3.7 二次函数与一元二次方程同步练习（含答案）

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第三章
二次函数
7
二次函数与一元二次方程
知识能力全练
知识点一
二次函数与一元二次方程的关系
1.已知y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝2.若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根，且x1＜x2，-1＜x1＜0，则下列说法正确的是（
）
A.x1＋x2＜0
B.4＜x2＜5
C.b2-4ac＜0
D.ab＞0
2.关于二次函数y＝x2＋2x-8，下列说法正确的是（
）
A.图象的对称轴在y轴的右侧
B.图象与y轴的交点坐标为（0，8）
C.图象与x轴的交点坐标为（-2，0）和（4，0）
D.y的最小值为-9
3.抛物线y＝-x2＋4x-4与坐标轴的交点个数为（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
4.已知二次函数y＝x2-x＋m-1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（
）
A.m≤5
B.m≥2
C.m＜5
D.m＞2
5.已知二次函数y＝x2-2ax＋a2-2a-4（a为常数）的图象与x轴有交点，且当x＞3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（
）
A.a≥-2
B.a＜3
C.-2≤a＜3
D.-2≤a≤3
6.二次函数y＝（x-a）（x-b）-2（a＜b）的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是（
）
A.m＜a＜n＜b
B.a＜m＜b＜n
C.m＜a＜b＜n
D.a＜m＜n＜b
7.抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝-1，其图象如图所示，下列结论:①a＞b＞c；②4a-2b＋c＜0；③b2-4ac＜0；④3b＋2c＞0；⑤m（am＋b）＋b＞a（m是任意实数），其中正确的有（
）
A.3个
B.2个
C.1
D.0个
8.抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝-2.抛物线与x轴的一个交点在点（-4，0）和点（-3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的有（
）
①4a-b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2＋bx＋c＝2有两个不相等的实数根；④b2＋2b＞4ac.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
9.如图所示，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为A（-2，4），B（1，1），则方程ax2＝bx＋c的解是____________.
10.当-1≤x≤4时，直线y＝m与抛物线y＝-2（x-2）2＋4有交点，则m的取值范围是___________.
11.关于x的二次函数y＝-2x2＋4x-m（m＜-1）的图象与x轴交于点（x1，0），（x2，0），x1＜x2关于x的方程2x2-4x＋m＋1＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则的取值范围是______________.
12.若函数y＝（a-1）x2-4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为___________.
13.已知A（x1，-2），B（x2，-2）是抛物线y＝-x2＋2x＋a上的两点，若，求a的值.
14.已知抛物线y＝2x2-4x＋c与x轴有两个不同的交点.
（1）求c的取值范围；
（2）若抛物线y＝2x2-4x＋c经过点A（2，m）和点B（3，n），试比较m与n的大小，并说明理由.
15.已知函数y＝x2＋（m-3）x＋1-2m（m为常数）.
（1）求证:无论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个交点；
（2）无论m为何值，该函数的图象都会经过一个定点，求定点的坐标.
知识点二
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
16.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中部分x和y的值如下表:
x
0.10
0.11
0.12
0.13
0.14
y
-5.6
-3.1
-1.5
0.9
1.8
则ax2＋bx＋c＝0的一个根的范围是（
）
A.0.10＜x＜0.11
B.0.11＜x＜0.12
C.0.12＜x＜0.13
D.0.13＜x＜0.14
17.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表:
x
…
-1
0
1
3
…
y
…
-3
1
3
1
…
则下列判断中正确的是（
）
A.抛物线开口向上
B.抛物线与y轴交于负半轴
C.当x＝4时，y＞0
D.方程ax2＋bx＋c＝0的正根在3与4之间
18.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a，b，c为常数）图象的对称轴为直线x＝1，它的部分自变量x与函数值y的对应值如下表.请写出ax2＋bx＋c＝0的一个正数解的近似值____________（精确到0.1）.
x
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
y＝ax2＋bx＋c
0.92
0.38
-0.12
-0.58
19.可以用如下方法求方程x2-2x-2＝0的实数根的范围:
利用函数y＝x2-2x-2的图象可知，当x＝0时，y＜0，当x＝-1时，y＞0，∴方程有一个根在-1和0之间.
（1）参考上面的方法，求方程x2-2x-2＝0的另一个根在哪两个连续整数之间；
（2）若方程x2-2x＋c＝0有一个根在0和1之间，求c的取值范围.
20.已知二次函数y＝x2-2x-3.
