2021-2022学年北师大版九年级数学上册2.2 用配方法解一元二次方程同步练习（Word版，附答案解析）

2.2
用配方法解一元二次方程
一．选择题
1．一元二次方程x2+6x﹣6＝0配方后化为（　　）
A．（x+3）2＝15
B．（x﹣3）2＝15
C．（x﹣3）2＝3
D．（x+3）2＝3
2．一元二次方程（x﹣3）2﹣4＝0的解是（　　）
A．x＝5
B．x＝1
C．x1＝5，x2＝﹣5
D．x1＝1，x2＝5
3．已知P＝2m﹣3，Q＝m2﹣1（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（　　）
A．P＞Q
B．P≤Q
C．P＜Q
D．不能确定
4．若方程（x﹣2）2＝k﹣5可以直接用开平方法解，则k的取值范围是（　　）
A．k＞0
B．k≥0
C．k≥5
D．k＞5
5．已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≥﹣
B．m≥0
C．m≥1
D．m≥2
6．一元二次方程x2+6x+9＝0的解是（　　）
A．x＝3
B．x1＝3，x2＝﹣3
C．x1＝x2＝﹣3
D．x1＝x2＝3
7．若a2+6a+b2﹣4b+13＝0，则ab的值是（　　）
A．8
B．﹣8
C．9
D．﹣9
8．《代数学》中记载，形如x2+10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（　　）
A．6
B．3﹣3
C．3﹣2
D．3﹣
9．设a、b是两个整数，若定义一种运算“△”，a△b＝a2+b2+ab，则方程（x+2）△x＝1的实数根是（　　）
A．x1＝x2＝1
B．x1＝0，x2＝1
C．x1＝x2＝﹣1
D．x1＝1，x2＝﹣2
二．填空题
10．用直接开平方法解一元二次方程时，将一元二次方程的左边化为一个　
　式，右边化为　
　．
11．一元二次方程x2﹣c＝0的一个根是2，则常数c的值是　
　．
12．已知a2+b2+4a﹣8b+20＝0．则ba＝　
　．
13．在实数范围内定义一种运算“
”，其规则为a
b＝a2﹣2ab+b2，根据这个规则求方程（x﹣4）
1＝0的解为　
　．
14．对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p、q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝　
　．
15．如果（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝63，那么a2+b2的值为　
　．
16．已知a、b、c满足a﹣b＝8，ab+c2+16＝0，则2a+b+c的值等于　
　．
17．用配方法把方程x2﹣6x﹣1＝0化成（x+m）2＝n的形式，得　
　．
三．解答题
18．选择合适的方法解方程：
（1）2（x+3）2＝18；
（2）3x2﹣6x﹣4＝0．
19．当x取何值时，代数式3x2﹣3的值和代数式2x2﹣1的值相等？
20．已知M＝x2﹣x+1．
（1）当M＝3时，求x的值；
（2）若M＝3x2+1，求M的值；
（3）求证：M＞0．
21．我们知道：x2﹣6x＝（x2﹣6x+9）﹣9＝（x﹣3）2﹣9；﹣x2+10＝﹣（x2﹣10x+25）+25＝﹣（x﹣5）2+25，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：
（1）按上面材料提示的方法填空：a2﹣4a＝　
　＝　
　．﹣a2+12a＝　
　＝　
　．
（2）探究：当a取不同的实数时在得到的代数式a2﹣4a的值中是否存在最小值？请说明理由．
（3）应用：如图．已知线段AB＝6，M是AB上的一个动点，设AM＝x，以AM为一边作正方形AMND，再以MB、MN为一组邻边作长方形MBCN．问：当点M在AB上运动时，长方形MBCN的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．
22．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例如：若代数式M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1．
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，
∴当a＝b＝1时，代数式M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　
　；
