4.7.1相似三角形的性质定理(一)同步练习题 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（Word版 含答案）

4.7.1相似三角形的性质定理(一)同步练习题
2021-2022学年北师大版九年级数学上册
A组(基础题)
一、填空题
1.若△ABC∽△DEF，相似比为9∶4，则△ABC与△DEF对应中线的比为_______.
2.已知△ABC∽△DEF，且相似比为4∶3，若△ABC中∠A的平分线AM＝8，则△DEF中∠D的平分线DN＝_______.
3.如图，某校宣传栏后面2
m处种了一排树，每隔2
m一棵，共种了6棵，小勇站在距宣传栏中间位置垂直距离为3
m处，正好看到两端的树干，其余的4棵均被挡住，那么宣传栏的长为_______m.(不计宣传栏的厚度)
4.我军侦察员在距敌方120
m的地方发现敌方的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员将自己的食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住，如图所示.若此时眼睛到食指的距离约为40
cm，食指的长约为8
cm，则敌方建筑物的高度约是_______m.
二、选择题
5.如果两个相似三角形对应角平分线之比是2∶3，那么它们的对应边之比是(
)
A.2∶3
B.4∶9
C.16∶81
D.∶
6.已知两个相似三角形，其中一组对应边上的高分别是2和6，则这两个三角形的相似比为(
)
A.
B.
C.
D.
7.如图，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD＝4，A′D′＝3，BE＝6，则B′E′的长为(
)
A.
B.
C.
D.
三、解答题
8.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120
mm，高AD＝80
mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？
B组(中档题)
四、填空题
9.如图，在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P，N分别在边AB，AC上，QM在边BC上.若BC＝8
cm，AD＝6
cm，且PN＝2PQ，则矩形PQMN的周长为_______cm.
10.如图是一个照相机成像的示意图，像高MN，景物高度AB，CD为水平视线，根据物体成像原理知：AB∥MN，CD⊥MN.
(1)如果像高MN是35
mm，焦距CL是50
mm，拍摄的景物高度AB是4.9
m，拍摄点离景物的距离LD为_______m.
(2)如果要完整的拍摄高度是2
m的景物，拍摄点离景物有4
m，像高不变，那么相机的焦距应调整为_______0mm.
11.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F，现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1；AD的中点E的对应点记为E1.若△E1FA1∽△E1BF，则AD＝_______.
五、解答题
12.有一块锐角三角形卡纸余料ABC，它的边BC＝120
cm，高AD＝80
cm，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为2∶5的矩形纸片EFGH和正方形纸片PMNQ，裁剪时，矩形纸片的较长边在BC上，正方形纸片一边在矩形纸片的较长边EH上，其余顶点均分别在AB，AC上，具体裁剪方式如图所示.
(1)求矩形纸片较长边EH的长.
(2)裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩余料△AEH中与边EH平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向边EH所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判断小聪的剪法是否正确.
C组(综合题)
13.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°.
(1)求证：△PAB∽△PBC.
(2)求证：PA＝2PC.
(3)若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h＝h2·h3.
参考答案
4.7.1相似三角形的性质定理(一)同步练习题
2021-2022学年北师大版九年级数学上册
A组(基础题)
一、填空题
1.若△ABC∽△DEF，相似比为9∶4，则△ABC与△DEF对应中线的比为9∶4.
2.已知△ABC∽△DEF，且相似比为4∶3，若△ABC中∠A的平分线AM＝8，则△DEF中∠D的平分线DN＝6.
3.如图，某校宣传栏后面2
m处种了一排树，每隔2
m一棵，共种了6棵，小勇站在距宣传栏中间位置垂直距离为3
m处，正好看到两端的树干，其余的4棵均被挡住，那么宣传栏的长为6m.(不计宣传栏的厚度)
4.我军侦察员在距敌方120
m的地方发现敌方的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员将自己的食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住，如图所示.若此时眼睛到食指的距离约为40
cm，食指的长约为8
cm，则敌方建筑物的高度约是24m.
