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1.4
充分条件与必要条件
【学习要求】
1.理解充分条件、必要条件的意义.
2.会求(判定)某些简单命题的条件关系.
3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力.
【思维导图】
【知识梳理】
1）充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p?q
p?/_q
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
2）充要条件
(1)定义：若p?q且q?p，则记作p?q，此时p是q的充分必要条件，简称充要条件．
(2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．
【高频考点】
高频考点1.
充分条件、必要条件的判定
【方法点拨】
(1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p?q、q?p是否成立，最后得出结论．
(2)命题判断法：
①若p?q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
②若p?q，且qp，则称p是q的充分不必要条件．
③若pq，且q?p，则称p是q的必要不充分条件．
注意：p是q的充分条件说明：有了条件p成立，就一定能得出结论q成立．但条件p不成立时，结论q未必不成立．
例如，当x＝2时，x2＝4成立，但当x≠2时，x2＝4也可能成立，即当x＝－2时，x2＝4也可以成立，所以“x＝2”是“x2＝4”成立的充分条件，“x＝－2”也是“x2＝4”成立的充分条件．
【例1】（2021·南京师范大学附属扬子中学高三模拟）设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的（
）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分又不必要
【答案】A
【详解】解：甲是乙的充分不必要条件，即甲乙，乙甲，
乙是丙的充要条件，即乙丙，
丁是丙的必要非充分条件，即丙丁，丁丙，
所以甲丁，丁甲，即甲是丁的充分不必要条件，故选：A.
【变式1-1】（2021·湖南长郡中学高三模拟）已知一元二次方程有两个不同的实数根，则“且”的_______是“且”．（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】将所求转化为“且”是“且”的____________条件；
当且时，可得且成立，
当且时，若取，满足条件，但不满足且，故不成立，所以“且”是“且”的充分不必要条件.故选：A
【变式1-2】（2021·揭阳第一中学高一期中）荀子日：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，
故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件．故选：B
【变式1-3】（2021·浙江温州中学高三模拟）已知，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要
【答案】B
【详解】由可解得，
“”是“”的必要不充分条件，
故“”是“”的必要不充分条件.故选：B.
【变式1-4】（2021·湖南长郡中学高三月考）1943年19岁的曹火星在平西根据地进行抗日宣传工作，他以切身经历创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，后毛泽东主席将歌曲改名为《没有共产党就没有新中国》．2021年是中国共产党建党100周年，仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的（
）
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】从逻辑学角度，命题“没有共产党就没有新中国”的逆否命题是“有了新中国就有了共产党”，因此“有共产党”是“有新中国”的必要条件，故选：B．
高频考点2
.
充分条件、必要条件的探索
【方法点拨】(1)先寻找必要条件，即将探求充分和必要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．
(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因此探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．
【例2】（2021·黑龙江实验中学高二月考）a∈R，|a|<4成立的一个必要不充分条件是（
）
A．a<4
B．|a|<3
C．a2<16
D．0
【答案】A
【详解】因为|a|<4的解集是，
A.
因为，所以a<4是|a|<4成立的一个必要不充分条件；
B.
因为，所以|a|<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；
C.
因为a2<16的解集是，所以a2<16是|a|<4成立的一个充要条件；
D.
因为，所以0【变式2-1】（2021·上海高一专题练习）可以作为“若，则”的一个充分而不必要条件的是（
）
A．
B．或
C．且
D．
【答案】C
【详解】A.，只能推出同号，不能推出一定是正数，故不是充分条件，故A不正确；B.，满足或，但此时，故B不正确；C.且，能推出，反过来，，满足，但不能推出且，所以且是的一个充分而不必要条件，故C正确；D.，满足，但不能推出，所以不是充分条件，故D不正确.故选：C
【变式2-2】（2021·安徽高一月考）记方程①：，方程②：，方程③：，其中、、是正实数，若，则“方程③无实根”的一个充分条件是（
）
A．方程①有实根，且②有实根
B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根
D．方程①无实根，且②无实根
【答案】B
【详解】若方程③无实根，则，，故“方程③无实根”的充分条件必须可以证得，A项：因为方程①有实根，且②有实根，所以，，
即，，，无法证得，A错误；
B项：因为方程①有实根，且②无实根，所以，，
即，，，B正确；
C项：因为方程①无实根，且②有实根，所以，，
即，，，无法证得，C错误；
D项：因为方程①无实根，且②无实根，所以，，
即，，，无法证得，D错误，故选：B.
