2021-2022学年北师大版九年级数学上册 2.6 应用一元二次方程同步练习 （word版含解析）

2.6
应用一元二次方程
一．选择题
1．想用一根长20m的绳子围成以下面积的矩形，一定做不到的是（　　）
A．26m2
B．25m2
C．24m2
D．23m2
2．某电视机厂计划两年后产量为现在的2倍，如果每年增长率为x，则可得方程（　　）
A．1+x2＝3
B．1+x＝2
C．1+2x＝2
D．（1+x）2＝2
3．为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m2提高到12.1m2．若每年的年增长率相同，则年增长率为（　　）
A．9%
B．10%
C．11%
D．12%
4．2011年初中毕业生诊断考试）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2450张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　）
A．x（x﹣1）＝2450
B．x（x+1）＝2450
C．2x（x+1）＝2450
D．
5．安徽省作为首批国家电子商务进农村示范省之一，先后携手阿里巴巴、苏宁云商等电商巨头，推动线上线下融合发展，激发农村消费潜力，实现“安徽特产卖全国”．根据某淘宝农村超市统计一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为49万元．设每月的平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．49（1+x）2＝36
B．36（1﹣x）2＝49
C．36（1+x）2＝49
D．49（1﹣x）2＝36
6．元旦当天，小明将收到的一条短信，发送给若干人，每个收到短信的人又给相同数量的人转发了这条短信，此时收到这条短信的人共有157人，问小明给（　　）人发了短信？
A．10
B．11
C．12
D．13
7．某中学准备建一个面积为5000平方米的矩形操场，操场的长比宽长50米，设操场的长为x米，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A．x（x﹣50）＝5000
B．x（x+50）＝5000
C．2x（x﹣25）＝5000
D．2x（25+x）＝5000
8．如图所示，在一边靠墙（墙足够长）空地上，修建一个面积为672m2的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为76
m的栅栏围成，若设栅栏AB的长为xm，则下列各方程中，符合题意的是（　　）
A．x（76﹣x）＝672
B．x（76﹣2x）＝672
C．x（76﹣2x）＝672
D．x（76﹣x）＝672
二．填空题
9．长汀县体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请　
　支球队参加比赛．
10．某市某楼盘的价格是每平方米6500元，由于市场萎靡，开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两次下调后，该楼盘的价格为每平方米5265元．设平均每次下调的百分率为x，则可列方程为　
　．
11．某地开展植树造林活动，两年内植树面积由30万亩增加到42万亩，若设植树面积年平均增长率为x，根据题意列方程　
　．
12．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有　
　个班参赛．
13．某种药品经过两次降价后，价格下降了19%，则该药品平均每次降价的百分比为　
　．
14．某商品的利润为每件10元时，能卖500件，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10件，为了赚8000元利润，设涨价为x元，应列方程为　
　．
15．一块正方形钢板上截去3cm宽的长方形钢条，剩下的面积是54cm2，则原来这块钢板的面积是　
　cm2．
16．如图，将边长为4的正方形，沿两边剪去两个一边长为x的矩形，剩余部分的面积为9，可列出方程为　
　．
三．解答题
17．耒阳市政府为把耒阳建设成森林城市，决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，则这两年平均每年绿地面积的增长率为多少？
18．某公司第一季度的销售利润为20万元，第三季度的销售利润为24.2万元．
（1）求平均每个季度销售利润的增长率；
（2）按照这个增长率，预计第四季度的销售利润将达到多少万元？
19．某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆．
（1）当售价为22万元/辆时，平均每周的销售利润为　
　万元；
（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．
20．海安文峰大世界服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽可能的减少库存，决定采取降价措施，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可以多售出2件，想要平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
21．某公司投资建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间租金定为10万元，可全部租出，每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．
