2021-2022学年北师大版九年级数学上册1.3 正方形的性质与判定(1) 同步练习(word版含答案)

特殊平行四边形
1.3
正方形的性质与判定(1)
一、选择题
1．已知正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是(　　)
A.8
B.4
C.8
D.16
2．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC的度数为(　　)
A.45°
B.55°
C.60°
D.75°
3．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是(　　)
A.3
B.4
C.5
D.6
4．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域．设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为(　　)
A.2a2
B.3a2
C.4a2
D.5a2
5．如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE＝CF，若∠BEC＝80°，则∠EFD的度数为(　　)
A.20°
B.25°
C.35°
D.40°
6．如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论：
(1)AE＝BF；(2)AE⊥BF；(3)AO＝OE；(4)S△AOB＝S四边形DEOF中，正确的有(　　)
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
7．若正方形的对角线长为2cm，则这个正方形的面积为（　　）
A．4
cm2
B．2
cm2
C．cm2
D．2cm2
8．如图，已知点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠DCE的度数为（　　）
A．30°
B．22.5°
C．15°
D．45°
二、填空题
9．如图，将正方形纸片折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME＝
．
10．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点D，B作DE⊥a于点E，BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为
．
11．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为边BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为
.
12．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形的边长为2，则线段DH的长度的最小值是
．
三、解答题
13．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB，ED.
(1)求证：△BEC≌△DEC；
(2)延长BE交AD于点F，当∠BED＝120°时，求∠EFD的度数．
14．如图，在正方形ABCD中，H是DC上一点，E是CB延长线上一点，且DH＝BE.请你判断△AEH的形状，并说明理由．
15．如图，点E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，连接CE，CF.
(1)求证：△ABF≌△CBE；
(2)判断△CEF的形状，并说明理由．
16．如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．
（1）求证：HF＝AP；
（2）若正方形ABCD的边长为12，AP＝4，求线段AF的长．
参考答案
1——8
ACBACBBB
9.45°
10.7
11.3.5
12.－1
13.
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC.
又∵AC为对角线，
E为AC上一点，
∴∠BCE＝∠DCE＝45°，
∵EC＝EC，
∴△BEC≌△DEC(SAS).
(2)解：∵△BEC≌△DEC，∠BED＝120°，
∴∠BEC＝∠DEC＝60°，
∵∠BEC＝∠AEF＝60°，
∴∠EFD＝∠DAC＋∠AEF＝45°＋60°＝105°.
14.
解：△AEH是等腰直角三角形．
理由如下：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝180°－∠ABC＝180°－90°＝90°，
∴∠D＝∠ABE.
又∵DH＝BE，AD＝AB，
∴△ADH≌△ABE(SAS)，
∴AH＝AE，∠DAH＝∠BAE.
∴∠DAH＋∠HAB＝∠BAE＋∠HAB＝∠HAE＝90°.
∴△AEH是等腰直角三角形．
15.
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°，
∵△EBF是等腰直角三角形，
其中∠EBF＝90°，
∴BE＝BF，
∴∠ABC－∠CBF＝∠EBF－∠CBF，
∴∠ABF＝∠CBE.
在△ABF和△CBE中，，
∴△ABF≌△CBE(SAS).
(2)解：△CEF是直角三角形．理由如下：
∵△EBF是等腰直角三角形，
∴∠BFE＝∠FEB＝45°，
∴∠AFB＝180°－∠BFE＝135°，
又∵△ABF≌△CBE，
∴∠CEB＝∠AFB＝135°，
∴∠CEF＝∠CEB－∠FEB＝135°－45°＝90°，
∴△CEF是直角三角形．
16.
解：（1）∵EF⊥BP，EH⊥AB，
∴∠FEH+∠EMQ＝90°＝∠PBA+∠BMH，
又∵∠QME＝∠BMH，
∴∠FEH＝∠PBA，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD，
∵EH⊥AB，
∴∠EHA＝90°＝∠A＝∠D，
∴四边形ADEH是矩形，
∴AD＝EH，
又∵AB＝AD，
∴AB＝EH，
在△ABP与△HEF中
，
∴△ABP≌△HEF（ASA），
∴AP＝FH；
（2）连接PF，
∵EF垂直平分BP，
∴PF＝BF，
设AF＝x，则PF＝BF＝12﹣x，
∴在△APF中，42+x2＝（12﹣x）2，
∴x＝，
∴AF＝．