2021-2022学年北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元同步练习题（Word版，含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册第四章
图形的相似
单元同步练习题
A组(基础题)
一、填空题
1.已知△ABC与△A1B1C1的相似比为2∶3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3∶5，那么△ABC与△A2B2C2的相似比为_____.
2.已知＝＝＝k，则直线y＝kx＋2k一定经过第_____象限.
3.如图，在△ABC中，EF∥BC，AB＝3AE.若S四边形BCFE＝16，则S△ABC＝_____.
4.如图，在?ABCD中，点E在AB边上，连接CE，BD交于点F.若AE∶BE＝4∶3，BF＝3，则BD＝_____.
5.如图，路灯O到地面的垂直距离为线段OP的长.小明站在路灯下点A处，AP＝4米，他的身高AB为1.6米.若同学们测得他在该路灯下的影长AC为2米，则路灯到地面的距离为_____米.
二、选择题
6.如图，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1，l2，l3于点A，B，C及点D，E，F，且AB＝3，EF＝2，则(
)
A.BC∶DE＝1∶2
B.BC∶DE＝2∶3
C.BC∶DE＝3∶2
D.BC·DE＝6
7.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比恰好为黄金比.已知这本书的长为20
cm，则它的宽约为(
)
A.32.36
cm
B.13.6
cm
C.12.36
cm
D.7.64
cm
8.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条边DF＝50
cm，EF＝30
cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5
m，CD＝20
m，则树高AB为(
)
A.12
m
B.13.5
m
C.15
m
D.16.5
m
9.如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A，B的对应点分别为A′，B′，A′，B′均在图中格点上.若线段AB上有一点P(m，n)，则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为(
)
A.(，n)
B.(m，n)
C.(，)
D.(m，)
三、解答题
10.如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE与△EFC的面积分别为4
cm2和9
cm2，求△ABC的面积.
11.如图，在?ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
①求证：△ADF∽△DEC.
②若AB＝4，AD＝3，AE＝3，则AF＝2.
B组(中档题)
四、填空题
12.如图，在?ABCD中，E，F分别是边BC，CD的中点，AE，AF分别交BD于点G，H，设△AGH的面积为S1，?ABCD的面积为S2，则S1∶S2的值为.
13.将三角形纸片△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4.若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是_____.
14.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE，则CE的长是
_____.
五、解答题
15.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，AC＝BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC，BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N.
(1)如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF.
(2)如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中，探究三条线段AB，CE，CF之间的数量关系，并说明理由.
C组(综合题)
16.(1)如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P.求证：＝.
(2)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点.
①如图2，若AB＝AC＝1，直接写出MN的长为_____.
②如图3，求证：MN2＝DM·EN.
参考答案
2021-2022学年北师大版九年级数学上册第四章
图形的相似
单元同步练习题
A组(基础题)
一、填空题
1.已知△ABC与△A1B1C1的相似比为2∶3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3∶5，那么△ABC与△A2B2C2的相似比为2∶5.
2.已知＝＝＝k，则直线y＝kx＋2k一定经过第二、三象限.
3.如图，在△ABC中，EF∥BC，AB＝3AE.若S四边形BCFE＝16，则S△ABC＝18.
4.如图，在?ABCD中，点E在AB边上，连接CE，BD交于点F.若AE∶BE＝4∶3，BF＝3，则BD＝10.
5.如图，路灯O到地面的垂直距离为线段OP的长.小明站在路灯下点A处，AP＝4米，他的身高AB为1.6米.若同学们测得他在该路灯下的影长AC为2米，则路灯到地面的距离为4.8米.
二、选择题
6.如图，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1，l2，l3于点A，B，C及点D，E，F，且AB＝3，EF＝2，则(
D
)
A.BC∶DE＝1∶2
B.BC∶DE＝2∶3
C.BC∶DE＝3∶2
D.BC·DE＝6
7.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比恰好为黄金比.已知这本书的长为20
cm，则它的宽约为(
C
)
A.32.36
cm
B.13.6
cm
C.12.36
cm
D.7.64
cm
8.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条边DF＝50
cm，EF＝30
cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5
m，CD＝20
m，则树高AB为(
D
)
A.12
m
B.13.5
m
C.15
m
D.16.5
m
9.如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A，B的对应点分别为A′，B′，A′，B′均在图中格点上.若线段AB上有一点P(m，n)，则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为(
C
)
A.(，n)
B.(m，n)
C.(，)
D.(m，)
三、解答题
10.如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE与△EFC的面积分别为4
cm2和9
cm2，求△ABC的面积.
解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴∠C＝∠AED，∠FEC＝∠A，∠ADE＝∠B.
∴△ADE∽△EFC，△ADE∽△ABC，
∴＝()2，＝()2.
∵又S△ADE＝4
cm2，S△EFC＝9
cm2.
∴()2＝.
∴＝.
∴()2＝()2.
∴S△ABC＝4÷＝25(cm)2.
11.如图，在?ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
①求证：△ADF∽△DEC.
②若AB＝4，AD＝3，AE＝3，则AF＝2.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC.
∴∠B＋∠C＝180°，∠ADF＝∠DEC.
∵∠AFD＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C.
∴△ADF∽△DEC.
B组(中档题)
四、填空题
12.如图，在?ABCD中，E，F分别是边BC，CD的中点，AE，AF分别交BD于点G，H，设△AGH的面积为S1，?ABCD的面积为S2，则S1∶S2的值为.
13.将三角形纸片△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4.若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是或2.
14.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE，则CE的长是.
五、解答题
15.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，AC＝BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC，BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N.
(1)如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF.
(2)如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中，探究三条线段AB，CE，CF之间的数量关系，并说明理由.
解：(1)证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AD＝BD，
∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∠BCE＝∠ACF＝90°.
∴∠DCE＝∠DCF＝135°.
在△DCE和△DCF中，
∴△DCE≌△DCF.
∴DE＝DF.
(2)∵∠DCF＝∠DCE＝135°，
∴∠CDF＋∠F＝180°－135°＝45°.
∵∠CDF＋∠CDE＝45°，
∴∠F＝∠CDE.
∴△CDF∽△CED.
∴＝.
∴CD2＝CE·CF.
∵∠ACB＝90°，AD＝BD，
∴CD＝AB.
∴AB2＝4CE·CF.
C组(综合题)
16.(1)如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P.求证：＝.
(2)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点.
①如图2，若AB＝AC＝1，直接写出MN的长为.
②如图3，求证：MN2＝DM·EN.
解：(1)证明：在△ABQ和△ADP中，
∵DP∥BQ，
∴△ADP∽△ABQ.
∴＝.
同理在△ACQ和△AEP中，＝.
∴＝.
(2)②证明：∵∠B＋∠C＝90°，∠CEF＋∠C＝90°，
∴∠B＝∠CEF.
又∵∠BGD＝∠EFC，
∴△BGD∽△EFC.
∴＝.
∴DG·EF＝CF·BG.
又∵DG＝GF＝EF，
∴GF2＝CF·BG.
由(1)得＝＝.
∴·＝·.
∴()2＝·.
∵GF2＝CF·BG，
∴MN2＝DM·EN.