（1）当每间商铺的年租金为l3万元时，能租出多少间？
（2）若从减少空铺的角度来看，当每间商铺的年租金为多少万元时，该公司的年收益为275万元？
22．新能源汽车投放市场后，有效改善了城市空气质量．经过市场调查得知，某市去年新能源汽车总量已达到3250辆，预计明年会增长到6370辆．
（1）求今、明两年新能源汽车数量的平均增长率；
（2）为鼓励市民购买新能源汽车，该市财政部门决定对今年增加的新能源汽车给予每辆0.8万元的政府性补贴．在（1）的条件下，求该市财政部门今年需要准备多少补贴资金？
23．如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，求该长方体的底面宽，若该长方体的底面宽为x米：
（1）用含x的代数式分别表示出该长方体的底面长和容积．
（2）请列出关于x的方程．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．想用一根长20m的绳子围成以下面积的矩形，一定做不到的是（　　）
A．26m2
B．25m2
C．24m2
D．23m2
【分析】设矩形的长为xm，则宽为（10﹣x），设面积为y，由矩形的面积公式建立解析式就可以求出结论．
【解答】解：设矩形的长为xm，面积为y，由题意，得
y＝x（10﹣x），
y＝﹣x2+10x，
y＝﹣（x﹣5）2+25．
∴a＝﹣1＜0，
∴y有最大值，
∴x＝5时，y最大＝25．
∵26＞25．
∴面积为26m2不成立．
故选：A．
2．某电视机厂计划两年后产量为现在的2倍，如果每年增长率为x，则可得方程（　　）
A．1+x2＝3
B．1+x＝2
C．1+2x＝2
D．（1+x）2＝2
【分析】设原来的产量为a，平均每年的增长率是x，根据增长率的数量关系建立方程求出其解即可．
【解答】解：设原来的产量为单位“1”，平均每年的增长率是x，由题意，得
（1+x）2＝2，
故选：D．
3．为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m2提高到12.1m2．若每年的年增长率相同，则年增长率为（　　）
A．9%
B．10%
C．11%
D．12%
【分析】如果设每年的增长率为x，则可以根据“住房面积由现在的人均约为10m2提高到12.1m2”作为相等关系得到方程10（1+x）2＝12.1，解方程即可求解．
【解答】解：设每年的增长率为x，根据题意得10（1+x）2＝12.1
解得x＝0.1或x＝﹣（舍去）
故选：B．
4．2011年初中毕业生诊断考试）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2450张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　）
A．x（x﹣1）＝2450
B．x（x+1）＝2450
C．2x（x+1）＝2450
D．
【分析】根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程：（x﹣1）x＝2450．
【解答】解：根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，
∴全班共送：（x﹣1）x＝2450，
故选：A．
5．安徽省作为首批国家电子商务进农村示范省之一，先后携手阿里巴巴、苏宁云商等电商巨头，推动线上线下融合发展，激发农村消费潜力，实现“安徽特产卖全国”．根据某淘宝农村超市统计一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为49万元．设每月的平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．49（1+x）2＝36
B．36（1﹣x）2＝49
C．36（1+x）2＝49
D．49（1﹣x）2＝36
【分析】为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设每月的平均增长率为x，根据“三月份的营业额为49万元”，即可得出方程．
【解答】解：设每月的平均增长率为x，
∴由题意可得：36（1+x）2＝49．
故选：C．
6．元旦当天，小明将收到的一条短信，发送给若干人，每个收到短信的人又给相同数量的人转发了这条短信，此时收到这条短信的人共有157人，问小明给（　　）人发了短信？
A．10
B．11
C．12
D．13
【分析】首先设小明发短信给x个人，根据每人只转发一次可得第一次转发共有x+1人收到了短信，第二次转发有1+x+x2人收到了短信，由题意可得方程人收到了短信＝157，再解方程即可．
【解答】解：设小明发短信给x个人，由题意得：
1+x+x2＝157，
解得：x1＝12，x2＝﹣13（不合题意舍去），
答：小明发短信给12个人，
故选：C．
7．某中学准备建一个面积为5000平方米的矩形操场，操场的长比宽长50米，设操场的长为x米，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A．x（x﹣50）＝5000
B．x（x+50）＝5000
C．2x（x﹣25）＝5000
D．2x（25+x）＝5000
【分析】首先用x表示出矩形的宽，然后根据矩形面积＝长×宽列出方程即可．
【解答】解：设该场地的长为x，则宽为（x﹣50）；
根据长方形的面积公式可得：x（x﹣50）＝5000．
故选：A．
8．如图所示，在一边靠墙（墙足够长）空地上，修建一个面积为672m2的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为76
m的栅栏围成，若设栅栏AB的长为xm，则下列各方程中，符合题意的是（　　）
A．x（76﹣x）＝672
B．x（76﹣2x）＝672