【变式2-3】（2021·安徽蚌埠市·高三三模）下面四个条件中，使成立的必要不充分条件是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】无法推出，故A错误；
“”能推出“”，故选项B是“”的必要条件，
但“”不能推出“”，不是充分条件，满足题意，故B正确；
“”不能推出“”即，故选项C不是“”的必要条件，故C错误；
无法推出，如时，故D错误；故选：B.
【变式2-4】（2021·福建福州市·高一期末）“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由关于的不等式的解集为，
可得，解得，所以的取值范围是.
根据必要不充分条件的概念可知B项正确.故选：B.
高频考点3
.
充分条件与必要条件的应用（参数问题）
【方法点拨】充分条件与必要条件的应用技巧：
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先将p，q等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．
【例3】（2021?万州区校级月考）“一元二次方程x2﹣ax+1＝0有两个正实数根”的一个充分不必要条件可以为
；一个必要不充分条件可以为
．
【解答】解：若一元二次方程x2﹣ax+1＝0有两个正实数根，
则等价为，得，得a≥2，
则成立的充分不必要条件为[2，+∞）的真子集，则[3，+∞）满足条件，
成立的必要不充分条件要真包含[2，+∞），则[0，+∞）满足条件，
故答案为：[3，+∞），[0，+∞）．
【变式3-1】（2021·江苏省包场高级中学高一月考）设：；：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】∵：；：，且是的充分不必要条件，
∴，则，且两不等式中的等号不同时成立．解得：．故选：B．
【变式3-2】（2021·贵溪市实验中学高二月考）已知，，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由是的必要条件，可得，解得故选：D.
【变式3-3】（2021·湖南师大附中高二期末）已知命题，或，若是的一个充分不必要条件，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为命题，或，
又是的一个充分不必要条件，所以，解得，
所以的取值范围是，故选：A
【变式3-4】2021?南阳期末）已知p：a﹣2＜x＜a+2，q：﹣1＜x＜7．若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是
．
【解答】解：p：a﹣2＜x＜a+2，q：﹣1＜x＜7，
因为p是q的充分不必要条件，所以（a﹣2，a+2）?（﹣1，7），
则即1≤a≤5．故答案为：[1，5]．
高频考点4.
充要条件的判断
【方法点拨】判断p是q的充分必要条件的两种思路
(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p?q及q?p这两个命题是否成立，若p?q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q?p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件．
(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p?q及q?p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合?大集合”的关系理解，对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．
【例4】（2021·云南昆明一中高一期末）下列各选项中，是的充要条件的是（
）
A．：，：
B．：，：
C．：，：
D．：，：
【答案】B
【详解】对于A：：，：，,∴是的充分不必要条件，故A错误；
对于B：
：，：，，反过来，∴是的充要条件，故B正确；
对于C：
：，：，当c=0时，由p不能推出q，故C错误；
对于D：：，：，若，则无意义，由p不能推出q，故D错误.故选：B
【变式4-1】（2021·沈阳市·辽宁实验中学高三二模）下列四个选项中，是的充分必要条件的是（
）．
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】ABC
【详解】A．由，，可得，，反之也成立，∴是的充分必要条件；
B．由，，可得，；反之也成立，∴是的充分必要条件；
C．由，，可得，；反之也成立，∴是的充分必要条件；
D．由，，可得，；反之不成立，
例如取，．∴是的必要不充分条件．故选：ABC．
【变式4-2】（2021·湖北省直辖县级行政单位·高一期末）下列各题中，是的充要条件的有（
）
A．：四边形是正方形；：四边形的对角线互相垂直且平分
B．：两个三角形相似；：两个三角形三边成比例
C．：；：，；
D．：是一元二次方程的一个根；：
【答案】BD
【详解】A选项，p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分，因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，也可能为菱形，所以推不出，所以p不是q的充要条件；
B选项，p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例，因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即能等价互推，所以p是q的充要条件.
C选项，，，，因为时，，不一定成立，也可能，，所以推不出，所以p不是q的充要条件；
D选项，是一元二次方程的一个根，.
将代入方程得，，即
“若p，则q”
为真命题，若，则时，方程左式，即适合方程，是一元二次方程的一个根，故“若q，则p”均为真命题，即能等价互推，所以p是q的充要条件.所以BD中，p是q的充要条件.选：BD.
