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1.5
全称量词与存在量词
【学习要求】
1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.
2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性.
【思维导图】
【知识梳理】
1）全称量词与全称命题
全称量词
所有的、任意一个、一切、每一个、任给
符号
?
全称命题
含有全称量词的命题
形式
“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“?x∈M，p(x)”
2）存在量词与特称命题
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示
?
特称命题
含有存在量词的命题
形式
“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“?x0∈M，p(x0)”
3）全称命题与特称命题的否定
(1)全称命题p：?x∈M，p(x)的否定p：?x0∈M，p(x0)；全称命题的否定是特称命题．
(2)特称命题p：?x0∈M，p(x0)的否定p：?x∈M，p(x)；特称命题的否定是全称命题．
(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示.
(2)特称命题：含有存在量词的命题叫做特称命题.特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为?x0∈M，p(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”.
【高频考点】
高频考点1.
全称量词命题与存在量词命题的理解
【方法点拨】判定命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．
【例1】（2021·兴安县第三中学高二开学考试）下列命题是特称命题的是（
）
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．每一个向量都有大小
C．偶函数的图象关于y轴对称
D．存在实数不小于3
【答案】D
【详解】对于A，任何一个实数乘以0都等于0，是全称命题；
对于B，
每一个向量都有大小，是全称命题；
对于C，偶函数的图象关于y轴对称，是全称命题；
对于D，存在实数不小于3，是特称命题.故选：D.
【变式1-1】（2021?广州市高一月考）用符号“?”“?”表达下列命题．
（1）实数都能写成小数的形式；
（2）存在一实数对（x，y），使x+y+3＜0成立；
（3）任一实数乘﹣1，都等于它的相反数；（4）存在实数x，使得x3＞x2．
【解答】解：对于（1），实数都能写成小数的形式，即：?x∈R，x可以写出小数的形式；
对于（2），存在一实数对（x，y），使x+y+3＜0成立；
即：?有序数对（x，y），且x∈R，y∈R，有x+y+3＜0；
对于（3），任一实数乘﹣1，都等于它的相反数；即：?x∈R，﹣1×x＝﹣x；
对于（4），存在实数x，使得x3＞x2；即：?x∈R，x3＞x2．
【变式1-2】（2021?福清市期中）将a2+b2+2ab＝（a+b）2改写成全称命题是（ ）
A．?a，b∈R，a2+b2+2ab＝（a+b）2
B．?a＜0，b＞0，a2+b2+2ab＝（a+b）2
C．?a＞0，b＞0，a2+b2+2ab＝（a+b）2
D．?a，b∈R，a2+b2+2ab＝（a+b）2
【解答】解：命题对应的全称命题为：?a，b∈R，a2+b2+2ab＝（a+b）2故选：D．
【变式1-3】（2021·河北高一期中）下列命题是全称量词命题的是（
）
A．有一个偶数是素数
B．至少存在一个奇数能被整除
C．有些三角形是直角三角形
D．每个四边形的内角和都是
【答案】D
【详解】因为“有一个”，“至少存在一个”，“有些”均为存在量词，即ABC不合题意；
“每个”是全称量词，即D符合题意.故选：D
【变式1-4】（2021·磐安县第二中学高一月考）下列命题不是存在量词命题的是（
）
A．有些实数没有平方根
B．能被5整除的数也能被2整除
C．在实数范围内，有些一元二次方程无解
D．有一个m使与异号
【答案】B
【详解】选项A、C中“有些”是存在量词，选项D中“有一个”是存在量词，选项B中不含存在量词，不是存在量词命题．故选：B．
高频考点2
.