C．x（76﹣2x）＝672
D．x（76﹣x）＝672
【分析】本题可根据题意分别用x表示BC或AD的长，再根据面积公式列出方程即可．
【解答】解：依题意得：BC＝AD＝（76﹣x），
而矩形面积＝BC×AB＝（76﹣x）x＝672．
故选：A．
二．填空题
9．长汀县体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请　8　支球队参加比赛．
【分析】设要邀请x支球队参加比赛，则比赛的总场数为x（x﹣1）场，与总场数为28场建立方程求出其解即可．
【解答】解：设要邀请x支球队参加比赛，由题意，得
x（x﹣1）＝28
解得：x1＝8，x2＝﹣7（舍去）．
答：应邀请8支球队参加比赛．
故答案为：8．
10．某市某楼盘的价格是每平方米6500元，由于市场萎靡，开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两次下调后，该楼盘的价格为每平方米5265元．设平均每次下调的百分率为x，则可列方程为　6500（1﹣x）2＝5265　．
【分析】设出平均每次下调的百分率为x，利用每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2＝下调后每平方米销售价格列方程解答即可．
【解答】解：设平均每次降价的百分率是x，根据题意列方程得，
6500（1﹣x）2＝5265．
故答案为：6500（1﹣x）2＝5265．
11．某地开展植树造林活动，两年内植树面积由30万亩增加到42万亩，若设植树面积年平均增长率为x，根据题意列方程　30（1+x）2＝42　．
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设植树面积年平均增长率为x，那么两年后的植树面积30（1+x）2，根据“两年内植树面积由30万亩增加到42万亩”可得出方程．
【解答】解：设植树面积年平均增长率为x，
那么两年后的植树面积30（1+x）2，
根据题意可得出方程：30（1+x）2＝42．
故答案是：30（1+x）2＝42．
12．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有　6　个班参赛．
【分析】设共有x个班参赛，根据每两班之间都比赛一场且计划安排15场比赛，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设共有x个班参赛，
根据题意得：x（x﹣1）＝15，
解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）．
故答案为：6．
13．某种药品经过两次降价后，价格下降了19%，则该药品平均每次降价的百分比为　10%　．
【分析】设平均每次降价的百分比为x，经过连续两次降价后为（1﹣x）2；现在的价格比原来低19%，可以把原价格看作为1，则现在的价格为1﹣19%，列方程解出即可．
【解答】解：设平均每次降价的百分比为x，
根据题意得：（1﹣x）2＝1﹣19%，
1﹣x＝±0.81，
x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去），
答：平均每次降价的百分比为10%．
故答案为：10%．
14．某商品的利润为每件10元时，能卖500件，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10件，为了赚8000元利润，设涨价为x元，应列方程为　（10+x）（500﹣10x）＝8000　．
【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
（10+x）（500﹣10x）＝8000，
故答案为：（10+x）（500﹣10x）＝8000．
15．一块正方形钢板上截去3cm宽的长方形钢条，剩下的面积是54cm2，则原来这块钢板的面积是　81　cm2．
【分析】一块正方形钢板上截去3cm宽的长方形钢条，所截的长方形的长是正方形的边长，宽是3cm，分别根据长方形和正方形的面积公式即可表示出两个图形的面积，根据剩下的面积是54cm2列出方程求解即可．
【解答】解：设正方形的边长为x，
根据题意得：x2﹣3x＝54，
解得x＝9或﹣6（不合题意，舍去）．
故这块钢板的面积是x2＝9×9＝81cm2．
16．如图，将边长为4的正方形，沿两边剪去两个一边长为x的矩形，剩余部分的面积为9，可列出方程为　16﹣（4x×2﹣x2）＝9　．
【分析】如果设剪去的边长为x，那么根据题容易列出方程为16﹣（4x×2﹣x2）＝9．
【解答】解：设剪去的边长为x，
那么根据题容易列出方程为16﹣（4x×2﹣x2）＝9，
故答案为：16﹣（4x×2﹣x2）＝9．
三．解答题
17．耒阳市政府为把耒阳建设成森林城市，决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，则这两年平均每年绿地面积的增长率为多少？
【分析】本题可设这两年平均每年的增长率为x，因为经过两年时间，让市区绿地面积增加44%，则有（1+x）2＝1+44%，解这个方程即可求出答案．
【解答】解：设这两年平均每年的绿地增长率为x，根据题意得，
（1+x）2＝1+44%，
解得x1＝﹣2.2（舍去），x2＝0.2．
答：这两年平均每年绿地面积的增长率为20%．
18．某公司第一季度的销售利润为20万元，第三季度的销售利润为24.2万元．
（1）求平均每个季度销售利润的增长率；
（2）按照这个增长率，预计第四季度的销售利润将达到多少万元？
【分析】（1）设平均每个季度销售利润的增长率为x，根据该公司第一季度及第三季度得销售利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用第四季度的销售利润＝第三季度的销售利润×（1+增长率），即可求出结论．