【变式4-3】（2021·天津高三一模）命题，命题，命题是命题的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】，即，是充分的，
即，是必要的．因此是的充要条件．故选：C．
【变式4-4】（2021·全国高三专题练习）已知命题是方程的一个根，，则是的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】由是方程的一个根，可得,即，所以是的充分条件；由可得,即是方程的一个根，所以是的必要条件，所以是的充分必要条件，故选：C
高频考点5
.
充要条件的证明
【方法点拨】(1)充要条件的证明要确定命题中的条件和结论，要从两个方面进行证明，证充分性就是证原命题成立，证必要性就是证原命题的逆命题成立．
(2)证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件．尽管证明充要条件问题中，前者可以是后者的充分条件，也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了，一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q?p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q是该步中证明的“结论”，即p?q．
【例5】（2021?鹤城区校级期中）已知ab≠0，求证：a+b＝1的充要条件是a3+b3+ab﹣a2﹣b2＝0．
【解答】证明：先证必要性：
∵a+b＝1，∴b＝1﹣a
∴a3+b3+ab﹣a2﹣b2＝a3+（1﹣a）3+a（1﹣a）﹣a2﹣（1﹣a）2
＝a3+1﹣3a+3a2﹣a3+a﹣a2﹣a2﹣1+2a﹣a2＝0
再证充分性：
∵a3+b3+ab﹣a2﹣b2＝0
∴（a+b）（a2﹣ab+b2）﹣（a2﹣ab+b2）＝0
即：（a2﹣ab+b2）（a+b﹣1）＝0
∵ab≠0，a2﹣ab+b2，
∴a+b﹣1＝0，即a+b＝1
综上所述：a+b＝1的充要条件是a3+b3+ab﹣a2﹣b2＝0
【变式5-1】（2021·上海华师大二附中高一月考）已知的三边为、、，求证：二次方程与有一个公共根的充要条件是.
【答案】见解析
【详解】必要性：设方程与的公共的公共根为，
则，两式相加得，解得，（舍）.
将代入，得，
整理得，所以，；
充分性：当时，则，
于是，
该方程有两根，.
同理，
该方程亦有两根，.
显然，两方程有公共根，
故方程与有公共根的充要条件为.
【变式5-2】（2021·江苏南京市·高一月考）设，求证成立的充要条件是．
【答案】见解析
【详解】①充分性：若，则有和两种情况，当时，不妨设，则，，∴等式成立．
当时，，或，，
当，时，，，∴等式成立，
当，时，，，∴等式成立．
综上，当时，成立．
②必要性：若且，则，
即，∴，∴．
综上可知，是等式成立的充要条件．
【变式5-3】（2021·上海高一专题练习）求证：关于的方程有实数根，且两根均小于的一个充分条件是且.
【答案】证明见解析
【详解】当且时，由题设有：，原方程有实数根.
函数的图象为开口向上的抛物线，对称轴为，
因此要证两根都小于，只需即可.又，
，，，方程的两根都小于，
关于的方程有实数根，且两根均小于的一个充分条件是且.
【变式5-4】（2021?孝感期中）证明：a2+b2+c2＝ab+bc+ca的充要条件是△ABC为等边三角形．这里a，b，c是△ABC的三条边．
【解答】证明：
充分性：
如果△ABC为等边三角形，那么a＝b＝c，所以，（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，
所以，a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0，所以a2+b2+c2＝ab+bc+ca．
必要性：
如果a2+b2+c2＝ab+bc+ca，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0，
所以（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，所以a＝b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0．即
a＝b＝c．
高频考点6
.充要条件的探求
【方法点拨】(1)探求一个命题成立的充要条件一般有两种处理方法：①先由结论寻找使之成立的必要条件，再验证它也是使结论成立的充分条件，即保证充分性和必要性都成立．②变换结论为等价命题，使每一步都可逆，直接得到使命题成立的充要条件．
(2)求一个命题的充要条件时，往往要从两个方面进行求解：一是充分性，二是必要性．
【例6】（2021·吉林长春市·长春外国语学校高一月考）方程的非空解集中有且最多有一个负实数元素的充要条件为（
）
A．或
B．或
C．或
D．或
【答案】A
【详解】若方程的非空解集中有且最多有一个负实数元素，
当时，，符合题意；
当时，由方程有实根，得到，解得；
若，则方程有且仅有一个实根，符合题意；
若且，方程有两个不等实根，设这两个实根分别为，，若方程的解集中有且最多有一个负实数元素，则，即；
当或时，关于的方程的解集中有且最多有一个负实数元素；
综上方程的非空解集中有且最多有一个负实数元素的充要条件为或.