全称量词命题与存在量词命题的真假
【方法点拨】判断全称量词命题真假的方法：要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明，而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可．
判断存在量词命题真假的方法：判断存在量词命题“?x∈M，p(x)”的真假性的关键是探究集合M中x的存在性．若找到一个元素x∈M，使p(x)成立，则该命题是真命题；若不存在x∈M，使p(x)成立，则该命题是假命题．
【例2】（2021?东阳市校级期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．?x∈Z，1＜4x＜3
B．?x∈Z，15x+1＝0
C．?x∈R，x2﹣1＝0
D．?x∈R，x2+x+2＞0
【解答】解：1＜4x＜3，可得x，所以不存在x∈Z，1＜4x＜3，所以A不正确；
15x+1＝0，解得x，所以不存在x∈Z，15x+1＝0，所以B不正确；
x＝0，x2﹣1≠0，所以?x∈R，x2﹣1＝0不正确，所以C不正确；
x∈R，y＝x2+x+2，开口向上，△＝﹣7＜0，所以y＞0，恒成立，所以?x∈R，x2+x+2＞0正确．
故选：D．
【变式2-1】（2021?苏州期末）设有下面四个命题：
p1：?x∈R，x2+1＜0；p2：?x∈R，x+|x|＞0；
p3：?x∈Z，|x|∈N；p4：?x∈R，x2﹣2x+3＝0．
其中真命题为（ ）
A．p1
B．p2
C．p3
D．p4
【解答】解：设有下面四个命题：
对于p1：?x∈R，x2+1＜0不成立，故该命题为假命题；
p2：?x∈R，当x＜0时，x+|x|＝0，故该命题为假命题；
p3：?x∈Z，|x|∈N，该命题为真命题；
p4：?x∈R，由于x2﹣2x+3＝0中△＝4﹣12＝﹣8＜0，故不存在实根，故该命题为假命题；故选：C．
【变式2-2】（2021·重庆高二期末）下列四个命题中真命题的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：对于，在0和1之间，不存在整数，所以错；
对于，，所以错；
对于，当时，，即不成立，所以错；
对于，因为
在上恒成立，所以对；故选：．
【变式2-3】（2021·河北高一期中）判断下列命题的真假：
（1）已知a，b，c，d∈R，若a≠c，或b≠d，则a+b≠c+d．（2）?x∈N，x3＞x2
（3）若m＞1，则方程x2﹣2x+m＝0无实数根．（4）存在一个三角形没有外接圆．
【解答】解：（1）为假命题，反例：1≠4，或5≠2，而1+5＝4+2
（2）为假命题，反例：x＝0，x3＞x2不成立
（3）为真命题，因为m＞1?△＝4﹣4m＜0?无实数根
（4）为假命题，因为每个三角形都有唯一的外接圆．
【变式2-4】（2021·安徽高一期末）下列四个命题，真命题的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于A项，只有时，才成立，则A错误；
对于B项，，解得，则B错误；
对于C项，由，解得，则C错误；
对于D项，判别式，则xR，x2＋x＋2＞0，则D正确；故选：D.
高频考点3
.
根据命题的真假求参数
【方法点拨】(1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．
(2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．
【例3】（2021?天心区校级月考）已知对?x∈{x|1≤x＜3}，都有m＞x，则m的取值范围为（ ）
A．m≥3
B．m＞3
C．m＞1
D．m≥1
【分析】直接求解即可．
【解答】解：∵对?x∈{x|1≤x＜3}，都有m＞x，∴m≥3，故选：A．
【变式3-1】（2021
?建邺区校级月考）已知命题：“?x∈R，x2+ax﹣4a＝0”为假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．{a|﹣16≤a≤0}
B．{a|﹣16＜a＜0}
C．{a|﹣4≤a≤0}
D．{a|﹣4＜a＜0}
【解答】解：“?x∈R，x2+ax﹣4a＝0”为假命题等价于“方程x2+ax﹣4a＝0无实根”，
即△＝a2+16a＜0，∴﹣16＜a＜0．故选：B．
【变式3-2】（2020·浙江诸暨中学高一期中）已知命题，为真命题，则实数的取值可以是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】由于命题，为真命题，则，解得.符合条件的为A、C选项.故选：AC.
【变式3-3】（2021·辽宁高三月考）已知，；，.那么的取值范围分别为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【详解】由，得：，即；
由，得：，即.故选：C.
【变式3-4】（2021·黑龙江哈九中高二期中）已知命题:“，使得”是真命题，则实数的最大值是____.
【答案】
【详解】当时，，
因为“，使得”是真命题，所以.故答案为：
高频考点4.
全称量词命题与存在量词命题的否定
【方法点拨】对全称量词命题否定的两个步骤
①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(?)存在量词(?)．
②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．
对存在量词命题否定的两个步骤
①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(?)全称量词(?)．
②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．
【例4】（2021?山西四模）已知命题，或，则为
A．，且
B．，或
C．，或
D．，且
【答案】D
【详解】命题，或，为全称命题，
则为：，且，故选：．
【变式4-1】（2021·云南高一期末）命题的否定是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【详解】特称命题的否定是全称命题，
即命题“”的否定是“”.故选：A
【变式4-2】（2021·黑龙江高一期末）命题“”的否定是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为全称量词的否定为存在量词，
所以命题“”的否定是“”.故选：C
【变式4-3】（2021·河北高二期中）命题“任意，使方程都有唯一解”的否定是（
）
A．任意，使方程的解不唯一
B．存在，使方程的解不唯一
C．任意，使方程的解不唯一或不存在
D．存在，使方程的解不唯一或不存在
【答案】D
【详解】该命题的否定：存在，使方程的解不唯一或不存在.故选：D.