（2）若代数式M＝+2a+1，求M的最小值；
（3）已知a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2＝0，求代数式a+b+c的值．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．一元二次方程x2+6x﹣6＝0配方后化为（　　）
A．（x+3）2＝15
B．（x﹣3）2＝15
C．（x﹣3）2＝3
D．（x+3）2＝3
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2+6x﹣6＝0，
∴x2+6x+9＝15，
∴（x+3）2＝15，
故选：A．
2．一元二次方程（x﹣3）2﹣4＝0的解是（　　）
A．x＝5
B．x＝1
C．x1＝5，x2＝﹣5
D．x1＝1，x2＝5
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：∵（x﹣3）2﹣4＝0，
∴（x﹣3）2＝4，
则x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，
解得x1＝5，x2＝1，
故选：D．
3．已知P＝2m﹣3，Q＝m2﹣1（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（　　）
A．P＞Q
B．P≤Q
C．P＜Q
D．不能确定
【分析】把Q﹣P利用完全平方公式进行变形，根据偶次方的非负性解答．
【解答】解：Q﹣P＝m2﹣1﹣（2m﹣3）
＝m2﹣1﹣2m+3
＝m2﹣2m+2
＝m2﹣2m+1+1
＝（m﹣1）2+1，
∵（m﹣1）2≥0，
∴，（m﹣1）2+1＞0，
∴Q﹣P＞0，
∴P＜Q，
故选：C．
4．若方程（x﹣2）2＝k﹣5可以直接用开平方法解，则k的取值范围是（　　）
A．k＞0
B．k≥0
C．k≥5
D．k＞5
【分析】若方程（x﹣2）2＝k﹣5可以直接用开平方法解，则k﹣5≥0．
【解答】解：由题意知，k﹣5≥0．
解得k≥5．
故选：C．
5．已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≥﹣
B．m≥0
C．m≥1
D．m≥2
【分析】首先移项把﹣m移到方程右边，再根据直接开平方法可得m的取值范围．
【解答】解；（x+1）2﹣m＝0，
（x+1）2＝m，
∵一元二次方程（x+1）2﹣m＝0有两个实数根，
∴m≥0，
故选：B．
6．一元二次方程x2+6x+9＝0的解是（　　）
A．x＝3
B．x1＝3，x2＝﹣3
C．x1＝x2＝﹣3
D．x1＝x2＝3
【分析】先把左边直接配方，得（x+3）2＝0，直接开平方即可．
【解答】解：x2+6x+9＝0，
配方，得（x+3）2＝0，
直接开平方，得x+3＝0，
方程的解为x1＝x2＝﹣3，
故选：C．
7．若a2+6a+b2﹣4b+13＝0，则ab的值是（　　）
A．8
B．﹣8
C．9
D．﹣9
【分析】已知等式变形配方后，利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：已知等式变形得：（a2+6a+9）+（b2﹣4b+4）＝0，
即（a+3）2+（b﹣2）2＝0，
可得a+3＝0，b﹣2＝0，
解得：a＝﹣3，b＝2，
则原式＝（﹣3）2＝9．
故选：C．
8．《代数学》中记载，形如x2+10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（　　）
A．6
B．3﹣3
C．3﹣2
D．3﹣
【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积＝阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．
【解答】解：x2+6x+m＝0，
x2+6x＝﹣m，
∵阴影部分的面积为36，
∴x2+6x＝36，
设4a＝6，
则a＝，
同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为36+（）2×4＝36+9＝45，则该方程的正数解为﹣3＝3﹣3．
故选：B．
9．设a、b是两个整数，若定义一种运算“△”，a△b＝a2+b2+ab，则方程（x+2）△x＝1的实数根是（　　）
A．x1＝x2＝1
B．x1＝0，x2＝1
C．x1＝x2＝﹣1
D．x1＝1，x2＝﹣2
【分析】根据题中的新定义将所求方程化为普通方程，左边化为完全平方式，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【解答】解：∵a△b＝a2+b2+ab，