故选：A.
【变式6-1】（2021·江苏扬州市·仪征中学高二期中）一元二次方程两个根均大于1的充分必要条件是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为一元二次方程两个根均大于1，
所以设方程的两根为，使都大于1的充要条件是:
由韦达定理知，所以解得
所以所求的充要条件为k
<-2.故选：A
【变式6-2】（2021.湖北省
高一期中）函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是（
）
A．m=-2
B．m=1
C．m=-1
D．m=0
【答案】A
【详解】当m=-2时，f(x)=x2-2x+1，其图象关于直线x=1对称，反之，若函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称，则，即.
所以f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=-2.故选：A.
【变式6-3】（2021?无锡期末）若m，n都是正整数，则m+n＞mn成立的充要条件是（ ）
A．m＝n＝2
B．m＝n＝1
C．m＞1且n＞1
D．m，n至少有一个为1
【解答】解：因为m+n＞mn，所以（m﹣1）（n﹣1）＜1．
而m，n∈N
，所以（m﹣1）（n﹣1）∈Z，所以（m﹣1）（n﹣1）＝0．
所以m＝1或n＝1．故选：D．
【变式6-4】（2021?黄浦区校级月考）设全集U，在下列条件中，是B?A的充要条件的有（ ）
①A∪B＝A；
②?UA∩B＝?③?UA??UB；④A∪?UB＝U
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解答】解：如下图借助Venn图，可以判断出A∪B＝A?B?A，
?UA∩B＝??B?A，?UA??UB?B?A，A∪?UB＝U?B?A，故①②③④均正确．故选：D．
【课后训练】
全卷共22题
满分：150分
时间：120分钟
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·湖北高二学业考试）已知，，则是的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分不必要条件
【答案】A
【详解】由，可得出，
由，得不出，所以是的充分而不必要条件，故选：A.
2．（2021·沙坪坝区·重庆八中高三模拟）已知都是q的充分条件，p是q的必要条件，r是p的必要条件，则（
）
A．s是r的既不充分也不必要条件
B．s是p的必要条件
C．q是r的必要不充分条件
D．p是r的充要条件
【答案】D
【详解】由题意，都是q的充分条件，p是q的必要条件，r是p的必要条件，
可得，所以，所以，
所以s是r的充分条件，故A错误；s是p的充分条件，故B错误；
q是r的充要条件，故C错误；p是r的充要条件，故D正确；故选：D.
3．（2021·浙江高三专题练习）伟人毛泽东的《清平乐?六盘山》传颂至今，“天高云淡，望断南飞雁.不到长城非好汉，屈指行程二万，六盘山上高峰，红旗漫卷西风，今日长缨在手，何时缚住苍龙？”现在许多人前往长城游玩时，经常会用“不到长城非好汉”来勉励自己，由此推断，“到长城”是“为好汉”的（
）
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】解：设为不到长城，推出非好汉，即，
则，即好汉到长城，故“到长城”是“好汉”的必要条件，故选：．
3．（2021·东莞高级中学高三月考）已知
a，b，那么“”是“”成立的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】当时，若，不能推出，故充分性不成立；
当时，若，不能推出，故必要性不成立；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D
5．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三期末）下列结论中不正确的是（
）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件
C．若、，则“”是“、不全为”的充要条件
D．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件
【答案】D
【详解】对于A选项，解不等式，可得或，
或，所以，“”是“”的必要不充分条件，A选项正确；
对于B选项，充分性：取，则为无理数，但为有理数，即充分性不成立；
必要性：若为无理数，则是无理数，必要性成立.
所以“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件，B选项正确；
对于C选项，充分性：因为，若，则，
所以不成立，所以、不全为，充分性成立；
必要性：若、不全为，则，必要性成立.
因此“”是“、不全为”的充要条件，C选项正确；
对于D选项，充分性：若，则为直角，
所以为直角三角形，充分性成立；
必要性：若为直角三角形，
则“为直角”或“是直角”或“为直角”，
所以“”或“”或“”，即必要性不成立.
因此“”是“为直角三角形”的充分不必要条件，D选项错误.故选：D.