【变式4-4】（2021·福建省南安市侨光中学高二月考）命题，，则为
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【详解】量词改为：，结论改为：，则，.故选C.
高频考点5
.
命题否定的真假判断
【方法点拨】该问题通常先直接判断原命题的真假，再根据否定与原命题真假相反，即可得出答案。
【例5】（2021·江苏高一期中）下列命题的否定为假命题的是（ ）
A．?x∈Z，1＜4x＜3
B．?x∈Z，5x+1＝0
C．?x∈R，x2﹣1＝0
D．?x∈R，x2+3x+2＝0
【解答】解：A．?x∈Z，1＜4x＜3，是假命题，因此其否定为真命题；
B．?x∈Z，5x+1＝0，是假命题，因此否定为真命题；
C．?x∈R，x2﹣1＝0是假命题，因此其否定为真命题；
D．?x∈R，x2+3x+2＝0，为真命题，例如x＝﹣1或﹣2，因此其否定为真命题．故选：D．
【变式5-1】（2021?平阴县校级月考）已命题P的否定￢p为“?x∈R，x2+1≤1”则以下说法正确的是（ ）
A．命题P为“?x∈R，x2+1≥1”且为真命题
B．命题P为“?x?R，x2+1＞1”且为假命题
C．命题P为“?x∈R，x2+1＞1”且为假命题
D．命题P为“?x∈R，x2+1≥1”且为真命题
【解答】解：特称命题的否定是全称命题，
则命题P：“?x∈R，x2+1＞1，当x＝0时，结论不成立，即命题P是假命题，故选：C．
【变式5-2】（2021·广东高一期中）下列关于命题“，使得”的否定说法正确的是（
）
A．，均有假命题
B．，均有真命题
C．，有假命题
D．，有真命题
【答案】B
【详解】命题“，使得”的否定是，均有，
对，又，故该命题为真命题.故选：B
【变式5-3】（2021?永昌县校级期中）写出下列命题的否定，并判断其真假：
（1）p：不论m取何实数，方程x2+mx﹣1＝0必有实数根；（2）p：有些三角形的三条边相等；
（3）p：菱形的对角线互相垂直；（4）p：存在一个实数x，使得3x＜0．
【解答】解：（1）p：不论m取何实数，方程x2+mx﹣1＝0必有实数根；它的否定为：￢P：不论m取何实数，方程x2+mx﹣1＝0没有实数根；是假命题．
（2）p：有些三角形的三条边相等；￢P：所有三角形的三条边不相等；是假命题．
（3）p：菱形的对角线互相垂直；￢P：菱形的对角线不垂直．是假命题．
（4）p：存在一个实数x，使得3x＜0．￢P：任意实数x，使得3x≥0．是真命题．
【变式5-4】（2021秋?邹城市期中）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假：
（Ⅰ）p：对任意的x∈R，x2+x+1≠0都成立；（Ⅱ）q：?x∈R，使x2+3x+5≤0．
【解答】解：（Ⅰ）由于命题中含有全称量词“任意的”，因此，该命题是全称量词命题．
又因为“任意的”的否定为“存在一个”，所以其否定是：存在一个x∈R，使x2+x+1＝0成立，
即“?x∈R，使x2+x+1＝0．”因为△＝﹣3＜0，所以方程x2+x+1＝0无实数解，此命题为假命题．
（Ⅱ）由于“：?x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，
因此，该命题是存在量词命题．
又因为“存在一个”的否定为“任意一个”，所以其否定是：对任意一个实数x，都有x2+3x+5＞0成立．即“?x∈R，有x2+3x+5＞0”．
因为△＝﹣11＜0，所以对?：x∈R，x2+3x+5＞0总成立，此命题是真命题．
高频考点6
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根据命题否定的真假求参数
【方法点拨】该问题通常先根据否定的真假判断原命题的真假，再根据原命题真假求得参数即可。
【例6】（2021?椒江区校级月考）命题p：ax2+2x+1＝0有实数根，若￢p是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|a＜1}
B．{a|a≤1}
C．{a|a＞1}
D．{a|a≥1}
【解答】解：￢p是假命题，则p是真命题，∴ax2+2x+1＝0有实数根，
当a＝0时，方程为2x﹣1＝0，解得x，有根，符合题意；
当a≠0时，方程有根，等价于△＝4﹣4a≥0，∴a≤1且a≠0，