【解答】解：（1）设平均每个季度销售利润的增长率为x，
依题意得：20（1+x）2＝24.2，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：平均每个季度销售利润的增长率为10%．
（2）24.2×（1+10%）＝26.62（万元）．
答：预计第四季度的销售利润将达到26.62万元．
19．某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆．
（1）当售价为22万元/辆时，平均每周的销售利润为　98　万元；
（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．
【分析】（1）根据销售价减去进价等于利润，单件的利润乘以销售量即可求解；
（2）根据销售利润等于单件利润乘以总销售量即为总利润．
【解答】（1）根据题意，得（22﹣15）（8+6）＝98．
故答案为98．
（2）设每辆汽车降价x万元，则售价为（25﹣x）万元，根据题意，得
（25﹣x﹣15）（8+2x）＝90
整理，得x2﹣6x+5＝0
解得x1＝1，x2＝5．
为了尽快减少库存，x＝5，25﹣x＝20．
答：每辆汽车的售价为20万元．
20．海安文峰大世界服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽可能的减少库存，决定采取降价措施，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可以多售出2件，想要平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
【分析】设每件童装应降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，根据平均每天销售这种童装的盈利额＝每件盈利×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合尽可能的减少库存，即可确定x的值．
【解答】解：设每件童装应降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，
依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
又∵尽可能的减少库存，
∴x＝20．
答：每件童装应降价20元．
21．某公司投资建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间租金定为10万元，可全部租出，每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．
（1）当每间商铺的年租金为l3万元时，能租出多少间？
（2）若从减少空铺的角度来看，当每间商铺的年租金为多少万元时，该公司的年收益为275万元？
【分析】（1）直接根据题意先求出增加的租金是4个5000，从而计算出租出多少间；
（2）设每间商铺的年租金增加x万元，直接根据收益＝租金﹣各种费用＝275万元作为等量关系列方程求解即可．
【解答】解：（1）∵（130000﹣100000）÷5000＝6，
∴能租出30﹣6＝24（间）．
（2）设每间商铺年租金增加x万元
所以（30﹣）（10+x）﹣（30﹣）×1﹣×0.5＝275，
解得x1＝5，x2＝0.5，
∴每间商铺的年租金为10.5万元或15万元
∴若从减少空铺的角度来看，当每间商铺的年租金为10.5万元时，该公司的年收益为275万元．
22．新能源汽车投放市场后，有效改善了城市空气质量．经过市场调查得知，某市去年新能源汽车总量已达到3250辆，预计明年会增长到6370辆．
（1）求今、明两年新能源汽车数量的平均增长率；
（2）为鼓励市民购买新能源汽车，该市财政部门决定对今年增加的新能源汽车给予每辆0.8万元的政府性补贴．在（1）的条件下，求该市财政部门今年需要准备多少补贴资金？
【分析】（1）设今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为x，根据“去年新能源汽车总量已达到3250辆，预计明年会增长到6370辆”列出方程并解答；
（2）根据（1）中的增长率可以得到：3250×增长率×0.8．
【解答】解：（1）设今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为x，由题意，得
3250（1+x）2＝6370．
解得，x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（舍去）．
答：今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为40%；
（2）3250×40%×0.8＝1040（万元）．
答：该市财政部门今年需要准备1040万元补贴资金．
23．如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，求该长方体的底面宽，若该长方体的底面宽为x米：
（1）用含x的代数式分别表示出该长方体的底面长和容积．
（2）请列出关于x的方程．
【分析】（1）表示出长方体运输箱底面的宽为xm，则长为（x+2）m，进而得到容积为x（x+2）即可．
（2）由围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，根据（1）列方程即可．
【解答】解：（1）长方体运输箱底面的宽为xm，则长为（x+2）m．
容积为x（x+2）×1＝x2+2x；
（2）x2+2x＝15．