4.3.1相似多边形(1)同步练习题 2021—2022学年北师大版九年级数学上册（word版含答案）

4.3.1相似多边形(1)同步练习题
2021-2022学年北师大版九年级数学上册
A组(基础题)
一、填空题
1.两个相似多边形的一组对应边长分别为3
cm，4.5
cm，那么它们的相似比为______.
2.如果两个相似多边形对应边的比是2∶3，那么这两个相似多边形周长的比是______.
3.如图所示，它们是两个相似的平行四边形，根据条件可知，∠α＝______，m＝______.
4.如图是两个形状相同的红绿灯图案，则根据图中给出的部分数值，得到x的值是______.
5.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，点E，F分别在AD，BC上，若矩形ABFE∽矩形BCDA，则BF的长为______.
6.两个相似的菱形的相似比为3∶4，周长之差为7
cm，则这两个菱形的周长分别是21cm和28cm.
7.如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b.将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a∶b＝______.
8.如图，把一个长方形划分为5个全等的长方形，若要使每一个长方形与原长方形相似，则原长方形的边a，b应满足的条件是______.
9.给出以下五个命题：①所有的正方形都相似；②所有的矩形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的等边三角形都相似；⑤所有的五边形都相似.其中正确的命题有______.
二、选择题
10.如图，将图形用放大镜放大，应该属于(
)
A.平移变换
B.相似变换
C.旋转变换
D.对称变换
11.若一个多边形的各边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边的长为24，则另一个多边形的最短边的长为(
)
A.6
B.8
C.10
D.12
12.如图，正五边形FGHMN∽正五边形ABCDE，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是(
)
A.2DE＝3MN
B.3DE＝2MN
C.3∠A＝2∠F
D.2∠A＝3∠F
13.如果五边形ABCDE∽五边形PQGMN且对应对角线之比为3∶2，那么五边形ABCDE和五边形PQGMN的面积之比是(
)
A.2∶3
B.3∶2
C.6∶4
D.9∶4
三、解答题
14.如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求边x，y的长度和∠α的大小.
15.如图，E，F分别是?ABCD的边AD，BC的中点，若四边形AEFB∽四边形ABCD，AB＝4，求AD的长度.
B组(中档题)
四、填空题
16.如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE＝BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为______.
17.已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1相交于点O，以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则点An的坐标为______.
18.如图，在矩形ABCD中，截去一个正方形ABFE后，使剩下的矩形对开后与原矩形相似，那么原矩形中AD∶AB＝______.
19.如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝9，点E，G分别为边AB，AD上的点.若矩形AEFG与矩形ABCD相似，且相似比为，连接CF，则CF＝______.
五、解答题
20.在AB＝20
m，AD＝30
m的矩形花坛四周修筑小路.
(1)如果四周的小路的宽均相等，都是x
m，如图1，那么小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似吗？请说明理由.
(2)如果相对着的两条小路的宽均相等，宽度分别为x
m，y
m，如图2，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使得小路四周所围成的矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD？请说明理由.
C组(综合题)
21.如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是∶2，连接EB，GD.
(1)求证：EB＝GD.
(2)若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长.
参考答案
4.3.1相似多边形(1)同步练习题
2021-2022学年北师大版九年级数学上册
A组(基础题)
一、填空题
1.两个相似多边形的一组对应边长分别为3
cm，4.5
cm，那么它们的相似比为.
2.如果两个相似多边形对应边的比是2∶3，那么这两个相似多边形周长的比是2∶3.
3.如图所示，它们是两个相似的平行四边形，根据条件可知，∠α＝125°，m＝12.
4.如图是两个形状相同的红绿灯图案，则根据图中给出的部分数值，得到x的值是16.
5.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，点E，F分别在AD，BC上，若矩形ABFE∽矩形BCDA，则BF的长为1.6.
6.两个相似的菱形的相似比为3∶4，周长之差为7
cm，则这两个菱形的周长分别是21cm和28cm.
7.如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b.将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a∶b＝∶1.
8.如图，把一个长方形划分为5个全等的长方形，若要使每一个长方形与原长方形相似，则原长方形的边a，b应满足的条件是b＝a.
9.给出以下五个命题：①所有的正方形都相似；②所有的矩形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的等边三角形都相似；⑤所有的五边形都相似.其中正确的命题有①③④.
二、选择题
10.如图，将图形用放大镜放大，应该属于(
B
)
A.平移变换
B.相似变换
C.旋转变换
D.对称变换
11.若一个多边形的各边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边的长为24，则另一个多边形的最短边的长为(
B
)
A.6
B.8
C.10
D.12
12.如图，正五边形FGHMN∽正五边形ABCDE，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是(
B
)
A.2DE＝3MN
B.3DE＝2MN
C.3∠A＝2∠F
D.2∠A＝3∠F
13.如果五边形ABCDE∽五边形PQGMN且对应对角线之比为3∶2，那么五边形ABCDE和五边形PQGMN的面积之比是(
D
)
A.2∶3
B.3∶2
C.6∶4
D.9∶4
三、解答题
14.如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求边x，y的长度和∠α的大小.
解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴＝＝，∠C＝∠α，∠D＝∠D′＝140°.
∴x＝12，y＝，∠α＝∠C＝360°－∠A－∠B－∠D＝360°－62°－75°－140°＝83°.
15.如图，E，F分别是?ABCD的边AD，BC的中点，若四边形AEFB∽四边形ABCD，AB＝4，求AD的长度.
解：设AE＝x，则AD＝2x.
∵四边形AEFB∽四边形ABCD，
∴＝.
∴AB2＝2x2，
∴AB＝x＝4.
∴x＝2.
∴AD＝4.
B组(中档题)
四、填空题
16.如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE＝BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为.
17.已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1相交于点O，以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则点An的坐标为(3n－1，0).
18.如图，在矩形ABCD中，截去一个正方形ABFE后，使剩下的矩形对开后与原矩形相似，那么原矩形中AD∶AB＝或2.
19.如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝9，点E，G分别为边AB，AD上的点.若矩形AEFG与矩形ABCD相似，且相似比为，连接CF，则CF＝5或.
五、解答题
20.在AB＝20
m，AD＝30
m的矩形花坛四周修筑小路.
(1)如果四周的小路的宽均相等，都是x
m，如图1，那么小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似吗？请说明理由.
(2)如果相对着的两条小路的宽均相等，宽度分别为x
m，y
m，如图2，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使得小路四周所围成的矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD？请说明理由.
解：(1)小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD不相似.理由如下：
设四周的小路的宽为x，
∵＝＝1＋，＝＝1＋，
∴≠.
∴小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD不相似.
(2)∵矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，
∴＝.解得＝.
∴小路的宽x与y的比值为2∶3时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD.
C组(综合题)
21.如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是∶2，连接EB，GD.
(1)求证：EB＝GD.
(2)若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长.
解：(1)证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
∴AE＝AG，AB＝AD，∠EAG＝∠BAD.
∴∠EAG＋∠GAB＝∠BAD＋∠GAB.
∴∠EAB＝∠GAD.
∴△AEB≌△AGD(SAS).
∴EB＝GD.
(2)连接BD，交AC于点P，则BP⊥AC.
∵∠DAB＝60°，
∴∠PAB＝30°.
∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是∶2，AB＝2，
∴AE＝，BP＝AB＝1.
∴AP＝＝.
∴EP＝2.
∴EB＝＝.
∴GD＝.