综上所述，a的可能取值为a≤1．故选：B．
【变式6-1】（2021?仓山区校级期中）命题p：?x∈R，ax2+ax+1≥0，若命题p的否定是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．{x|0＜x≤4}
B．{x|0≤x≤4}
C．{x|x≤0或x≥4}
D．{x|x＜0或x＞4}
【解答】解：由题意可知，命题p的否定是：?x∈R，ax2+ax+1＞0，
因为命题p的否定是真命题，所以a＜0或，解得a＜0或a＞4，
故实数a的取值范围是{x|x＜0或x＞4}．故选：D．
【变式6-2】（2021?承德期末）已知p：关于x的方程x2+mx+1＝0有两个不等的负实数根，若￢p是真命题，则实数m的取值范围是
．
【解答】解：∵命题p：关于x的方程x2+mx+1＝0有两个不等的负实数根，
∴设x1，x2是方程的两个负实数根，则，即；解得m＞2；
∴当?p是真命题时，m的取值范围是（﹣∞，2]．故答案为：（﹣∞，2]．
【变式6-3】（2021?罗湖区校级期中）已知命题p：“至少一个实数x∈{x|1≤x≤2}，使不等式x2+2ax+2﹣a＞0成立”则命题p的否定是
；若￢p是假命题，则a的取值范围是
．
【解答】解：￢p：?x∈[1，2]，x2+2ax+2﹣a＞0无解，
∵￢p是假命题，令f（x）＝x2+2ax+2﹣a，则
，
即
，解得a≤﹣3．故命题p中，a＞﹣3．即参数a的取值范围为（﹣3，+∞）．
故答案为：?x∈[1，2]，x2+2ax+2﹣a＞0无解，（﹣3，+∞）．
【变式6-4】（2021·重庆高一期中）已知命题，，若命题￢p是真命题，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵，，∴，.
∵命题为真命题，∴当时，方程没有实数根，
∴，即.∴实数a的取值范围是.故选：C.
【课后训练】
全卷共22题
满分：150分
时间：120分钟
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·重庆八中高二期中）命题“，”的否定是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【详解】由全称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”.
故选：D.
2．（2021·山东高一期中）设命题，则命题的否定为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：∵命题是一个特称命题，它的否定是一个全称命题，
∴命题的否定为，故选：B．
3．（2021·山东高三三模）命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是（
）
A．所有奇函数的图象都不关于原点对称
B．所有非奇函数的图象都关于原点对称
C．存在一个奇函数的图象不关于原点对称
D．存在一个奇函数的图象关于原点对称
【答案】C
【详解】全称命题“所有奇函数的图象关于原点对称”的否定是特称命题，
所以命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是“存在一个奇函数的图象不关于原点对称”.故选:C
4．（2021·北京师范大学万宁附属中学高一开学考试）下列命题中，是真命题的全称量词命题的是（
）
A．实数都大于0
B．梯形两条对角线相等
C．有小于1的自然数
D．三角形内角和为180度
【答案】D
【详解】A.实数都大于0，是全称量词命题，假命题；
B.梯形两条对角线相等，是全称量词命题，假命题；
C.有小于1的自然数，是特称命题，真命题；
D.三角形的内角和为180度，是全称量词命题，真命题.故选：D
5．（2021·朝阳市第一高级中学高一期中）下列命题中，既是存在量词命题又是假命题的是（
）
A．三角形内角和为
B．有些梯形是平行四边形
C．
D．至少有一个整数，使得
【答案】B
【详解】对于A，含有全称量词，故A不正确；
对于B，有些梯形是平行四边形不是真命题，故B错误；
对于C，，含有存在量词命题，是真命题，如，故C正确；
对于D，至少有一个整数，使得，含存在量词的命题，是真命题，如，故D正确.