6．（2021·昆明市第三中学经开区学校高一期末）若，则（
）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的充要条件
C．“”是“”的必要不充分条件
D．“”是“”的既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】对A，，，则“”是“”的必要不充分条件，A错误；
对于B，，，则“”是“”的充分不必要条件，B错误；
对于C，，，则“”是“”的必要不充分条件，C正确；
对于D，，，则“”是“”的充分不必要条件，D错误.
故选：C.
7．（2021.福建省
高一月考）不等式2x2-5x-3≥0成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．或
B．或
C．或
D．或
【答案】C
【解析】根据题意，解不等式2x2-5x-3≥0可得x≤-或x≥3，则2x2-5x-3≥0?x≤或，所以可以转化为找x≤-或x≥3的必要不充分条件；
依次选项可得：或是或x≥3成立的充分不必要条件；
或是或x≥3成立的既不充分也不必要条件
或是或x≥3成立的必要不充分条件；
x≤-或x≥3是或x≥3成立的充要条件；故选C．
8．（2021·江苏高三专题练习）在整数集中，被6除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，2，3，4，5给出以下五个结论：①；②；③“整数、属于同一“类””的充要条件是“”；④“整数、满足，”的充要条件是“”，则上述结论中正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【详解】①因为，令，得，所以，①不正确；
②，故②正确；
③若整数、属于同一“类”，则整数被6除所得余数相同，从而被6除所得余数为，即；若，则被6除所得余数为，则整数被6除所得余数相同，故“整数、属于同一“类””的充要条件是“”，所以③正确；
④若整数、满足，，则，，，，
所以，，所以；若，则可能有，所以“整数、满足，”的必要不充分条件是“”，所以④不正确.故选：B
二?选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021.广东省高一期中）已知，集合．若是的必要条件，则实数m的取值可以是（
）
A．
B．1
C．3
D．5
【答案】ABC
【详解】由，解得，∴，非空集合，
又是的必要条件，所以，
当，即时，满足题意；
当，即时，∴，解得，
∴的取值范围是，实数m的取值可以是，故选：ABC.
10．（2021·江苏扬州市·高一期中）下列式子中，可以是的必要条件的有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】由题意，等价于，对于A，可推出，故A符合题意；
对于B，不能推出，故B不符合题意；
对于C，不能推出，故C不符合题意；
对于D，可推出，故D符合题意.故选：AD.
11．（2021·江苏淮安市·淮安田家炳中学高二期中）下列结论中正确的是（
）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件
C．若、，则“”是“、不全为”的充要条件
D．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件
【答案】ABC
【详解】对于A选项，解不等式，可得或，
或，所以，“”是“”的必要不充分条件，A选项正确；
对于B选项，充分性：取，则为无理数，但为有理数，即充分性不成立；
必要性：若为无理数，则是无理数，必要性成立.
所以，“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件，B选项正确；
对于C选项，充分性：因为，若，则，所以，不成立，所以，、不全为，充分性成立；
必要性：若、不全为，则，必要性成立.
因此，“”是“、不全为”的充要条件，C选项正确；
对于D选项，充分性：若，则为直角，所以，为直角三角形，充分性成立；
必要性：若为直角三角形，则“为直角”或“是直角”或“为直角”，
所以，“”或“”或“”，即必要性不成立.
因此，“”是“为直角三角形”的充分不必要条件，D选项错误.
故选：ABC.
12．（2021.山东高一期中）设．若是的必要不充分条件，则实数可以是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】解：解得，，记，解得，，记，是的必要不充分条件，所以
，解得，的取值范围是．故选：．
三?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·河北衡水中学）若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是________．
【答案】
【详解】由得，
因为是不等式成立的充分不必要条件，
∴满足且等号不能同时取得，即，解得．故答案为：
14．（2021·吉林江城中学高一期中）已知，，且是的必要条件，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【详解】因为是的必要条件，所以，
又因为，
所以
，即，所以.故答案为：.
15．（2021·莆田第十五中学高一期末）已知两个关于x的一元二次方程和，两方程的根都是整数的充要条件为_______________．
【答案】
【解析】因为是一元二次方程，所以．
又另一方程为，且两方程都要有实根，
所以，解得．
因为两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，
所以，所以m为4的约数．又，所以或．
当时，第一个方程的根为非整数；
而当时，两方程的根均为整数，所以两方程的根都是整数的充要条件是．
16．（2021·重庆市万州第二高级中学高一月考）“一元二次方程有两个正实数根”的一个充分不必要条件可以为________；一个必要不充分条件可以为________.
【答案】（答案不唯一）
（答案不唯一）
【详解】解：因为一元二次方程有两个正实数根，所以，解得.