（1）请你把已知的二次函数化成y＝（x-h）2＋k的形式，并在平面直角坐标系中（如图所示）画出它的图象；
（2）如果A（x1，y1）、B（x2，y2）是（1）中图象上的两点且x1＜x2＜1，请直接写出y1、y2的大小关系:______________；
（3）利用（1）中的图象表示出方程x2-2x-1＝0的根，画在（1）的图象上即可，要求保留画图痕迹.
巩固提高全练
21.下表给出了二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程ax2＋bx＋c＝0的一个根的近似值可能是（
）
x
…
1
1.1
1.2
1.3
1.4
…
y
…
-1
-0.49
0.04
0.59
1.16
…
A.1.08
B.1.18
C.1.28
D.1.38
22.探究课上，老师给出一个问题“利用二次函数y＝2x2与一次函数y＝x＋2的图象，求一元二次方程2x2＝x＋2的近似根”.小华利用计算机绘制出如图所示的图象，通过观察可知该方程的两近似根x1和x2满足-1＜x1＜0，1＜x2＜2小华的上述方法体现的数学思想是（
）
A.公理化
B分类讨论
C.数形结合
D.由特殊到一般
23.已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝5的一个根是2，且二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的对称轴是直线x＝2，则抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标是（
）
A.（2，2）
B.（2，-2）
C.（2，5）
D.（2，-5）
24.已知二次函数y＝-x2＋bx＋c的图象经过A（0，-8），B（-2，-20）两点.
（1）求b，c的值；
（2）二次函数y＝-x2＋bx＋c的图象与x轴是否有交点？若有，求交点的坐标；若没有，请说明理由.
25.如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）交x轴于点A，B，交y轴于点C若点A的坐标为（-4，0），对称轴为直线x＝-1，则下列结论错误的是（
）
A.二次函数的最大值为a-b＋c
B.a＋b＋c＞0
C.b2-4ac＞0
D.2a＋b＝0
26.将二次函数y＝x2-4x＋a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位.若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是（
）
A.a＞3
B.a＜3
C.a＞5
D.a＜5
27.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的顶点坐标为（-1，n），其部分图象如图所示.以下结论错误的是（
）
A.abc＞0
B.4ac-b2＜0
C.3a＋c＞0
D.关于x的方程ax2＋bx＋c＝n＋1无实数根
28.如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，-2），点A（-1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（
）
A.ab＜0
B.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的正实数根在2和3之间
C.a＝
D.点P1（t，y1），P2（t＋1，y2）在抛物线上，当实数t＞时，y1＜y2
29.将二次函数y＝x2-5x-6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x＋b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（
）
A.或-12
B.或2
C.-12或2
D.或-12
30.抛物线y＝（k-1）x2-x＋1与x轴有交点，则k的取值范围是____________.
31.如图所示，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A（-1，P），B（3，q）两点，
则不等式ax2＋mx＋c＞n的解集是_____________.
32.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论:
①ab＞0；②a＋b-1＝0；③a＞1；④关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根为1，另一个根为.其中正确结论的序号是_____________.
33.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表:
x
-5
-4
-2
0
2
y
6
0
-6
-4
6
下列结论:
①a＞0；②当x＝-2时，函数最小值为-6；③若点（-8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1≤y2；④方程ax2＋bx＋c＝-5有两个不相等的实数根.其中，正确结论的序号是____________.（把所有正确结论的序号都填上）
34.在画二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下：
x
…
-1
0
1
2
3
…
y甲
…
6
3
2
3
6
…
乙写错了常数项，列表如下:
x
…
-1
0
1
2
3
…
y乙
…
-2
-1
2
7
14
…
通过上述信息，解决以下问题：
（1）求原二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的表达式；
（2）对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当x_______时，y的值随x值的增大而增大；
（3）若关于x的方程ax2＋bx＋c＝k（a≠0）有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
35.对于题目“一段抛物线L:y＝-x（x-3）＋c（0≤x≤3）与直线:y＝x＋2有唯一公共点.若c为整数，确定所有c的值.”甲的结果是c＝1，乙的结果是c＝3或4，则（
）
A.甲的结果正确
B.乙的结果正确
C.甲、乙的结果合在一起才正确
D.甲、乙的结果合在一起也不正确
36.如图所示，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝-（x-m）2＋4图象的顶点为A，
与y轴交于点B，异于顶点A的点C（1，n）在该函数图象上.
（1）当m＝5时，求n的值；
（2）当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2时，自变量x的取值范围；
（3）作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围.
参考答案
1.B
2.D
3.C
4.A
5.D
6.C
7.B
8.C
9.x1=-2，x2=1
10.-14≤m≤4
11.
12.-1或2或1
13.解析
由题意知x1，x2是方程-x2＋2x＋a＝-2，即x2-2x-a-2＝0的两根，
∴x1＋x2＝2，x1·x2＝-a-2.∵，∴.