故选：B
6．（2021·江苏苏州市·高一期末）设有下面四个命题：，；
，；，；
，.其中真命题为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：对于A.，所以该命题为假命题；
对于B.当时，所以该命题为假命题；
对于C.当时均为非负整数，所以该命题为真命题；
对于D.因为，所以该命题为假命题；故选：C.
7．（2021·北京高二期末）若命题“，”是真命题，则a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】解：因为，，所以，解得故选：A
8．（2021·杭州高级中学钱塘学校高一期末）已知命题：“”为假命题，则实数a的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：“”为假命题等价于“方程无实根”，
即，解得：.故选：B.
二?选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2020·河北石家庄二中高一月考）下列命题中，是全称量词命题的有（
）
A．至少有一个使成立
B．对任意的都有成立
C．对任意的都有不成立
D．矩形的对角线垂直平分
【答案】BCD
【详解】A选项中的命题为特称命题，BCD选项中的命题均为全称命题.故选：BCD.
10．（2021·辽宁高一月考）下列命题正确的是（
）
A．，使得恒成立
B．，使得
C．，使得
D．，使得
【答案】AC
【详解】选项，恒成立，正确；
选项，当时，，错误；选项，当时，，正确；
选项，当时，，错误．故选：AC.
11．（2021·河北高一期末）下列命题的否定中，真命题的是（
）
A．，
B．所有正方形既是矩形也是菱形
C．，
D．所有三角形都有外接圆
【答案】AC
【详解】选项A，，所以原命题为假命题，则原命题的否定为真命题，所以选项A满足条件；选项B，所有正方形既是矩形也是菱形，原命题是真命题，原命题的否定为假命题，所以选项B不满足条件；
选项C，当时，，所以原命题为假命题，原命题的否定为真命题，所以选项C满足条件；
选项D，所有三角形都有外接圆，原命题是真命题，原命题的否定为假命题，所以选项D不满足条件.故选：AC.
12．（2021·湖北高一期月考）已知命题p：“，”，命题q：“，”．若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围不正确的是（
）
A．或
B．或
C．
D．
【答案】ABC
【解析】若，，则，∴．
若，，则，解得或．
∵命题和命题q都是真命题，∴或，∴．故选：ABC．
三?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.（2021?启东市校级月考）根据下述事实，得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为
．
13+23＝（1+2）2，
13+23+33＝（1+2+3）2，
13+23+33+43＝（1+2+3+4）2，
13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2，……
【解答】解：根据已知条件的规律可得：?n∈N
，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2．
14．（2021·江苏扬州中学高三其他模拟）命题“，”的否定是______．
【答案】，
【详解】解：∵命题“，”的否定是：，．
故答案为：，.
15．（2021·全国高一课时练习）命题，是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)
【答案】特称命题
假
【详解】解：命题，含有特称量词，是特称命题，为假命题．
，所以，
方程无实数解，命题为假命题．故答案为：特称命题；假．
16．（2021·山西高三三模）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【详解】，，
故若命题“，”是假命题，则故答案为：
四?解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
17.（2021?邵武市校级月考）判断下列命题属于全称命题还是特称命题，并用数学量词符号改写下列命题：
（1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m＝0无实数根；
（2）存在一对实数
x，y，使2x+3y+3＞0成立；
（3）存在一个三角形没有外接圆；
（4）实数的平方大于等于0．
【解答】解：（1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m＝0无实数根，是一个全称命题，用符号表示为：?m＞1，方程x2﹣2x+m＝0无实数根；
（2）存在一对实数
x，y，使2x+3y+3＞0成立，是一个特称命题，用符号表示为：?一对实数
x，y，使2x+3y+3＞0成立；
（3）存在一个三角形没有外接圆，是一个特称命题，用符号表示为：?一个三角形没有外接圆；
（4）实数的平方大于等于0，是一个全称命题，用符号表示为：?x∈R，x2≥0．
18．（2021?广平县校级期中）判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
（1）?x∈N，x3＞x2；（2）所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；
（3）?x0∈R，x02﹣x0+1≤0；（4）存在一个四边形，它的对角线互相垂直．
【解答】解：（1）全称命题，当x＝0时，结论不成立，所以为假命题．命题的否定：?x∈N，x3≤x2
（2）全称命题，所有可以被5整除的整数，末位数字都是0或5；为假命题．命题的否定：存在可以被5整除的整数，末位数字不都是0；
（3）特称命题，x02﹣x0+1，所以结论不成立，为假命题．命题的否定：?x∈R，x2﹣x+1＞0．
（4）特称命题，菱形的对角线互相垂直，真命题．命题的否定：任意的四边形，它的对角线不互相垂直．
19.（2021·江苏苏州田家炳实验高中高一月考）若命题“，使得”是真命题，求实数的取值范围.
