4.4.2两边成比例且夹角相等的判定方法同步练习题 2021-20 22学年北师大版九年级数学上册（word版含答案）

4.4.2两边成比例且夹角相等的判定方法同步练习题
2021-2022学年北师大版九年级数学上册
A组(基础题)
一、填空题
1.在△ABC和△A′B′C′中，若∠B＝∠B′，AB＝6，BC＝8，B′C′＝4，则当A′B′＝___时，△ABC∽△A′B′C′.
2.在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝105°，AC＝4
cm，AB＝6
cm，DE＝3
cm，则DF＝______时，△ABC与△DEF相似.
3.如图，在?ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是______.
4.如图，BD，CE交于点A，已知AB·AD＝AC·AE，∠B＝30°，则∠E＝______.
5.如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于______.
二、选择题
6.如图，△ABC与下列哪一个三角形相似(
)
7.如图所示，给出下列哪个条件单独能够判定△ABC∽△ACD的是(
)
A.∠B＝∠BCD
B.＝
C.AC2＝AD·AB
D.＝
8.如图，点A，B，C，D，E，F，G，H，K都是7×8方格纸中的格点，为使△DEM∽△ABC，则点M应是F，G，H，K四点中的(
)
A.F
B.G
C.H
D.K
三、解答题
9.如图，在等边△ABC中，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB·CE.求证：
(1)△ADB∽△EAC.
(2)AD2＝BD·DE.
10.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且BE平分∠ABC，∠ABE＝∠ACD，BE，CD交于点G.
(1)求证：＝.
(2)连接DE，求证：DE＝CE.
B组(中档题)
四、填空题
11.在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝______时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似.
12.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6
cm，BC＝8
cm，动点P从点B出发，在BA边上以5
cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以4
cm/s的速度向点B匀速运动，运动时间为t
s(0＜t＜2)，连接PQ.若以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，则t的值为______.
13.如图，已知BD⊥AB于点B，AC⊥AB于点A，且BD＝4，AC＝3，AB＝a，在线段AB上找一点E，使△BDE与△ACE相似.若这样的点E有且只有两个，则a的值是______.
五、解答题
14.如图，在Rt△ABC中，AC＝4，∠BAC＝90°，∠B＝30°，D是BC上一点，AE⊥AD，∠ADE＝30°，连接CE.
(1)求证：△ADE∽△ABC.
(2)求证：△ACE∽△ABD.
(3)若CD＝2CE，则CE＝______.
C组(综合题)
15.将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE.
(1)如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为______，连接BD，可求出的值为______.
(2)当0°＜α＜360°且α≠90°时.
①(1)中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由.
②当以点B′，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值.
参考答案
4.4.2两边成比例且夹角相等的判定方法同步练习题
2021-2022学年北师大版九年级数学上册
A组(基础题)
一、填空题
1.在△ABC和△A′B′C′中，若∠B＝∠B′，AB＝6，BC＝8，B′C′＝4，则当A′B′＝3时，△ABC∽△A′B′C′.
2.在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝105°，AC＝4
cm，AB＝6
cm，DE＝3
cm，则DF＝2_cm或_cm时，△ABC与△DEF相似.
3.如图，在?ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是1.8.
4.如图，BD，CE交于点A，已知AB·AD＝AC·AE，∠B＝30°，则∠E＝30°.
5.如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于.
二、选择题
6.如图，△ABC与下列哪一个三角形相似(
D
)
7.如图所示，给出下列哪个条件单独能够判定△ABC∽△ACD的是(
C
)
A.∠B＝∠BCD
B.＝
C.AC2＝AD·AB
D.＝
8.如图，点A，B，C，D，E，F，G，H，K都是7×8方格纸中的格点，为使△DEM∽△ABC，则点M应是F，G，H，K四点中的(
C
)
A.F
B.G
C.H
D.K
三、解答题
9.如图，在等边△ABC中，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB·CE.求证：
(1)△ADB∽△EAC.
(2)AD2＝BD·DE.
证明：(1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC.
∴∠DBA＝∠ECA＝120°.
∵AB2＝DB·CE，
∴＝.∴＝.
∴△ADB∽△EAC.
(2)∵△ADB∽△EAC，
∴∠DAB＝∠E.
又∵∠D＝∠D，
∴△ADB∽△EDA.
∴＝.
∴AD2＝BD·DE.
10.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且BE平分∠ABC，∠ABE＝∠ACD，BE，CD交于点G.
(1)求证：＝.
(2)连接DE，求证：DE＝CE.
证明：(1)∵∠ABE＝∠ACD，∠A＝∠A，
∴△ABE∽△ACD.
∴＝.
(2)∵＝，
∴＝.
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB.
∴∠AED＝∠ABC.
∵∠AED＝∠ACD＋∠CDE，∠ABC＝∠ABE＋∠CBE，
∴∠ACD＋∠CDE＝∠ABE＋∠CBE.
∵∠ABE＝∠ACD，∴∠CDE＝∠CBE.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.
∴∠CDE＝∠ABE＝∠ACD.
∴DE＝CE.
B组(中档题)
四、填空题
11.在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝或时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似.
12.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6
cm，BC＝8
cm，动点P从点B出发，在BA边上以5
cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以4
cm/s的速度向点B匀速运动，运动时间为t
s(0＜t＜2)，连接PQ.若以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，则t的值为1或.
13.如图，已知BD⊥AB于点B，AC⊥AB于点A，且BD＝4，AC＝3，AB＝a，在线段AB上找一点E，使△BDE与△ACE相似.若这样的点E有且只有两个，则a的值是7或4.
五、解答题
14.如图，在Rt△ABC中，AC＝4，∠BAC＝90°，∠B＝30°，D是BC上一点，AE⊥AD，∠ADE＝30°，连接CE.
(1)求证：△ADE∽△ABC.
(2)求证：△ACE∽△ABD.
(3)若CD＝2CE，则CE＝16－8.
解：(1)证明：∵AE⊥AD，∠BAC＝90°，
∴∠EAD＝∠CAB＝90°.
∵∠B＝30°，∠ADE＝30°，
∴∠B＝∠ADE.
∴△ADE∽△ABC.
(2)证明：∵∠EAD＝∠CAB＝90°，
∴∠EAC＝∠DAB＝90°－∠CAD.
∵△ADE∽△ABC，
∴＝.
∴＝.
∴△ACE∽△ABD.
C组(综合题)
15.将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE.
(1)如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为等腰直角三角形，连接BD，可求出的值为.
(2)当0°＜α＜360°且α≠90°时.
①(1)中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由.
②当以点B′，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值.
解：(2)①两结论仍然成立.
证明：连接BD，
∵AB＝AB′，∠BAB′＝α，∴∠AB′B＝90°－.
∵∠B′AD＝α－90°，AD＝AB′，∴∠AB′D＝135°－.
∴∠EB′D＝∠AB′D－∠AB′B＝135°－－(90°－)＝45°.
∵DE⊥BB′，∴∠EDB′＝∠EB′D＝45°.
∴△DEB′是等腰直角三角形.∴＝.
∵四边形ABCD是正方形，
∴＝，∠BDC＝45°.∴＝.
∵∠EDB′＝∠BDC，
∴∠EDB′＋∠EDB＝∠BDC＋∠EDB.
即∠B′DB＝∠EDC.∴△B′DB∽△EDC.
∴＝＝.
②＝3或1.