2021-2022学年北师大版七年级数学上册2.3 绝对值同步练习卷（Word版，附答案解析）

2.3
绝对值
一．选择题
1．下列说法正确的是（　　）
A．正数和负数互为相反数
B．﹣a的相反数是正数
C．任何有理数的绝对值都大于它本身
D．任何一个有理数都有相反数
2．若|﹣2a|＝﹣2a，则a一定是（　　）
A．正数
B．负数
C．正数或零
D．负数或零
3．如果一个有理数的绝对值等于它的相反数．那么这个数一定是（　　）
A．负数
B．负数或零
C．正数或零
D．正数
4．若|a|＝5，|b|＝1，且a﹣b＜0，则a+b的值等于（　　）
A．4或6
B．4或﹣6
C．﹣6或6
D．﹣6或﹣4
5．如果|x+3|＝2，那么x的值等于（　　）
A．﹣1
B．﹣5
C．﹣1或﹣5
D．不存在
6．已知x可以为任意值，则|2x﹣1|+|x+2|的最小值是（　　）
A．
B．5
C．3
D．
7．有理数a、b、c的大小关系如图所示，则下列式子中一定成立的是（　　）
A．a+b+c＞0
B．|a+b|＜c
C．|a﹣c|＝|a|+c
D．|b﹣c|＞|c﹣a|
8．若有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，则下列关系正确的是（　　）
A．|a|＜|b|
B．a＞b
C．a＜b
D．a＝b
9．若xy＞0，则++1的值为（　　）
A．﹣2
B．3或﹣2
C．3
D．﹣1或3
10．若a、b、c是有理数且＝﹣1，则的值是（　　）
A．﹣1
B．±1
C．±3或±1
D．1
二．填空题
11．如果|x|＝3，那么x是　
　．
12．若|x|＝3，|y|＝5，则|x﹣y|＝　
　．
13．已知ab＞0，则++＝　
　．
14．如图，化简|a+b|﹣|a|+|b|＝　
　．
15．已知a，b，c，d都是整数，且|a+b|+|b+c|+|c+d|+|d+a|＝2，则|a+d|＝　
　．
三．解答题
16．如图，化简|a|﹣|b|﹣|c|．
17．在数轴上表示a、b、c三个数的点的位置如图所示，化简式子：|a﹣b|+|a﹣c|+|c﹣b|．
18．（1）数轴上两点表示的有理数是a、b，求这两点之间的距离；
（2）是否存在有理数x，使|x+1|+|x﹣3|＝x？
（3）是否存在整数x，使|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|＝14？如果存在，求出所有的整数x；如果不存在，说明理由．
19．（1）比较下列各式的大小（用＜或＞或＝连接）
①|﹣2|+|3|　
　|﹣2+3|；
②|﹣2|+|﹣3|　
　|﹣2﹣3|；
③|﹣2|+|0|　
　|﹣2+0|；
（2）通过以上的特殊例子，请你分析、补充、归纳，当a、b为有理数时，|a|+|b|与|a+b|的大小关系；
（3）根据上述结论，求当|x|+2015＝|x﹣2015|时，x的取值范围．
20．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是　
　；表示﹣2和1两点之间的距离是　
　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．
（2）如果|x+1|＝2，那么x＝　
　；
（3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是　
　，最小距离是　
　．
（4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，则|a+3|+|a﹣5|＝　
　．
（5）当a＝　
　时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是　
　．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．下列说法正确的是（　　）
A．正数和负数互为相反数
B．﹣a的相反数是正数
C．任何有理数的绝对值都大于它本身
D．任何一个有理数都有相反数
【分析】直接利用相反数以及绝对值的性质分析得出答案．
【解答】解：A、正数和负数互为相反数，相加为0才是互为相反数，故此选项错误，不合题意；