【答案】.
【详解】由题意，命题“，使得”是真命题，
则满足，即，解得或，
即实数的取值范围.
20．（2020·石家庄市第四十一中学高一月考）已知命题，命题，若p为假命题且q为真命题，求实数a的取值范围.
【答案】
【详解】命题，
若p为假，只需，解得：；
命题，
若q为真，只需，解得：.
若p为假命题且q为真命题，只需：，解得：.
所以实数a的取值范围.
21．（2021·辽宁高二期末）已知集合
（1）若，求实数m的取值范围.
（2）命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】解：（1）①当B为空集时，成立.
②当B不是空集时，∵，，∴
综上①②，.
（2），使得，∴B为非空集合且.
当时，无解或，，
∴.
22.（2021?上高县校级月考）知集合A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，且B≠?．（1）若“命题p：?x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围．
（2）“命题q：?x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．
【解答】解：（1）A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，B≠?
∵“命题p：?x∈B，x∈A”是真命题∴B?A，B≠?
∴，解得2≤m≤3
（2）q为真，则A∩B≠?，
∵B≠?，∴m≥2∴∴2≤m≤4
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1.5
全称量词与存在量词
【学习要求】
1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.
2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性.
【思维导图】
【知识梳理】
1）全称量词与全称命题
全称量词
所有的、任意一个、一切、每一个、任给
符号
?
全称命题
含有全称量词的命题
形式
“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“?x∈M，p(x)”
2）存在量词与特称命题
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示
?
特称命题
含有存在量词的命题
形式
“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“?x0∈M，p(x0)”
3）全称命题与特称命题的否定
(1)全称命题p：?x∈M，p(x)的否定p：?x0∈M，p(x0)；全称命题的否定是特称命题．
(2)特称命题p：?x0∈M，p(x0)的否定p：?x∈M，p(x)；特称命题的否定是全称命题．
(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示.
(2)特称命题：含有存在量词的命题叫做特称命题.特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为?x0∈M，p(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”.
【高频考点】
高频考点1.
全称量词命题与存在量词命题的理解
【方法点拨】判定命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．
【例1】（2021·兴安县第三中学高二开学考试）下列命题是特称命题的是（
）
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．每一个向量都有大小
C．偶函数的图象关于y轴对称
D．存在实数不小于3
【变式1-1】（2021?广州市高一月考）用符号“?”“?”表达下列命题．
（1）实数都能写成小数的形式；
（2）存在一实数对（x，y），使x+y+3＜0成立；
（3）任一实数乘﹣1，都等于它的相反数；（4）存在实数x，使得x3＞x2．
【变式1-2】（2021?福清市期中）将a2+b2+2ab＝（a+b）2改写成全称命题是（ ）
A．?a，b∈R，a2+b2+2ab＝（a+b）2
B．?a＜0，b＞0，a2+b2+2ab＝（a+b）2
C．?a＞0，b＞0，a2+b2+2ab＝（a+b）2
D．?a，b∈R，a2+b2+2ab＝（a+b）2
【变式1-3】（2021·河北高一期中）下列命题是全称量词命题的是（
）
A．有一个偶数是素数
B．至少存在一个奇数能被整除
C．有些三角形是直角三角形
D．每个四边形的内角和都是
【变式1-4】（2021·磐安县第二中学高一月考）下列命题不是存在量词命题的是（
）
A．有些实数没有平方根
B．能被5整除的数也能被2整除
C．在实数范围内，有些一元二次方程无解
D．有一个m使与异号
高频考点2
.