二、选择题
5.如果两个相似三角形对应角平分线之比是2∶3，那么它们的对应边之比是(
A
)
A.2∶3
B.4∶9
C.16∶81
D.∶
6.已知两个相似三角形，其中一组对应边上的高分别是2和6，则这两个三角形的相似比为(
B
)
A.
B.
C.
D.
7.如图，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD＝4，A′D′＝3，BE＝6，则B′E′的长为(
D
)
A.
B.
C.
D.
三、解答题
8.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120
mm，高AD＝80
mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？
解：∵四边形EGHF为正方形，
∴BC∥EF.
∴△AEF∽△ABC.
设正方形零件的边长为x
mm，则KD＝EF＝x
mm，AK＝(80－x)mm.
∵AD⊥BC，
∴＝.
∴＝，解得x＝48.
答：正方形零件的边长为48
mm.
B组(中档题)
四、填空题
9.如图，在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P，N分别在边AB，AC上，QM在边BC上.若BC＝8
cm，AD＝6
cm，且PN＝2PQ，则矩形PQMN的周长为14.4cm.
10.如图是一个照相机成像的示意图，像高MN，景物高度AB，CD为水平视线，根据物体成像原理知：AB∥MN，CD⊥MN.
(1)如果像高MN是35
mm，焦距CL是50
mm，拍摄的景物高度AB是4.9
m，拍摄点离景物的距离LD为7m.
(2)如果要完整的拍摄高度是2
m的景物，拍摄点离景物有4
m，像高不变，那么相机的焦距应调整为70mm.
11.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F，现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1；AD的中点E的对应点记为E1.若△E1FA1∽△E1BF，则AD＝.
五、解答题
12.有一块锐角三角形卡纸余料ABC，它的边BC＝120
cm，高AD＝80
cm，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为2∶5的矩形纸片EFGH和正方形纸片PMNQ，裁剪时，矩形纸片的较长边在BC上，正方形纸片一边在矩形纸片的较长边EH上，其余顶点均分别在AB，AC上，具体裁剪方式如图所示.
(1)求矩形纸片较长边EH的长.
(2)裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩余料△AEH中与边EH平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向边EH所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判断小聪的剪法是否正确.
解：(1)设EF＝2x
cm，EH＝5x
cm，
∵在矩形EFGH中，EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC.
∴＝，即＝，解得x＝15.
∴EH＝5x＝15×5＝75(cm).
∴矩形纸片较长边EH的长为75
cm.
(2)小聪的剪法不正确.理由如下：
设正方形的边长为a
cm，
AR＝AD－RD＝80－2×15＝50(cm)，AK＝50－a(cm).
由题意知，△APQ∽△AEH，
∴＝，即＝，解得a＝30.
与边EH平行的中位线＝×75＝37.5(cm).
∵37.5≠30，
∴小聪的剪法不正确.
C组(综合题)
13.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°.
(1)求证：△PAB∽△PBC.
(2)求证：PA＝2PC.
(3)若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h＝h2·h3.
解：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°＝∠PBA＋∠PBC.
又∵∠APB＝135°，
∴∠PAB＋∠PBA＝45°.
∴∠PBC＝∠PAB.
又∵∠APB＝∠BPC＝135°，
∴△PAB∽△PBC.
(2)∵△PAB∽△PBC，
∴＝＝.
在Rt△ABC中，AC＝BC，
∴＝.
∴PB＝PC，PA＝PB.
∴PA＝2PC.
(3)过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3.
∵∠CPB＋∠APB＝135°＋135°＝270°，∴∠APC＝90°.
∴∠EAP＋∠ACP＝90°.
又∵∠ACB＝∠ACP＋∠PCD＝90°，
∴∠EAP＝∠PCD.
∴Rt△AEP∽Rt△CDP.
∴＝＝2，即＝2.∴h3＝2h2.
∵△PAB∽△PBC，
∴＝＝.∴h1＝h2.
∴h＝2h＝2h2·h2＝h2h3，即h＝h2·h3.