B、﹣a的相反数是不一定是正数，故此选项错误，不合题意；
C、任何有理数的绝对值都大于等于它本身，故此选项错误，不合题意；
D、任何一个有理数都有相反数，正确，符合题意．
故选：D．
2．若|﹣2a|＝﹣2a，则a一定是（　　）
A．正数
B．负数
C．正数或零
D．负数或零
【分析】直接利用绝对值的定义分析得出答案．
【解答】解：∵|﹣2a|＝﹣2a，
∴﹣2a≥0，
∴a一定是：负数或零．
故选：D．
3．如果一个有理数的绝对值等于它的相反数．那么这个数一定是（　　）
A．负数
B．负数或零
C．正数或零
D．正数
【分析】一个有理数的绝对值等于它的相反数，那么这个有理数必为非正数，可据此进行判断．
【解答】解：设这个有理数是a，则根据题意有：|a|＝﹣a，因此a≤0，即这个有理数是非正数．
故选：B．
4．若|a|＝5，|b|＝1，且a﹣b＜0，则a+b的值等于（　　）
A．4或6
B．4或﹣6
C．﹣6或6
D．﹣6或﹣4
【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义确定出a与b的值，即可求出a+b的值．
【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝1，且a﹣b＜0，
∴a＝﹣5，b＝1，此时a+b＝﹣4；
a＝﹣5，b＝﹣1，此时a+b＝﹣6，
故选：D．
5．如果|x+3|＝2，那么x的值等于（　　）
A．﹣1
B．﹣5
C．﹣1或﹣5
D．不存在
【分析】根据绝对值性质，由|x+3|＝2可得出x+3＝±2，依此即可求解．
【解答】解：∵|x+3|＝2，
∴x+3＝±2，
∴x的值等于﹣1或﹣5．
故选：C．
6．已知x可以为任意值，则|2x﹣1|+|x+2|的最小值是（　　）
A．
B．5
C．3
D．
【分析】根据绝对值的性质，分别讨论2x﹣1，x+2与0之间的关系，算出结果，比较得出最后结果．
【解答】解：①由2x﹣1＞0，x+2＞0得，x＞，
此时，|2x﹣1|+|x+2|＝3x+1＞
即，|2x﹣1|+|x+2|；
②由2x﹣1＜0，x+2＜0得，x＜﹣2，
此时，|2x﹣1|+|x+2|＝﹣3x﹣1＞﹣3×（﹣2）﹣1，
即
x＜﹣2时，|2x﹣1|+|x+2|＞5；
③由2x﹣1≤0，x+2≥0得，﹣2≤x≤，
此时，|2x﹣1|+|x+2|＝3﹣x，
﹣2≤x≤时，3﹣≤x≤3﹣（﹣2），
即，
所以，当x＝时，|2x﹣1|+|x+2|最小，为；
由2x﹣1＞0，x+2＜0得，x无解；
综上可知，当x＝，|2x﹣1|+|x+2|的值最小为．
故选：A．
7．有理数a、b、c的大小关系如图所示，则下列式子中一定成立的是（　　）
A．a+b+c＞0
B．|a+b|＜c
C．|a﹣c|＝|a|+c
D．|b﹣c|＞|c﹣a|
【分析】由数轴可知a、b为负数，c为正数，根据绝对值的意义，逐一判断．
【解答】解：根据数轴可知，
A、a+b+c＜0，本选项错误；
B、|a+b|＞c，本选项错误；
C、|a﹣c|表示数a的点与数c的点之间的距离，可以用|a|+c表示，本选项正确；
D、|b﹣c|＜|c﹣a|，本选项错误．
故选：C．
8．若有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，则下列关系正确的是（　　）
A．|a|＜|b|
B．a＞b
C．a＜b
D．a＝b
【分析】根据数轴上点的位置判断即可．
【解答】解：根据题意得：|a|＞|b|，a＜b，
故选：C．
9．若xy＞0，则++1的值为（　　）
A．﹣2
B．3或﹣2
C．3
D．﹣1或3
【分析】根据绝对值的定义以及性质即可解决问题；
【解答】解：∵xy＞0，
∴x＞0，y＞0，或x＜0，y＜0，
①当x＞0，y＞0时，原式＝1+1+1＝3
②当x＜0．y＜0时，原式＝﹣1+﹣1+1＝﹣1，
故选：D．
10．若a、b、c是有理数且＝﹣1，则的值是（　　）
A．﹣1
B．±1
C．±3或±1
D．1
【分析】根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出a，b，c中负数有2个，正数有1个，判断出abc的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可得到结果．