全称量词命题与存在量词命题的真假
【方法点拨】判断全称量词命题真假的方法：要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明，而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可．
判断存在量词命题真假的方法：判断存在量词命题“?x∈M，p(x)”的真假性的关键是探究集合M中x的存在性．若找到一个元素x∈M，使p(x)成立，则该命题是真命题；若不存在x∈M，使p(x)成立，则该命题是假命题．
【例2】（2021?东阳市校级期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．?x∈Z，1＜4x＜3
B．?x∈Z，15x+1＝0
C．?x∈R，x2﹣1＝0
D．?x∈R，x2+x+2＞0
【变式2-1】（2021?苏州期末）设有下面四个命题：
p1：?x∈R，x2+1＜0；p2：?x∈R，x+|x|＞0；
p3：?x∈Z，|x|∈N；p4：?x∈R，x2﹣2x+3＝0．
其中真命题为（ ）
A．p1
B．p2
C．p3
D．p4
【变式2-2】（2021·重庆高二期末）下列四个命题中真命题的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】（2021·河北高一期中）判断下列命题的真假：
（1）已知a，b，c，d∈R，若a≠c，或b≠d，则a+b≠c+d．（2）?x∈N，x3＞x2
（3）若m＞1，则方程x2﹣2x+m＝0无实数根．（4）存在一个三角形没有外接圆．
【变式2-4】（2021·安徽高一期末）下列四个命题，真命题的是（
）
A．
B．
C．
D．
高频考点3
.
根据命题的真假求参数
【方法点拨】(1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．
(2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．
【例3】（2021?天心区校级月考）已知对?x∈{x|1≤x＜3}，都有m＞x，则m的取值范围为（ ）
A．m≥3
B．m＞3
C．m＞1
D．m≥1
【变式3-1】（2021
?建邺区校级月考）已知命题：“?x∈R，x2+ax﹣4a＝0”为假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．{a|﹣16≤a≤0}
B．{a|﹣16＜a＜0}
C．{a|﹣4≤a≤0}
D．{a|﹣4＜a＜0}
【变式3-2】（2020·浙江诸暨中学高一期中）已知命题，为真命题，则实数的取值可以是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式3-3】（2021·辽宁高三月考）已知，；，.那么的取值范围分别为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【变式3-4】（2021·黑龙江哈九中高二期中）已知命题:“，使得”是真命题，则实数的最大值是____.
高频考点4.
全称量词命题与存在量词命题的否定
【方法点拨】对全称量词命题否定的两个步骤
①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(?)存在量词(?)．
②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．
对存在量词命题否定的两个步骤
①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(?)全称量词(?)．
②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．
【例4】（2021?山西四模）已知命题，或，则为
A．，且
B．，或
C．，或
D．，且
【变式4-1】（2021·云南高一期末）命题的否定是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【变式4-2】（2021·黑龙江高一期末）命题“”的否定是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式4-3】（2021·河北高二期中）命题“任意，使方程都有唯一解”的否定是（
）
A．任意，使方程的解不唯一
B．存在，使方程的解不唯一
C．任意，使方程的解不唯一或不存在
D．存在，使方程的解不唯一或不存在
【变式4-4】（2021·福建省南安市侨光中学高二月考）命题，，则为
A．，
B．，
C．，
D．，
高频考点5
.
命题否定的真假判断
【方法点拨】该问题通常先直接判断原命题的真假，再根据否定与原命题真假相反，即可得出答案。
【例5】（2021·江苏高一期中）下列命题的否定为假命题的是（ ）
A．?x∈Z，1＜4x＜3
B．?x∈Z，5x+1＝0
C．?x∈R，x2﹣1＝0
D．?x∈R，x2+3x+2＝0
【变式5-1】（2021?平阴县校级月考）已命题P的否定￢p为“?x∈R，x2+1≤1”则以下说法正确的是（ ）
A．命题P为“?x∈R，x2+1≥1”且为真命题
B．命题P为“?x?R，x2+1＞1”且为假命题
C．命题P为“?x∈R，x2+1＞1”且为假命题
D．命题P为“?x∈R，x2+1≥1”且为真命题
【变式5-2】（2021·广东高一期中）下列关于命题“，使得”的否定说法正确的是（
）
A．，均有假命题
B．，均有真命题
C．，有假命题
D．，有真命题
【变式5-3】（2021?永昌县校级期中）写出下列命题的否定，并判断其真假：
（1）p：不论m取何实数，方程x2+mx﹣1＝0必有实数根；（2）p：有些三角形的三条边相等；
（3）p：菱形的对角线互相垂直；（4）p：存在一个实数x，使得3x＜0．
【变式5-4】（2021秋?邹城市期中）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假：
（Ⅰ）p：对任意的x∈R，x2+x+1≠0都成立；（Ⅱ）q：?x∈R，使x2+3x+5≤0．
高频考点6
.
