7．设函数是奇函数，且时，，则 ．
8．若为奇函数，当时，，且（3），则实数的值为 ．
9.已知，，则（3） ．
10.已知为奇函数．
（1）求的值；
（2）求实数的值．
C类
11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求关于的不等式的解集．
12．已知是定义在区间，上的奇函数，当时，．则关于的不等式的解集为
A．，
B．
C．
D．，
课后作业
A类
1.判断下列函数的奇偶性
（1）．
（2）
（3）
（4）．
2．下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数是
A．
B．
C．
D．
3．设定义在上的奇函数满足，则的解集为
A．，，
B．，，
C．，，
D．
4．已知是定义域为的偶函数，当时，，则不等式的解集为
A．，
B．，
C．，
D．，
5．已知函数是偶函数，则函数的图象关于下列哪条直线对称
A．
B．
C．
D．以上均不对
B类
6．已知函数，且，则（3） ．
7．设函数为上的奇函数，已知当时，．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若，求的取值范围．
8．是奇函数，当为减函数，，则的取值范围是 ．
9．设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是
A．是偶函数
B．是奇函数
C．是奇函数
D．是奇函数
10．已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（1）（1）
A．
B．
C．1
D．3函数奇偶性
一、知识点详解
知识点1
函数就行的定义
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个,都有，且,那么函数是偶函数.
关于轴的对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个,都有，且,那么函数是奇函数.
关于原点对称
1.奇偶函数的定义域必关于原点对称；
2.等价性：若函数的定义域关于原点对称，
是偶函数,
是奇函数,
知识点2
奇偶函数的图像特征
1.如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形;
反之,如果一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.
奇函数若在处有定义，则
2.如果一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形;
反之,如果一个函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形,则这个函数是偶函数.
知识点3
函数奇偶性的判断
定义法
利用定义法判断函数的奇偶性的步骤:
（1）考察定义域是否关于原点对称，如果定义域不关于原点对称,那么此函数既不是奇函数又不是偶函数;
如果定义域关于原点对称，则进行下一步；
（2）验证或对定义域中的任意的值是否成立;
（3）得出结论.
2．函数图象法
若的图象关于原点对称,则为奇函数;
若函数的图象关于轴对称,
则为偶函数。
3.性质法
（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反。
（2）在公共定义域内，亦即：相同相加减；乘除：同偶异奇；复合：一奇则奇，同偶则偶
奇函数与奇函数
奇函数与偶函数
偶函数与偶函数
和
奇函数
偶函数
差
奇函数
偶函数
积
偶函数
奇函数
偶函数
商
偶函数
奇函数
偶函数
复合
奇函数
奇函数
偶函数
二、例题解析
例1：判断函数奇偶性
（1）函数是
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．奇函数同时也是偶函数
【答案】B
【解析】因为，并且；函数是偶函数；
（2）下列函数是奇函数的是
A．
B．
C．
D．
，
【答案】A
【解析】解：定义域为，是奇函数．
定义域为，是偶函数；
定义域为，，是非奇非偶函数；
，，是非奇非偶函数；
（3）若为奇函数，则，的值为
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【解析】；
，，，；
例2：已知函数奇偶性求值
（1）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则
A．
B．
C．
D．
【答案】A．
【解析】时，，则，则；
（2）已知函数，则（2）
A．
B．
C．44
D．0
【答案】D
【解析】解：，（2）．
（3）已知函数是偶函数，且（2），则
A．
B．1
C．
D．5
【答案】D
【解析】解：令，
（2），（2）（2），
函数是偶函数，，解得．
（4）已知且，那么（2） ．
【答案】
【解析】解：
令，则为奇函数
，
（2）
（2）（2）
例3：利用函数奇偶性求解析式
（1）已知函数是上的奇函数，且当时，则在，上的解析式是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可得：设，则；当时，，
，
因为函数是奇函数，
所以，
所以时
（2）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是 ．
【答案】故答案为：．
【解析】：函数是奇函数，令，则，，
，，
当，即，，（舍去）
当，即，，
或，又，．
例4：函数奇偶性与函数单调性结合
（1）设偶函数的定义域为，．当，时，的图象如图，则不等式的解集为 ．
【答案】故答案为，，．
【解析】结合函数在，上的图象，可得不等式在，上的解集为．
根据为偶函数，图象关于轴对称，可得不等式在，上的解集为．