所以一元二次方程有两个正实数根的充要条件为.
故一元二次方程有两个正实数根的一个充分不必要条件可以为；
一元二次方程有两个正实数根的一个必要不充分条件可以为.
故答案为：；.
四?解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
17．（2021·湖南岳阳市·高一期末）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】.
【详解】解：由题意知，不为空集，，
因为“”是“”的充分不必要条件，所以真包含于，
则，解得.所以实数的取值范围是.
18．（2021·全国高二期末）已知：实数满足(其中)：实数满足.
（1）若，且与都为真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】解：（1）当时，：实数满足，又：实数满足，
因为与都为真命题，所以，解得，即；
（2）记，，因为是的必要不充分条件，所以
所以，解得：，所以实数的取值范围是．
19．（2021·江苏南通市·高一期末）已知集合，.
（1）用区间表示集合P；（2）是否存在实数m，使得是的______条件.若存在实数m，求出m的取值范围：若不存在，请说明理由.
请从如下三个条件选择一个条件补充到上面的横线上：①充分不必要；②必要不充分；③充要.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【详解】（1）因为即，所以，.
（2）若选择①，即是的充分不必要条件，
则且（两个等号不同时成立），
解得，故实数m的取值范围是．
若选择②，即是的必要不充分条件．
当时，，解得．
当时，且（两个等号不同时成立），解得．
综上，实数m的取值范围是．
若选择③，即是的充要条件，
则，即此方程组无解，
则不存在实数m，使是的充要条件．
20．（2021·湖北十堰市·高二期末）已知集合，集合，，.（1）当时，p是q的什么条件？（2）若q是p的必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）p是q的充分不必要条件；（2）.
【详解】（1）当时，集合，
，所以，所以p是q的充分不必要条件.
（2）因为q是p的必要条件，所以，
而.
当时，，所以，所以；
当时，，成立；
当时，，所以，所以.
综上所述，，即实数a的取值范围为.
21．（2021·广西高二期末）已知集合，.
（1）若是的充分条件，求实数a的取值范围；
（2）若命题“”为真命题，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【详解】（1）依题意，解得
∵若是的充分条件，∴，
，解得，故实数的取值范围是
（2）命题“”为真命题，
由或，解得或
，
所求实数的取值范围是或
22．（2021·镇远县高二月考）已知一元二次方程.
（1）若是方程的两个根，求b的值；
（2）求证：“是方程的一个根”的充要条件是“”.
【答案】（1）0；（2）证明见解析.
【详解】（1）由题得，所以；
（2）先证明充分性：当时，或，
所以是方程的一个根，所以充分性成立；
再证明必要性：当是方程的一个根时，
.所以必要性成立.
所以“是方程的一个根”的充要条件是“”.
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1.4
充分条件与必要条件
【学习要求】
1.理解充分条件、必要条件的意义.
2.会求(判定)某些简单命题的条件关系.
3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力.
【思维导图】
【知识梳理】
1）充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p?q
p?/_q
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
2）充要条件
(1)定义：若p?q且q?p，则记作p?q，此时p是q的充分必要条件，简称充要条件．
(2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．
【高频考点】
高频考点1.
充分条件、必要条件的判定
【方法点拨】
(1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p?q、q?p是否成立，最后得出结论．
(2)命题判断法：
①若p?q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
②若p?q，且qp，则称p是q的充分不必要条件．
③若pq，且q?p，则称p是q的必要不充分条件．
注意：p是q的充分条件说明：有了条件p成立，就一定能得出结论q成立．但条件p不成立时，结论q未必不成立．
例如，当x＝2时，x2＝4成立，但当x≠2时，x2＝4也可能成立，即当x＝－2时，x2＝4也可以成立，所以“x＝2”是“x2＝4”成立的充分条件，“x＝－2”也是“x2＝4”成立的充分条件．
【例1】（2021·南京师范大学附属扬子中学高三模拟）设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的（
）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分又不必要
【变式1-1】（2021·湖南长郡中学高三模拟）已知一元二次方程有两个不同的实数根，则“且”的_______是“且”．（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式1-2】（2021·揭阳第一中学高一期中）荀子日：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式1-3】（2021·浙江温州中学高三模拟）已知，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要
【变式1-4】（2021·湖南长郡中学高三月考）1943年19岁的曹火星在平西根据地进行抗日宣传工作，他以切身经历创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，后毛泽东主席将歌曲改名为《没有共产党就没有新中国》．2021年是中国共产党建党100周年，仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的（
）
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
高频考点2
.