∴（x+2）△x＝（x+2）2+x2+x（x+2）＝1，
整理得：x2+2x+1＝0，即（x+1）2＝0，
解得：x1＝x2＝﹣1．
故选：C．
二．填空题
10．用直接开平方法解一元二次方程时，将一元二次方程的左边化为一个　完全平方　式，右边化为　常数　．
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方，据此可得答案．
【解答】解：用直接开平方法解一元二次方程时，将一元二次方程的左边化为一个完全平方式，右边化为常数，
故答案为：完全平方，常数．
11．一元二次方程x2﹣c＝0的一个根是2，则常数c的值是　4　．
【分析】将x＝2代入原式即可求出c的值．
【解答】解：将x＝2代入x2﹣c＝0，
∴4﹣c＝0，
∴c＝4，
故答案为：4；
12．已知a2+b2+4a﹣8b+20＝0．则ba＝　　．
【分析】利用完全平方公式把原式变形，根据非负数的性质分别求出a、b，根据负整数指数幂的运算法则计算．
【解答】解：a2+b2+4a﹣8b+20＝0，
a2+4a+4+b2﹣8b+16＝0，
（a+2）2+（b﹣4）2＝0，
则a+2＝0，b﹣4＝0，
解得，a＝﹣2，b＝4，
则ba＝4﹣2＝，
故答案为：．
13．在实数范围内定义一种运算“
”，其规则为a
b＝a2﹣2ab+b2，根据这个规则求方程（x﹣4）
1＝0的解为　x1＝x2＝5　．
【分析】根据新定义运算法则列出关于x的一元二次方程，然后利用直接开平方法解答．
【解答】解：（x﹣4）
1＝（x﹣4）2﹣2（x﹣4）+1＝x2﹣10x+25＝0，即（x﹣5）2＝0，
解得
x1＝x2＝5，
故答案是：x1＝x2＝5．
14．对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p、q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝　2或﹣1　．
【分析】首先理解题意，进而可得min{（x﹣1）2，x2}＝1时分情况讨论：当（x﹣1）2＝1时；x2＝1时；进而可得答案．
【解答】解：∵min{（x﹣1）2，x2}＝1，
当（x﹣1）2＝1时，解得x＝2或0，
x＝0时，不符合题意，
∴x＝2．
当x2＝1时，解得x＝1或﹣1，
x＝1不符合题意，
∴x＝﹣1，
故答案为：2或﹣1．
15．如果（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝63，那么a2+b2的值为　8　．
【分析】首先把a2+b2看作一个整体为x，进一步整理方程，开方得出答案即可．
【解答】解：设a2+b2＝x，
则（x+1）（x﹣1）＝63
整理得：x2＝64，
x＝±8，
即a2+b2＝8或a2+b2＝﹣8（不合题意，舍去）．
故答案为：8．
16．已知a、b、c满足a﹣b＝8，ab+c2+16＝0，则2a+b+c的值等于　4　．
【分析】由a﹣b＝8，得出a＝b+8，进一步代入ab+c2+16＝0，进一步利用完全平方公式分组分解，进一步利用非负数的性质求得a、b、c的数值，进一步代入求得答案即可．
【解答】解：∵a﹣b＝8，
∴a＝b+8，
∴ab+c2+16＝b（b+8）+c2+16＝（b+4）2+c2＝0，
∴b+4＝0，c＝0，
解得：b＝﹣4，
∴a＝4，
∴2a+b+c＝4．
故答案为：4．
17．用配方法把方程x2﹣6x﹣1＝0化成（x+m）2＝n的形式，得　（x﹣3）2＝10　．
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，在把常数项﹣1移项后，左右两边应该同时加上一次项系数﹣6一半的平方．
【解答】解：∵x2﹣6x﹣1＝0
∴x2﹣6x＝1
∴x2﹣6x+9＝1+9
∴（x﹣3）2＝10．
三．解答题
18．选择合适的方法解方程：
（1）2（x+3）2＝18；
（2）3x2﹣6x﹣4＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用配方法求解即可．
【解答】解：（1）∵2（x+3）2＝18，
∴（x+3）2＝9，
∴x+3＝±3，
则x1＝0，x2＝﹣6；
（2）∵3x2﹣6x﹣4＝0，
∴3x2﹣6x＝4，
∴x2﹣2x＝，
则x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
19．当x取何值时，代数式3x2﹣3的值和代数式2x2﹣1的值相等？
【分析】根据题意列出关于x的方程3x2﹣3＝2x2﹣1，整理成x2＝2，利用直接开平方法求解可得．