综上可得，不等式的解集为，，，
（2）已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】故答案为：．
【解析】在上单调增，又是定义在上的奇函数，
奇函数的对称区间上的单调性可知，在上单调递增，在上单调递增．
，，解不等式可得，，
（3）已知定义在上的奇函数，当时，，那么时， ．
【答案】故答案为：．
【解析】解：设，则，
当时，，，
是定义在上的奇函数，，
课堂练习
A类
1．下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：．函数的定义域为，，函数为非奇非偶函数，错误．
．函数，为偶函数，在上单调递减，错误．
．函数在上单调递增，函数为非奇非偶函数，错误．
．函数为偶函数，在上单调递增，正确．
2.函数为奇函数，则实数
A．
B．1
C．0
D．
【答案】A
【解析】解：根据题意，函数为奇函数，
则有，即，
变形可得：，则有；
3．已知是定义在，上的偶函数，那么的值是 ．
【答案】故答案为
【解析】解：是定义在，上的偶函数，
，，
又
．
4．定义域为，的奇函数，则的值为 ．
【答案】0
【解析】解：根据奇函数得定义域为，，可得，求得，
故条件为奇函数得定义域为，，，求得，
，（2）（2）（2），
故答案为：0．
5．已知是奇函数，当时，，则 ．
【答案】
【解析】解：函数是奇函数，（2），
当时，，
（2）．
B类
6．已知函数为奇函数，且当时，，则 ．
【答案】故答案为：．
【解析】解：当时，
（1）．
函数为奇函数
（1）．
7．设函数是奇函数，且时，，则 ．
【答案】
【解析】解：时，，．
函数是奇函数，，
．故答案为：．
8．若为奇函数，当时，，且（3），则实数的值为 ．
【答案】5
【解析】解：因为为奇函数，当时，，且（3），
所以（3），即，所以，解得．
9.已知，，则（3） ．
【答案】
【解析】解：令函数，显然函数是奇函数，，
，
（3）（3），（3），
（3）．
10.已知为奇函数．
（1）求的值；
（2）求实数的值．
【答案】见解析
【解析】解：（1）根据题意，，则（3），
又由函数为奇函数，则（3）
故，
（2）由（1）的结论，
解可得：；
C类
11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求关于的不等式的解集．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）故不等式的解集是
【解析】解：（Ⅰ）上的奇函数，
当时，；
当时，，
（Ⅱ）函数为奇函数
，
易知在单调递减，
，解得：
12．已知是定义在区间，上的奇函数，当时，．则关于的不等式的解集为
A．，
B．
C．
D．，
【答案】A
【解析】解：时，，则：在，上单调递减；
又在，上为奇函数；
在，上单调递减；
由得，；
；
解得；原不等式的解集为，．
四、课后作业
A类
1.判断下列函数的奇偶性
（1）．
（2）
（3）
（4）．
【答案】①奇函数
②非奇非偶函数
③非奇非偶函数
④奇函数
【解析】解：①由得，即函数的定义域为，，关于原点对称，且，故函数是奇函数．
②由得，，则定义域为不关于原点对称．该函数不具有奇偶性．
③定义域为，关于原点对称，且，，故其不具有奇偶性．
④定义域为，关于原点对称，
当时，；
当时，；
当时，；故该函数为奇函数．
2．下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：．是偶函数，在区间上单调递增，不满足条件．
．是奇函数，不满足条件．
．是非奇非偶函数，不满足条件．
．是偶函数，在区间上单调递减，满足条件．
3．设定义在上的奇函数满足，则的解集为
A．，，
B．，，
C．，，
D．
【答案】B
【解析】当时，若，则，由函数是定义在上的奇函数，
当时，，若，则，则，即，
故的解集为，，，
故时，，，，
，，，
即的解集为，，．
故选：．
4．已知是定义域为的偶函数，当时，，则不等式的解集为
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【解析】解：因为为偶函数，所以，
则可化为，
即，，所以，解得
5．已知函数是偶函数，则函数的图象关于下列哪条直线对称
A．
B．
C．
D．以上均不对
【答案】B
【解析】解：若函数是偶函数，则函数关于对称，
将向左平移3个单位即可得到的图象，此时函数关于对称，
B类
6．已知函数，且，则（3） ．
【答案】10
【解析】解：，，
，（3）．
7．设函数为上的奇函数，已知当时，．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）函数的解析式；
（Ⅱ）的取值范围是．
【解析】解：（Ⅰ）函数为上的奇函数，，
若，则
当时，当时，．
是奇函数，，
则，，则函数的解析式；
（Ⅱ）若，则，
当时，为减函数，且，
当时，为减函数，且，
则函数在上是减函数，则，即，则，即的取值范围是．
8．是奇函数，当为减函数，，则的取值范围是 ．
【答案】故答案为：，．
【解析】解：是奇函数，当为减函数，
函数在也是减函数，故函数在上是减函数．
再根据（），可得，求得，
9．设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是
A．是偶函数
B．是奇函数
C．是奇函数
D．是奇函数
【答案】C
【解析】解：是奇函数，是偶函数，，，
，故函数是奇函数，故错误，
为偶函数，故错误，
是奇函数，故正确．
为偶函数，故错误，
10．已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（1）（1）
A．
B．
C．1
D．3
【答案】C
【解析】由，将所有替换成，得，
根据，，得，再令，计算得，
（1）（1）．
