4.7.2相似三角形的性质定理(二)同步练习题 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（Word版 含答案）

4.7.2相似三角形的性质定理(二)同步练习题
021-2022学年北师大版九年级数学上册
A组(基础题)
一、填空题
1.
在△ABC中与△DEF中，已知＝＝＝，则△ABC与△DEF的周长之比为_______.
2.
已知两个相似三角形对应角平分线的比为4∶5，周长和为18
cm，那么这两个三角形的周长分别是_______.
3.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE∶S△CDE＝1∶4，则S△BDE∶S△ACD＝_______.
4.如图，点D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O.若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则的值是_______.
二、选择题
5.已知△ABC与△DEF相似且对应周长的比为2∶3，则△ABC与△DEF的面积比为(
)
A.2∶3
B.16∶81
C.9∶4
D.4∶9
6如图，△ABC中，DE∥BC，若AD∶DB＝1∶2，△ADE的周长是6，则△ABC的周长是(
)
A.6
B.12
C.18
D.24
7.如图，点D，E分别为△ABC边AB，AC上的一点，且DE∥BC，S△ADE＝4，S四边形DBCE＝5，则△ADE与△ABC相似比为(
)
A.5∶9
B.4∶9
C.16∶81
D.2∶3
8.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，则△DEO与△BCD的面积的比等于(
)
A.
B.
C.
D.
三、解答题
9.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB.
(1)求证：△BDE∽△EFC.
(2)设＝.
①若BC＝12，则线段BE的长为4.
②若△EFC的面积是20，则△ABC的面积为45.
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E是AC的中点，DE的延长线与BC的延长线交于点F.
(1)求证：＝.
(2)若＝，求的值.
B组(中档题)
四、填空题
11.在?ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2∶3的两部分，连接BE，AC相交于点F，则S△AEF∶S△CBF是_______.
12.如图，△ABC中，CE⊥AB，BF⊥AC.若∠A＝60°，S△AEF＝2，则S△ABC＝_______.
13.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是_______.
14.如图，等边三角形A1B1C1的面积为1，取△A1B1C1各边的中点A2，B2，C2，作第二个等边三角形A2B2C2，再取△A2B2C2各边的中点A3，B3，C3，作第三个等边三角形A3B3C3，……则第n个三角形AnBnCn的面积是_______
四、解答题
15.如图，在?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，M为AD的中点，连接CM交BD于点N，且ON＝1.
(1)求BD的长.
(2)若△DCN的面积为2，则四边形ABCM的面积为9.
C组(综合题)
16.如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，点P在AC上(与A，C不重合)，点Q在BC上.
(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，CP的长等于_______.
(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，CP的长等于_______.
(3)试问：在AB上是否存在一点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出PQ的长.
参考答案
4.7.2相似三角形的性质定理(二)同步练习题
021-2022学年北师大版九年级数学上册
A组(基础题)
一、填空题
1.
在△ABC中与△DEF中，已知＝＝＝，则△ABC与△DEF的周长之比为.
2.
已知两个相似三角形对应角平分线的比为4∶5，周长和为18
cm，那么这两个三角形的周长分别是8_cm，10_cm.
3.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE∶S△CDE＝1∶4，则S△BDE∶S△ACD＝1∶20.
4.如图，点D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O.若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则的值是.
二、选择题
5.已知△ABC与△DEF相似且对应周长的比为2∶3，则△ABC与△DEF的面积比为(
D
)
A.2∶3
B.16∶81
C.9∶4
D.4∶9
6如图，△ABC中，DE∥BC，若AD∶DB＝1∶2，△ADE的周长是6，则△ABC的周长是(
C
)
A.6
B.12
C.18
D.24
7.如图，点D，E分别为△ABC边AB，AC上的一点，且DE∥BC，S△ADE＝4，S四边形DBCE＝5，则△ADE与△ABC相似比为(
D
)
A.5∶9
B.4∶9
C.16∶81
D.2∶3
8.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，则△DEO与△BCD的面积的比等于(
B
)
A.
B.
C.
D.
三、解答题
9.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB.
(1)求证：△BDE∽△EFC.
(2)设＝.
①若BC＝12，则线段BE的长为4.
②若△EFC的面积是20，则△ABC的面积为45.
证明：∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠FCE.
∵EF∥AB，
∴∠DBE＝∠FEC.
∴△BDE∽△EFC.
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E是AC的中点，DE的延长线与BC的延长线交于点F.
(1)求证：＝.
(2)若＝，求的值.
解：(1)证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°.
∵点E是AC的中点，
∴DE＝EC.
∴∠EDC＝∠ECD.
∵∠ACB＝90°，∠BDC＝90°，
∴∠ECD＋∠DCB＝90°，∠DCB＋∠B＝90°.
∴∠ECD＝∠B.∴∠FDC＝∠B.
∵∠F＝∠F，
∴△FBD∽△FDC.
∴＝.
(2)∵＝，
∴＝.
∴＝.
∵△FBD∽△FDC，
∴＝()2＝.
∴＝.
B组(中档题)
四、填空题
11.在?ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2∶3的两部分，连接BE，AC相交于点F，则S△AEF∶S△CBF是4∶25或9∶25.
12.如图，△ABC中，CE⊥AB，BF⊥AC.若∠A＝60°，S△AEF＝2，则S△ABC＝8.
13.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是26.
14.如图，等边三角形A1B1C1的面积为1，取△A1B1C1各边的中点A2，B2，C2，作第二个等边三角形A2B2C2，再取△A2B2C2各边的中点A3，B3，C3，作第三个等边三角形A3B3C3，……则第n个三角形AnBnCn的面积是.
四、解答题
15.如图，在?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，M为AD的中点，连接CM交BD于点N，且ON＝1.
(1)求BD的长.
(2)若△DCN的面积为2，则四边形ABCM的面积为9.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD.
∴∠DMN＝∠BCN，∠MDN＝∠CBN.
∴△MND∽△CNB.
∴＝.
∵点M为AD的中点，
∴MD＝AD＝BC，即＝.
∴＝，即BN＝2DN.
设OB＝OD＝x，则有BD＝2x，BN＝OB＋ON＝x＋1，DN＝x－1，
∴x＋1＝2(x－1)，解得x＝3.
∴BD＝2x＝6.
C组(综合题)
16.如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，点P在AC上(与A，C不重合)，点Q在BC上.
(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，CP的长等于2.
(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，CP的长等于.
(3)试问：在AB上是否存在一点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出PQ的长.
解：存在.∵CA＝4，AB＝5，BC＝3，
∴AB2＝AC2＋BC2＝25.
∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°.
∴△ABC中AB边上的高为.
　　　
①如图1所示，当∠MPQ＝90°，且PM＝PQ时，
∵△CPQ∽△CAB，
∴＝.
∴＝.
∴PQ＝.
②当∠PQM＝90°且QM＝PQ时，结果与①相同.
③如图2所示，当∠PMQ＝90°且PM＝MQ时，过点M作ME⊥PQ，则ME＝PQ.
∴△CPQ中PQ上的高为－ME＝－PQ.
∵＝，
∴＝.
∴PQ＝.
综上可知，存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形，此时PQ的长为或.