【解答】解：由题意，得3x2﹣3＝2x2﹣1，
整理得x2＝2．
∴x＝．
∴当x取时代数式3x2﹣3和代数式2x2﹣1的值相等．
20．已知M＝x2﹣x+1．
（1）当M＝3时，求x的值；
（2）若M＝3x2+1，求M的值；
（3）求证：M＞0．
【分析】（1）将M＝3的值代入，解一元二次方程即可；
（2）令M相等，解一元二次方程即可；
（3）将M配方，即可得．
【解答】解：（1）当M＝3时，
x2﹣x+1＝3，
即x2﹣x﹣2＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣1，
（2）若M＝3x2+1，
则x2﹣x+1＝3x2+1，
即2x2+x＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣，
当x1＝0时，M＝1，
当x2＝﹣时，M＝3×（﹣）2+1＝1+＝；
（3）M＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+，
∵（x﹣）2≥0，
∴（x﹣）2+≥，
∴M＞0．
21．我们知道：x2﹣6x＝（x2﹣6x+9）﹣9＝（x﹣3）2﹣9；﹣x2+10＝﹣（x2﹣10x+25）+25＝﹣（x﹣5）2+25，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：
（1）按上面材料提示的方法填空：a2﹣4a＝　a2﹣4a+4﹣4　＝　（a﹣2）2﹣4　．﹣a2+12a＝　﹣（a2﹣12a+36）+36　＝　﹣（a﹣6）2+36　．
（2）探究：当a取不同的实数时在得到的代数式a2﹣4a的值中是否存在最小值？请说明理由．
（3）应用：如图．已知线段AB＝6，M是AB上的一个动点，设AM＝x，以AM为一边作正方形AMND，再以MB、MN为一组邻边作长方形MBCN．问：当点M在AB上运动时，长方形MBCN的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．
【分析】（1）原式配方即可得到结果；
（2）利用非负数的性质确定出结果即可；
（3）根据题意列出S与x的关系式，配方后利用非负数的性质即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：a2﹣4a＝a2﹣4a+4﹣4＝（a﹣2）2﹣4；﹣a2+12a＝﹣（a2﹣12a+36）+36＝﹣（a﹣6）2+36；
故答案为：a2﹣4a+4﹣4；（a﹣2）2﹣4；﹣（a2﹣12a+36）+36；﹣（a﹣6）2+36；
（2）存在，理由为：
∵a2﹣4a＝a2﹣4a+4﹣4＝（a﹣2）2﹣4≥﹣4，﹣a2+12a＝﹣（a2﹣12a+36）+36＝﹣（a﹣6）2+36≤36，
∴当a＝2时，代数式a2﹣4a存在最小值为﹣4；
（3）根据题意得：S＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9≤9，
则x＝3时，S最大值为9．
22．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例如：若代数式M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1．
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，
∴当a＝b＝1时，代数式M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　4　；
（2）若代数式M＝+2a+1，求M的最小值；
（3）已知a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2＝0，求代数式a+b+c的值．
【分析】（1）根据常数项等于一次项系数的一半进行配方即可；
（2）先提取，将二次项系数化为1，再配成完全平方，即可得答案；
（3）将等式左边进行配方，利用偶次方的非负性可得a，b，c的值，从而问题得解．
【解答】解：（1）∵a2+4a+4＝（a+2）2
故答案为：4；
（2）M＝+2a+1
＝（a2+8a+16）﹣3
＝（a+4）2﹣3
∴M的最小值为﹣3
（3）∵a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+（2c﹣1）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，2c﹣1＝0
∴a＝b＝1，，
∴．