【解答】解：∵a，b，c为三个不为0的有理数，且＝﹣1，
∴a，b，c中负数有2个，正数有1个，
∴abc＞0，
则原式＝1．
故选：D．
二．填空题
11．如果|x|＝3，那么x是　±3　．
【分析】由于互为相反数的两个数的绝对值相等，由此即可求解．
【解答】解：如果|x|＝3，那么x＝±3，
故答案为：±3
12．若|x|＝3，|y|＝5，则|x﹣y|＝　2或8　．
【分析】根据绝对值的意义得到x＝±3，y＝±5，再分别计算x﹣y的值，然后再根据绝对值的意义即可得到|x﹣y|＝2或8．
【解答】解：∵|x|＝3，|y|＝5，
∴x＝±3，y＝±5，
∴x﹣y＝3﹣5＝﹣2或x﹣y＝3﹣（﹣5）＝8或x﹣y＝﹣3﹣5＝﹣8或x﹣y＝﹣3+5＝2，
∴|x﹣y|＝2或8．
故答案为：2或8．
13．已知ab＞0，则++＝　3或﹣1　．
【分析】根据a＞0，b＞0，或a＜0，b＜0两种情况．再利用绝对值的性质解答即可．
【解答】解：因为ab＞0，
所以a＞0，b＞0，或a＜0，b＜0，
当a＞0，b＞0时，原式＝，
当a＜0，b＜0时，原式＝，
故答案为：3或﹣1
14．如图，化简|a+b|﹣|a|+|b|＝　0　．
【分析】首先根据数轴可得a+b＜0，a＜0，b＞0，根据绝对值的性质去掉绝对值进行计算即可．
【解答】解：|a+b|﹣|a|+|b|＝﹣a﹣b﹣（﹣a）+b＝﹣a﹣b+a+b＝0，
故答案为：0．
15．已知a，b，c，d都是整数，且|a+b|+|b+c|+|c+d|+|d+a|＝2，则|a+d|＝　1或0　．
【分析】根据题意易知|a+b|、|b+c|、|c+d|、|d+a|是整数，所以不外乎两种可能：①3个为0，1个为2；②2个为0，2个为1，继而讨论|a+d|的值．
【解答】解：由题意得：|a+b|、|b+c|、|c+d|、|d+a|是整数，所以有两种可能：
①3个为0，1个为2，
②2个为0，2个为1，
所以|a+d|只可能取0、1、2，若为2，
则|a+b|＝|b+c|＝|c+d|＝0，
不难得出a＝﹣d，所以|a+d|＝0，与假设|a+d|＝2矛盾．
所以|a+d|只可能取0、1，a＝0，b＝0，c＝﹣1，d＝1时|a+d|＝1；
a＝﹣1，b＝0，c＝0，d＝1时|a+d|＝0．
故答案为：1或0．
三．解答题
16．如图，化简|a|﹣|b|﹣|c|．
【分析】直接利用a，b，c在数轴上的位置进而化简得出答案．
【解答】解：由数轴可得：a＞0，b＜0，c＜0，
故原式＝a﹣（﹣b）﹣（﹣c）
＝a+b+c．
17．在数轴上表示a、b、c三个数的点的位置如图所示，化简式子：|a﹣b|+|a﹣c|+|c﹣b|．
【分析】由数轴可知：b＞a＞0，c＜0，再由这个确定所求绝对值中的正负值就可求出此题．
【解答】解：∵b＞a＞0，c＜0，∴a﹣b是个负数，a﹣c是正数，c﹣b是负数，
∴|a﹣b|+|a﹣c|+|c﹣b|＝﹣（a﹣b）+（a﹣c）﹣（c﹣b）＝﹣a+b+a﹣c﹣c+b＝2b﹣2c．
18．（1）数轴上两点表示的有理数是a、b，求这两点之间的距离；
（2）是否存在有理数x，使|x+1|+|x﹣3|＝x？
（3）是否存在整数x，使|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|＝14？如果存在，求出所有的整数x；如果不存在，说明理由．
【分析】（1）数轴上两点之间的距离等于右边的数减去左边的数或|a﹣b|；
（2）利用绝对值的几何意义进行化简；
（3）利用绝对值的几何意义进行化简，求得|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|的最大值和最小值，再进行判断．
【解答】解：（1）|a﹣b|；
（2）x的取值可能是x＜﹣1，﹣1≤x≤3，x＞3，
化简得﹣2x+2，4，2x﹣2，
则不存在|x+1|+|x﹣3|＝x的情况；
（3）x的取值可能是x＜﹣4，﹣4≤x＜﹣3，﹣3≤x≤3，3＜x≤4，x＞4，
化简得﹣4x，﹣2x+8，14，2x+8，4x，
