2021-20 22学年北师大版九年级数学上册4.5相似三角形判定定理的证明同步练习题（word含答案）

4.5相似三角形判定定理的证明同步练习题
2021-2022学年北师大版九年级数学上册
A组(基础题)
一、填空题
1.如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′.
(1)证明“两角分别相等的两个三角形相似”的思路：在AB边上截取AD＝A′B′，作DE∥BC，先根据____________________证明△ADE∽△ABC，再证△ADE≌△A′B′C′，最后根据相似的传递性得到△ABC∽△A′B′C′.
(2)证明“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的思路：在AB边上截取AD＝A′B′，作DE∥BC，先根据____________________证明△ADE∽△ABC，再证△ADE≌△A′B′C′，最后根据相似的传递性得到△ABC∽△A′B′C′.
(3)证明“三边对应成比例的两个三角形相似”的思路：在AB边上截取AD＝______，在AC边上截取AE＝______，先根据____________________证明△ADE∽△ABC，再证△ADE≌△A′B′C′，最后根据相似的传递性得到△ABC∽△A′B′C′.
2.如图，在△ABC与△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，∠C＝∠ABD，AC＝5
cm，AB＝4
cm，AD的长为______cm.
3.如图，在△ABC中，D，E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，H为AF与DG的交点.若AC＝6，则DH＝______.
二、选择题
4.如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，下列等式成立的是(
)
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
5.如图，在?ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC＝(
)
A.1∶4
B.1∶3
C.2∶3
D.1∶2
6.如图，在△ABC中，AC⊥CB，CD是AB边上中线，AE⊥CD于点E，延长AE交BC于点F，则图中不与△ABC相似的是(
)
A.△CEF
B.△ADE
C.△ACE
D.△ACF
三、解答题
7.如图，已知在△ABC中，D是边AC上的一点，∠CBD的平分线交AC于点E，且AE＝AB.求证：AE2＝AD·AC.
B组(中档题)
四、填空题
8.如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形，连接小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是______和______.
9.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝2，点E在AB的延长线上，且AE＝AC，EF⊥AC于点F，连接BF并延长交CD于点G，则DG＝______.
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为______.
五、解答题
11.如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k(k＞1)，且△ABC的三边长分别为a，b，c(a＞b＞c)，△A1B1C1的三边长分别为a1，b1，c1.
(1)若c＝a1，求证：a＝kc.
(2)若c＝a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a，b，c和a1，b1，c1都是正整数，并加以说明.
(3)若b＝a1，c＝b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k＝2？请说明理由.
C组(综合题)
12.如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F.设＝λ(λ＞0).
(1)若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长.
(2)连接EG，若EG⊥AF.
①求证：点G为CD边的中点.
②求λ的值.
参考答案
4.5相似三角形判定定理的证明同步练习题
2021-2022学年北师大版九年级数学上册
A组(基础题)
一、填空题
1.如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′.
(1)证明“两角分别相等的两个三角形相似”的思路：在AB边上截取AD＝A′B′，作DE∥BC，先根据三角形相似定义证明△ADE∽△ABC，再证△ADE≌△A′B′C′，最后根据相似的传递性得到△ABC∽△A′B′C′.
(2)证明“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的思路：在AB边上截取AD＝A′B′，作DE∥BC，先根据两角分别相等的两个三角形相似证明△ADE∽△ABC，再证△ADE≌△A′B′C′，最后根据相似的传递性得到△ABC∽△A′B′C′.
(3)证明“三边对应成比例的两个三角形相似”的思路：在AB边上截取AD＝A′B′，在AC边上截取AE＝A′C′，先根据两边对应成比例且夹角相等证明△ADE∽△ABC，再证△ADE≌△A′B′C′，最后根据相似的传递性得到△ABC∽△A′B′C′.
2.如图，在△ABC与△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，∠C＝∠ABD，AC＝5
cm，AB＝4
cm，AD的长为
cm.
3.如图，在△ABC中，D，E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，H为AF与DG的交点.若AC＝6，则DH＝1.
二、选择题
4.如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，下列等式成立的是(
A
)
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
5.如图，在?ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC＝(
D
)
A.1∶4
B.1∶3
C.2∶3
D.1∶2
6.如图，在△ABC中，AC⊥CB，CD是AB边上中线，AE⊥CD于点E，延长AE交BC于点F，则图中不与△ABC相似的是(
B
)
A.△CEF
B.△ADE
C.△ACE
D.△ACF
三、解答题
7.如图，已知在△ABC中，D是边AC上的一点，∠CBD的平分线交AC于点E，且AE＝AB.求证：AE2＝AD·AC.
证明：∵BE平分∠CBD，
∴∠DBE＝∠CBE.
∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB.
∵∠ABE＝∠ABD＋∠DBE，∠AEB＝∠C＋∠CBE，
∴∠ABD＝∠C.
又∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB.
∴AB∶AD＝AC∶AB，即AB2＝AD·AC.
∵AE＝AB，
∴AE2＝AD·AC.
B组(中档题)
四、填空题
8.如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形，连接小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是①和④.
9.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝2，点E在AB的延长线上，且AE＝AC，EF⊥AC于点F，连接BF并延长交CD于点G，则DG＝4－2.
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为.
五、解答题
11.如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k(k＞1)，且△ABC的三边长分别为a，b，c(a＞b＞c)，△A1B1C1的三边长分别为a1，b1，c1.
(1)若c＝a1，求证：a＝kc.
(2)若c＝a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a，b，c和a1，b1，c1都是正整数，并加以说明.
(3)若b＝a1，c＝b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k＝2？请说明理由.
解：(1)证明：∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k(k＞1)，
∴＝k，a＝ka1.
又∵c＝a1，∴a＝kc.
(2)取a＝8，b＝6，c＝4，同时取a1＝4，b1＝3，c1＝2.
此时＝＝＝2，
∴△ABC∽△A1B1C1且c＝a1.
(3)不存在这样的△ABC和△A1B1C1.理由如下：
若k＝2，则a＝2a1，b＝2b1，c＝2c1.
又∵b＝a1，c＝b1，
∴a＝2a1＝2b＝4b1＝4c.∴b＝2c.
∴b＋c＝2c＋c＜4c，即b＋c＜a.不符合三角形三边关系.
故不存在这样的△ABC和△A1B1C1，使得k＝2.
C组(综合题)
12.如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F.设＝λ(λ＞0).
(1)若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长.
(2)连接EG，若EG⊥AF.
①求证：点G为CD边的中点.
②求λ的值.
解：(1)∵在正方形ABCD中，
AD∥BC，
∴∠DAG＝∠F，AB＝BC.
又∵AG平分∠DAE，
∴∠DAG＝∠EAG.
∴∠EAG＝∠F.
∴EA＝EF.
∵AB＝BC＝2，∠B＝90°，
若＝λ＝1，则BE＝EC＝BC＝1.
∴AE＝＝.∴EF＝.
∴CF＝EF－EC＝－1.
(2)①证明：∵EA＝EF，EG⊥AF，
∴AG＝FG.
在△ADG和△FCG中，
∴△ADG≌△FCG(AAS).
∴DG＝CG，即点G为CD的中点.
②设CD＝2a，则CG＝a，
由①知，CF＝DA＝2a.
∵EG⊥AF，∠GCF＝90°，
∴∠EGC＋∠CGF＝90°，∠F＋∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°.
∴∠EGC＝∠F.∴△EGC∽△GFC.∴＝.
∵GC＝a，FC＝2a，
∴＝.∴＝.
∴EC＝a，BE＝BC－EC＝2a－a＝a.
∴λ＝＝＝.