充分条件、必要条件的探索
【方法点拨】(1)先寻找必要条件，即将探求充分和必要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．
(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因此探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．
【例2】（2021·黑龙江实验中学高二月考）a∈R，|a|<4成立的一个必要不充分条件是（
）
A．a<4
B．|a|<3
C．a2<16
D．0【变式2-1】（2021·上海高一专题练习）可以作为“若，则”的一个充分而不必要条件的是（
）
A．
B．或
C．且
D．
【变式2-2】（2021·安徽高一月考）记方程①：，方程②：，方程③：，其中、、是正实数，若，则“方程③无实根”的一个充分条件是（
）
A．方程①有实根，且②有实根
B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根
D．方程①无实根，且②无实根
【变式2-3】（2021·安徽蚌埠市·高三三模）下面四个条件中，使成立的必要不充分条件是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式2-4】（2021·福建福州市·高一期末）“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（
）
A．
B．
C．
D．
高频考点3
.
充分条件与必要条件的应用（参数问题）
【方法点拨】充分条件与必要条件的应用技巧：
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先将p，q等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．
【例3】（2021?万州区校级月考）“一元二次方程x2﹣ax+1＝0有两个正实数根”的一个充分不必要条件可以为
；一个必要不充分条件可以为
．
【变式3-1】（2021·江苏省包场高级中学高一月考）设：；：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式3-2】（2021·贵溪市实验中学高二月考）已知，，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式3-3】（2021·湖南师大附中高二期末）已知命题，或，若是的一个充分不必要条件，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式3-4】2021?南阳期末）已知p：a﹣2＜x＜a+2，q：﹣1＜x＜7．若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是
．
高频考点4.
充要条件的判断
【方法点拨】判断p是q的充分必要条件的两种思路
(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p?q及q?p这两个命题是否成立，若p?q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q?p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件．
(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p?q及q?p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合?大集合”的关系理解，对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．
【例4】（2021·云南昆明一中高一期末）下列各选项中，是的充要条件的是（
）
A．：，：
B．：，：
C．：，：
D．：，：
【变式4-1】（2021·沈阳市·辽宁实验中学高三二模）下列四个选项中，是的充分必要条件的是（
）．
A．，
B．，
C．，
D．，
【变式4-2】（2021·湖北省直辖县级行政单位·高一期末）下列各题中，是的充要条件的有（
）
A．：四边形是正方形；：四边形的对角线互相垂直且平分
B．：两个三角形相似；：两个三角形三边成比例
C．：；：，；
D．：是一元二次方程的一个根；：
【变式4-3】（2021·天津高三一模）命题，命题，命题是命题的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式4-4】（2021·全国高三专题练习）已知命题是方程的一个根，，则是的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
高频考点5
.
充要条件的证明
【方法点拨】(1)充要条件的证明要确定命题中的条件和结论，要从两个方面进行证明，证充分性就是证原命题成立，证必要性就是证原命题的逆命题成立．
(2)证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件．尽管证明充要条件问题中，前者可以是后者的充分条件，也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了，一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q?p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q是该步中证明的“结论”，即p?q．
【例5】（2021?鹤城区校级期中）已知ab≠0，求证：a+b＝1的充要条件是a3+b3+ab﹣a2﹣b2＝0．
【变式5-1】（2021·上海华师大二附中高一月考）已知的三边为、、，求证：二次方程与有一个公共根的充要条件是.
【变式5-2】（2021·江苏南京市·高一月考）设，求证成立的充要条件是．
【变式5-3】（2021·上海高一专题练习）求证：关于的方程有实数根，且两根均小于的一个充分条件是且.
