2021-2022学年北师大版九年级数学上册4.4探索三角形相似的条件同步练习题(word版含答案)

4.4探索三角形相似的条件同步练习题
2021-2022学年北师大版九年级数学上册
A组(基础题)
一、填空题
1.如图，在△ABC中，若DE∥BC，DE＝9
cm，BC＝12
cm，则＝_____.
　　　
2.如图，在平行四边形ABCD中，E为AD延长线上的一点，且BC＝2DE，BE交DC于点F.若CF＝2，则DF的长为_____.
3.如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，D为AC上一点，连接BD，且BD＝BC＝4，则DC＝_____.
4.在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形.如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中，面积最大的三角形的斜边长是_____.
5.在△ABC中AB＝8，AC＝6，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，当＝_____时，△ABC∽△DEF.
二、选择题
6.下列两个三角形不相似的是(
)
A.一个三角形的两个角分别是40°，80°；另一个三角形的两个角分别是60°，80°
B.一个三角形的三边长分别是4
cm，6
cm，8
cm；另一个三角形的三边长分别是12
cm，18
cm，21
cm
C.一个三角形的两边长分别是2
cm和5
cm，夹角是40°；另一个三角形的两边长分别是3
cm和7.5
cm，夹角是40°
D.各有一个角是120°的两个等腰三角形
7.如图，已知∠DAB＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定△ABC∽△ADE的是(
)
A.＝
B.＝
C.∠B＝∠D
D.∠C＝∠AED
8.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G.若AF＝2FD，则的值为(
)
A.
B.
C.
D.
9.如图，点A，B，C，D，E，F，G，H，K都是7×8方格纸中的格点，为使△DEM∽△ABC，则点M应是F，G，H，K四点中的(
)
A.F
B.G
C.H
D.K
三、解答题
10.如图，四边形ABCD的对角形AC，BD交于点F，点E是BD上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.求证：△ABE∽△ACD.
11.如图，已知＝＝，求证：△ABD∽△ACE.
B组(中档题)
四、填空题
12.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F.若DF＝6，则EF＝_____.
13.如图，△ABC中，AD1＝AB，D1D2＝D1B，D2D3＝D2B，…，照这样继续下去，D2
020D2
021＝D2
020B，且D1E1∥BC，D2E2∥BC，D2E3∥BC；…，D2
021E2
021∥BC，则＝_____.
五、解答题
14.如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于点M，连接CM交DB于点N.
(1)求证：BD2＝AD·CD.
(2)若CD＝6，AD＝8，则MN＝.
C组(综合题)
15.如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB(k＞0)，点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F.
(1)如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是_____.
(2)如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；(用含k的式子表示)
(3)若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长.
参考答案
4.4探索三角形相似的条件同步练习题
2021-2022学年北师大版九年级数学上册
A组(基础题)
一、填空题
1.如图，在△ABC中，若DE∥BC，DE＝9
cm，BC＝12
cm，则＝3.
　　　
2.如图，在平行四边形ABCD中，E为AD延长线上的一点，且BC＝2DE，BE交DC于点F.若CF＝2，则DF的长为1.
3.如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，D为AC上一点，连接BD，且BD＝BC＝4，则DC＝.
4.在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形.如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中，面积最大的三角形的斜边长是5.
5.在△ABC中AB＝8，AC＝6，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，当＝2时，△ABC∽△DEF.
二、选择题
6.下列两个三角形不相似的是(
B
)
A.一个三角形的两个角分别是40°，80°；另一个三角形的两个角分别是60°，80°
B.一个三角形的三边长分别是4
cm，6
cm，8
cm；另一个三角形的三边长分别是12
cm，18
cm，21
cm
C.一个三角形的两边长分别是2
cm和5
cm，夹角是40°；另一个三角形的两边长分别是3
cm和7.5
cm，夹角是40°
D.各有一个角是120°的两个等腰三角形
7.如图，已知∠DAB＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定△ABC∽△ADE的是(
A
)
A.＝
B.＝
C.∠B＝∠D
D.∠C＝∠AED
8.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G.若AF＝2FD，则的值为(
C
)
A.
B.
C.
D.
9.如图，点A，B，C，D，E，F，G，H，K都是7×8方格纸中的格点，为使△DEM∽△ABC，则点M应是F，G，H，K四点中的(
C
)
A.F
B.G
C.H
D.K
三、解答题
10.如图，四边形ABCD的对角形AC，BD交于点F，点E是BD上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.求证：△ABE∽△ACD.
证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAD.
又∵∠AEB＝∠DAE＋∠ADE，
∠ADC＝∠BDC＋∠ADE，
∠DAE＝∠BDC，
∴∠AEB＝∠ADC.
∴△ABE∽△ACD.
11.如图，已知＝＝，求证：△ABD∽△ACE.
证明：∵＝＝，
∴△ABC∽△ADE.
∴∠BAC＝∠DAE.
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE.
又∵＝，即＝，
∴△ABD∽△ACE.
B组(中档题)
四、填空题
12.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F.若DF＝6，则EF＝3.
13.如图，△ABC中，AD1＝AB，D1D2＝D1B，D2D3＝D2B，…，照这样继续下去，D2
020D2
021＝D2
020B，且D1E1∥BC，D2E2∥BC，D2E3∥BC；…，D2
021E2
021∥BC，则＝1－()2_021.
五、解答题
14.如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于点M，连接CM交DB于点N.
(1)求证：BD2＝AD·CD.
(2)若CD＝6，AD＝8，则MN＝.
解：证明：∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠BDC.
又∵∠ABD＝∠BCD＝90°，
∴△ABD∽△BCD.
∴＝.
∴BD2＝AD·CD.
C组(综合题)
15.如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB(k＞0)，点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F.
(1)如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是AE＝AF.
(2)如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；(用含k的式子表示)
(3)若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长.
解：(2)AF＝kAE.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°.
∴∠FAD＋∠FAB＝90°.
∵AF⊥AE，∴∠EAF＝90°.
∴∠EAB＋∠FAB＝90°.∴∠EAB＝∠FAD.
∵∠ABE＋∠ABC＝180°，
∴∠ABE＝180°－∠ABC＝180°－90°＝90°.
∴∠ABE＝∠ADF.∴△ABE∽△ADF.
∴＝.
∵AD＝kAB，∴AF＝kAE.
(3)①如图3，当点F在线段DC上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∵AD＝2AB＝4，∴AB＝2.∴CD＝2.
∵CF＝1，∴DF＝CD－CF＝2－1＝1.
在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，
∴AF＝＝＝.
∵DF∥AB，∴∠GDF＝∠GBA，∠GFD＝∠GAB.
∴△GDF∽△GBA.∴＝＝.
∵AF＝GF＋AG，∴AG＝AF＝.
由(2)得△ABE∽△ADF，∴＝＝＝.
∴AE＝AF＝×＝.
在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，
∴EG＝＝＝.
②如图4，当点F在线段DC的延长线上时，DF＝CD＋CF＝2＋1＝3，
在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，
∴AF＝＝＝5.
∵DF∥AB，∴∠GAB＝∠GFD，∠GBA＝∠GDF.
∴△AGB∽△FGD.∴＝＝.
∵GF＋AG＝AF＝5，∴AG＝2.
由(2)得△ABE∽△ADF，
∴＝＝＝.
∴AE＝AF＝×5＝.
在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，
∴EG＝＝＝.
综上所述，EG的长为或.