根据命题否定的真假求参数
【方法点拨】该问题通常先根据否定的真假判断原命题的真假，再根据原命题真假求得参数即可。
【例6】（2021?椒江区校级月考）命题p：ax2+2x+1＝0有实数根，若￢p是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|a＜1}
B．{a|a≤1}
C．{a|a＞1}
D．{a|a≥1}
【变式6-1】（2021?仓山区校级期中）命题p：?x∈R，ax2+ax+1≥0，若命题p的否定是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．{x|0＜x≤4}
B．{x|0≤x≤4}
C．{x|x≤0或x≥4}
D．{x|x＜0或x＞4}
【变式6-2】（2021?承德期末）已知p：关于x的方程x2+mx+1＝0有两个不等的负实数根，若￢p是真命题，则实数m的取值范围是
．
【变式6-3】（2021?罗湖区校级期中）已知命题p：“至少一个实数x∈{x|1≤x≤2}，使不等式x2+2ax+2﹣a＞0成立”则命题p的否定是
；若￢p是假命题，则a的取值范围是
．
【变式6-4】（2021·重庆高一期中）已知命题，，若命题￢p是真命题，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【课后训练】
全卷共22题
满分：150分
时间：120分钟
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·重庆八中高二期中）命题“，”的否定是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
2．（2021·山东高一期中）设命题，则命题的否定为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2021·山东高三三模）命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是（
）A．所有奇函数的图象都不关于原点对称
B．所有非奇函数的图象都关于原点对称
C．存在一个奇函数的图象不关于原点对称
D．存在一个奇函数的图象关于原点对称
4．（2021·北京师范大学万宁附属中学高一开学考试）下列命题中，是真命题的全称量词命题的是（
）
A．实数都大于0
B．梯形两条对角线相等
C．有小于1的自然数
D．三角形内角和为180度
5．（2021·朝阳市第一高级中学高一期中）下列命题中，既是存在量词命题又是假命题的是（
）
A．三角形内角和为
B．有些梯形是平行四边形
C．
D．至少有一个整数，使得
6．（2021·江苏苏州市·高一期末）设有下面四个命题：，；
，；，；
，.其中真命题为
A．
B．
C．
D．
7．（2021·北京高二期末）若命题“，”是真命题，则a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2021·杭州高级中学钱塘学校高一期末）已知命题：“”为假命题，则实数a的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
二?选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2020·河北石家庄二中高一月考）下列命题中，是全称量词命题的有（
）
A．至少有一个使成立
B．对任意的都有成立
C．对任意的都有不成立
D．矩形的对角线垂直平分
10．（2021·辽宁高一月考）下列命题正确的是（
）
A．，使得恒成立
B．，使得
C．，使得
D．，使得
11．（2021·河北高一期末）下列命题的否定中，真命题的是（
）
A．，
B．所有正方形既是矩形也是菱形
C．，
D．所有三角形都有外接圆
12．（2021·湖北高一期月考）已知命题p：“，”，命题q：“，”．若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围不正确的是（
）
A．或
B．或
C．
D．
三?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.（2021?启东市校级月考）根据下述事实，得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为
．
13+23＝（1+2）2，
13+23+33＝（1+2+3）2，
13+23+33+43＝（1+2+3+4）2，
13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2，……
14．（2021·江苏扬州中学高三其他模拟）命题“，”的否定是______．
15．（2021·全国高一课时练习）命题，是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)
16．（2021·山西高三三模）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是___________.
四?解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
17.（2021?邵武市校级月考）判断下列命题属于全称命题还是特称命题，并用数学量词符号改写下列命题：
（1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m＝0无实数根；
（2）存在一对实数
x，y，使2x+3y+3＞0成立；
（3）存在一个三角形没有外接圆；
（4）实数的平方大于等于0．
18．（2021?广平县校级期中）判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
（1）?x∈N，x3＞x2；（2）所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；
（3）?x0∈R，x02﹣x0+1≤0；（4）存在一个四边形，它的对角线互相垂直．
19.（2021·江苏苏州田家炳实验高中高一月考）若命题“，使得”是真命题，求实数的取值范围.
20．（2020·石家庄市第四十一中学高一月考）已知命题，命题，若p为假命题且q为真命题，求实数a的取值范围.
21．（2021·辽宁高二期末）已知集合
（1）若，求实数m的取值范围.
（2）命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围.
22.（2021?上高县校级月考）知集合A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，且B≠?．
（1）若“命题p：?x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围．
（2）“命题q：?x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．
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