【变式5-4】（2021?孝感期中）证明：a2+b2+c2＝ab+bc+ca的充要条件是△ABC为等边三角形．这里a，b，c是△ABC的三条边．
高频考点6
.充要条件的探求
【方法点拨】(1)探求一个命题成立的充要条件一般有两种处理方法：①先由结论寻找使之成立的必要条件，再验证它也是使结论成立的充分条件，即保证充分性和必要性都成立．②变换结论为等价命题，使每一步都可逆，直接得到使命题成立的充要条件．
(2)求一个命题的充要条件时，往往要从两个方面进行求解：一是充分性，二是必要性．
【例6】（2021·吉林长春市·长春外国语学校高一月考）方程的非空解集中有且最多有一个负实数元素的充要条件为（
）
A．或
B．或
C．或
D．或
【变式6-1】（2021·江苏扬州市·仪征中学高二期中）一元二次方程两个根均大于1的充分必要条件是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式6-2】（2021.湖北省
高一期中）函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是（
）
A．m=-2
B．m=1
C．m=-1
D．m=0
【变式6-3】（2021?无锡期末）若m，n都是正整数，则m+n＞mn成立的充要条件是（ ）
A．m＝n＝2
B．m＝n＝1
C．m＞1且n＞1
D．m，n至少有一个为1
【变式6-4】（2021?黄浦区校级月考）设全集U，在下列条件中，是B?A的充要条件的有（ ）
①A∪B＝A；
②?UA∩B＝?③?UA??UB；④A∪?UB＝U
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【课后训练】
全卷共22题
满分：150分
时间：120分钟
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·湖北高二学业考试）已知，，则是的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分不必要条件
2．（2021·沙坪坝区·重庆八中高三模拟）已知都是q的充分条件，p是q的必要条件，r是p的必要条件，则（
）
A．s是r的既不充分也不必要条件
B．s是p的必要条件
C．q是r的必要不充分条件
D．p是r的充要条件
3．（2021·浙江高三专题练习）伟人毛泽东的《清平乐?六盘山》传颂至今，“天高云淡，望断南飞雁.不到长城非好汉，屈指行程二万，六盘山上高峰，红旗漫卷西风，今日长缨在手，何时缚住苍龙？”现在许多人前往长城游玩时，经常会用“不到长城非好汉”来勉励自己，由此推断，“到长城”是“为好汉”的（
）
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2021·东莞高级中学高三月考）已知
a，b，那么“”是“”成立的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三期末）下列结论中不正确的是（
）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件
C．若、，则“”是“、不全为”的充要条件
D．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件
6．（2021·昆明市第三中学经开区学校高一期末）若，则（
）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的充要条件
C．“”是“”的必要不充分条件
D．“”是“”的既不充分也不必要条件
7．（2021.福建省
高一月考）不等式2x2-5x-3≥0成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．或
B．或
C．或
D．或
8．（2021·江苏高三专题练习）在整数集中，被6除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，2，3，4，5给出以下五个结论：①；②；③“整数、属于同一“类””的充要条件是“”；④“整数、满足，”的充要条件是“”，则上述结论中正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
二?选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021.广东省高一期中）已知，集合．若是的必要条件，则实数m的取值可以是（
）
A．
B．1
C．3
D．5
10．（2021·江苏扬州市·高一期中）下列式子中，可以是的必要条件的有（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2021·江苏淮安市·淮安田家炳中学高二期中）下列结论中正确的是（
）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件
C．若、，则“”是“、不全为”的充要条件
D．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件
12．（2021.山东高一期中）设．若是的必要不充分条件，则实数可以是（
）
A．
B．
C．
D．
三?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·河北衡水中学）若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是________．
14．（2021·吉林江城中学高一期中）已知，，且是的必要条件，则实数a的取值范围是___________.
15．（2021·莆田第十五中学高一期末）已知两个关于x的一元二次方程和，两方程的根都是整数的充要条件为_______________．
16．（2021·重庆市万州第二高级中学高一月考）“一元二次方程有两个正实数根”的一个充分不必要条件可以为________；一个必要不充分条件可以为________.
四?解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
17．（2021·湖南岳阳市·高一期末）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18．（2021·全国高二期末）已知：实数满足(其中)：实数满足.
（1）若，且与都为真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
19．（2021·江苏南通市·高一期末）已知集合，.
（1）用区间表示集合P；（2）是否存在实数m，使得是的______条件.若存在实数m，求出m的取值范围：若不存在，请说明理由.
请从如下三个条件选择一个条件补充到上面的横线上：①充分不必要；②必要不充分；③充要.
20．（2021·湖北十堰市·高二期末）已知集合，集合，，.（1）当时，p是q的什么条件？（2）若q是p的必要条件，求实数a的取值范围.
21．（2021·广西高二期末）已知集合，.
（1）若是的充分条件，求实数a的取值范围；
（2）若命题“”为真命题，求实数a的取值范围.
22．（2021·镇远县高二月考）已知一元二次方程.
（1）若是方程的两个根，求b的值；
（2）求证：“是方程的一个根”的充要条件是“”.
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精品试卷·第
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