故存在整数x，使|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|＝14，
即﹣3≤x≤3，x＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3．
19．（1）比较下列各式的大小（用＜或＞或＝连接）
①|﹣2|+|3|　＞　|﹣2+3|；
②|﹣2|+|﹣3|　＝　|﹣2﹣3|；
③|﹣2|+|0|　＝　|﹣2+0|；
（2）通过以上的特殊例子，请你分析、补充、归纳，当a、b为有理数时，|a|+|b|与|a+b|的大小关系；
（3）根据上述结论，求当|x|+2015＝|x﹣2015|时，x的取值范围．
【分析】（1）依据绝对值的性质计算即可；
（2）通过计算找出其中的规律即可得出答案；
（3）依据结论求解即可．
【解答】解：（1）①|﹣2|+|3|＝2+3＝5，|﹣2+3|＝1，故|﹣2|+|3|＞|﹣2+3|；
②|﹣2|+|﹣3|＝2+3＝5，|﹣2﹣3|＝|﹣5|＝5，故|﹣2|+|﹣3|＝|﹣2﹣3|；
③|﹣2|+|0|＝2，|﹣2+0|＝2，故|﹣2|+|0|＝|﹣2+0|．
故答案为：①＞；②＝；③＝．
（2）当a，b异号时，|a|+|b|＞|a+b|，
当a，b同号时（包括零），|a|+|b|＝|a+b|，
∴|a|+|b|≥|a+b|；
（3）∵|x|+2015＝|x﹣2015|，
∴|x|+|﹣2015|＝|x﹣2015|．
由（2）可知：x与﹣2015同号，
∴x≤0．
20．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是　1　；表示﹣2和1两点之间的距离是　3　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．
（2）如果|x+1|＝2，那么x＝　1或﹣3　；
（3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是　12　，最小距离是　2　．
（4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，则|a+3|+|a﹣5|＝　8　．
（5）当a＝　1　时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是　9　．
【分析】（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决；
（2）根据绝对值可得：x+1＝±3，即可解答；
（3）根据绝对值分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答；
（4）根据|a+3|+|a﹣5|表示数a的点到﹣3与5两点的距离的和即可求解；
（5）分类讨论，即可解答．
【解答】解：（1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是：3﹣2＝1；表示﹣2和1两点之间的距离是：1﹣（﹣2）＝3；
（2）|x+1|＝2，
x+1＝2或x+1＝﹣2，
x＝1或x＝﹣3．
（3）∵|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，
∴a＝7或﹣1，b＝1或b＝﹣5，
当a＝7，b＝﹣5时，则A、B两点间的最大距离是12，
当a＝1，b＝﹣1时，则A、B两点间的最小距离是2，
则A、B两点间的最大距离是12，最小距离是2；
（4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，
|a+3|+|a﹣5|＝（a+3）+（5﹣a）＝8．
（5）当a≥4时，原式＝a+5+a﹣1+a﹣4＝3a，这时的最小值为3
4＝12
当1≤a＜4时，原式＝a+5+a﹣1﹣a+4＝a+8，这时的最小值为1+8＝9
当﹣5≤a＜1时，原式＝a+5﹣a+1﹣a+4＝﹣a+10，这时的最小值接近为1+8＝9
当a≤﹣5时，原式＝﹣a﹣5﹣a+1﹣a+4＝﹣3a，这时的最小值为﹣3
（﹣5）＝15
综上可得当a＝1时，式子的最小值为9
故答案为：
（1）1；3；（2）1或﹣3；（3）12；2；（4）8；（5）1；9．