解得a＝1.经检验，a＝1符合题意.
14.解析
（1）∵抛物线y＝2x2-4x＋c与x轴有两个不同的交点，
∴△＝16-8c＞0.∴c＜2.
（2）抛物线y＝2x2-4x＋c的对称轴为直线x＝1，
∴点A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧.
当x≥1时，y随x的增大而增大，∴m＜n.
15.解析
（1）证明:∵（m-3）2-4（1-2m）＝m2＋2m＋5＝（m＋1）2＋4＞0，
∴方程x2＋（m-3）x＋1-2m＝0总有两个不相等的实数根.
∴无论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个交点.
（2）y＝x2＋（m-3）x＋1-2m＝（x-2）m＋x2-3x＋1.
∵该函数的图象都会经过一个定点，且当x＝2时，y＝-1，
∴该函数图象始终过定点（2，-1）.
16.C
17.D
18.
2.2
19.解析
（1）利用函数y＝x2-2x-2的图象知，当x＝2时，y＜0，当x＝3时，y＞0，∴方程的另一个根在2和3之间.
（2）函数y＝x2-2x＋c的图象的对称轴为直线x＝1，
由题意，得，解得0＜c＜1.
20.解析
（1）y＝x2-2x-3＝（x-1）2-4，抛线的顶点坐标为（1，-4），
当x＝0时，y＝x2-2x-3＝-3，则抛物线与轴的交点坐标为（0，-3），
当y＝0时，x2-2x-3＝0，解得x1＝-1，x2＝3，抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0）画出的图象如图所示:
（2）y1＞y2.
（3）如图，x1，x2为方程x2-2x-1＝0的两根.
21.B
22.C
23.C
24.解析
（1）将点A（0，-8），B（-2，-20）代入函数表达式，
得，解得.
（2）有由（1）知抛物线的表达式为y＝-x2＋5x-8，
则△＝52-4××（-8）＝9＞0，
故抛物线与x轴有两个交点，
令y＝0，则-x2＋5x-8＝0，解得x1＝2，x2＝8.
故两个交点的坐标为（2，0）和（8，0）.
25.D
26.D
27.C
28.D
29.A
30.且
31.或
32.②③④
33.①③④
34.解析
（1）由甲的列表知c＝3，由此可将乙的列表修正为
x
…
-1
0
1
2
3
…
y乙
…
2
3
6
11
18
…
把x＝-1，y＝2；x＝1，y＝6代入y＝ax2＋bx＋3，
得，解得.∴原二次函数的表达式为y＝x2＋2x＋3.
（2）二次函数y＝x2＋2x＋3图象的对称轴为直线x＝＝-1，又抛物线的开口向上，∴当x≥-1时，y的值随x值的增大而增大.故填≥-1.
（3）解法一:方程ax2＋bx＋c＝k（a≠0）有两个不相等的实数根，
即x2＋2x＋3-k＝0有两个不相等的实数根，∴△＝4-4（3-k）＞0，解得k＞2.
解法二:关于x的方程ax2＋bx＋c＝k（a≠0）两个不相等的实数根时，直线y＝k与抛物线y＝x2＋2x＋3有两个交点.∴抛物线y＝x2＋2x＋3的顶点坐标为（-1，2），且开口向上，∴k的取值范围为k＞2.
35.D
36.解析
（1）当m＝5时，y＝-（x-5）2＋4.
当x＝1时，n＝-×（1-5）2＋4＝-4.
（2）当n＝2时，将C（1，2）代人函数表达式y＝-（x-m）2＋4（m＞0），
得2＝-（1-m）2＋4.解得m＝3或-1（舍去）.
此时抛物线的对称轴为直线x＝3，
根据抛物线的对称性得，当y＝2时，x＝1或5.
∴当y≥2时，x的取值范围为1≤x≤5.
（3）∵点A与点C不重合，∴m≠1.
∵抛物线的顶点A的坐标是（m，4），∴抛物线的顶点在直线y＝4上.
当x＝0时，y＝-m2＋4，∴点B的坐标为（0，-m2＋4）.
抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置时，m逐渐减小且m≥0，点B沿y轴向上移动，
图1
图2
当点B与0重合时，-m2＋4＝0，解得m＝2或m＝-2（舍去）.
当点B与点D重合时，如图2，顶点A也与BD重合，点B到达最高点，∴点B（0，4），∴-m2＋4＝4，解得m＝0，
当抛物线从图2的位置继续向左平移时如图3点B不在线段OD上.
图3
∴B点在x轴上方，且在线段OD上时，m的值范围是0≤m＜1或1＜m＜2.
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