2021-2022学年人教版八年级数学上册11.1.2 三角形的高、中线与角平分线作业.（word解析版）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版八年级数学上册11.1.2 三角形的高、中线与角平分线作业.（word解析版） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-06 11:21:40 | ||
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文档简介
11.1.2
三角形的高、中线与角平分线
一、单选题
1．画中边上的高，下列画法中正确的是
A．
B．
C．
D．
2．如图，已知在中，CF，BE分别是AB，AC边上的中线，若，且的周长为15，则BC的长为（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
3．用三角板作的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．下列对于三角形的高、中线、角平分线的说法中正确的是（
）
A．都是线段
B．都是直线
C．都是射线
D．以上都不对
5．如图，△ABC的面积是1，AD是△ABC的中线，AF＝FD，CE＝EF，则△DEF的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
6．三角形的中线和角平分线都是
A．直线
B．射线
C．线段
D．以上都有可能
7．下列说法错误的是(
)
A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点
B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点
C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点
D．三角形的三条高可能相交于外部一点
8．如图，中，，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，且于点H，下列判断中，正确的个数是（
）
①BG是的边AD上的中线；
②AD既是的角平分线，也是的角平分线；
③CH既是的边AD上的高，也是的边AH上的高．
A．0
B．1
C．2
D．3
9．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（
）
A．BF＝CF
B．∠C＋∠CAD＝90°
C．∠BAF＝∠CAF
D．
10．如图，AE是△ABC的角平分线，AD是△AEC的角平分线，若∠BAC＝80°，则∠EAD＝（
）
A．30°
B．45°
C．20°
D．60°
二、填空题
11．在直角三角形中，，，，是边的中线，则边上的高为__，的面积__．
12．（1）线段是的角平分线，那么____．
（2）线段是的中线，那么____．
13．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，则△ABE的面积________．
14．已知，如图所示，，，，，于点D，则___________
15．在△ABC中，，AC上的中线BD把三角形的周长分为21和12两部分，则三角形各边长为________．
16．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于_____cm2
17．已知，OC是的平分线，则的度数是_________.
18．如果知道三角形的一边之长和这边上的高，三角形________确定．(填“能”或“不能”)
三、解答题
19．如图，在ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把ABC的周长分成12cm和15cm两部分，求ABC各边的长．
20．如图，在中，，AD为BC边上的中线．
（1）____________（填“>”“<”或“=”）；
（2）若的周长比的周长多4，且，求AB，AC的长；
（3）的周长为27，，BC边上的中线，的周长为19，求AC的长．
【参考答案】
1．D
【分析】
结合题意，根据三角形高的性质分析，即可得到答案．
【详解】
选项A不是的高，故不符合题意；
选项B不是的高，故不符合题意；
选项C不是的高，故不符合题意；
选项为中边上的高，故符合题意；
故选：．
【点睛】
本题考查了三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形高的性质，从而完成求解．
2．A
【分析】
根据三角形中线的定义求出AB、AC，再利用三角形的周长的定义列式计算即可得解．
【详解】
解：∵CF，BE分别是AB，AC边上的中线，且，
．
的周长为15，即，
．
故选A．
【点睛】
本题考查了三角形中线和三角形的周长，熟记概念并准确识图是解题的关键．
3．A
【分析】
根据高线的定义即可得出结论．
【详解】
，，都不是的边上的高，
故选：．
【点睛】
本题考查的是作图-基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
4．A
【分析】
根据三角形的角平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段是三角形的角平分线．三角形的中线是：连接一顶点和其对边中点的线段．因而三角形的角平分线、中线都是线段即可得到结论．
【详解】
根据三角形的高、中线、角平分线的定义，可知三角形的高、中线、角平分线是线段而不是射线、直线．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查三角形角平分线，中线的定义，三角形的角平分线要与角的平分线区别开来．
5．D
【分析】
根据中线的性质即可求出S△ACD，然后根据等高时，面积之比等于底之比，即可依此求出S△CDF，S△DEF．
【详解】
解：∵△ABC的面积是1，AD是△ABC的中线，
∴S△ACD＝S△ABC＝，
∵AF＝FD，
∴DF＝AD，
∴S△CDF＝S△ACD＝×＝，
∵CE＝EF，
∴S△DEF＝S△CDF＝×＝，
故选：D．
【点睛】
此题考查的是三角形的面积关系，掌握中线的性质和等高时，面积之比等于底之比是解决此题的关键．
6．C
【分析】
利用三角形中线和角平分线定义可得答案．
【详解】
解：三角形的中线和角平分线都是线段，
故选：．
【点睛】
此题主要考查了三角形的中线和角平分线，关键是掌握三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
7．A
【详解】
A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点
，错误，符合题意；
B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点，正确，不符合题意；
C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点，正确，不符合题意；
D．三角形的三条高可能相交于外部一点，正确，不符合题意.
故选A.
8．C
【分析】
根据三角形中线的定义、三角形角平分线的定义和三角形高的定义逐一判断即可．
【详解】
解：因为G为AD的中点，
所以BG是的边AD上的中线，故①正确；
因为，
所以AD是的角平分线，AG是的角平分线，故②错误；
因为于点H，
所以CH既是的边AD边上的高，也是的边AH上的高，故③正确，
综上正确的有2个
故选C．
【点睛】
此题考查的是三角形中线、角平分线和高的识别，掌握三角形中线的定义、三角形角平分线的定义和三角形高的定义是解决此题的关键．
9．C
【分析】
根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．
【详解】
解：∵AF是△ABC的中线，
∴BF=CF，A说法正确，不符合题意；
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠C+∠CAD=90°，B说法正确，不符合题意；
∵AE是角平分线，
∴∠BAE=∠CAE，C说法错误，符合题意；
∵BF=CF，
∴S△ABC=2S△ABF，D说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键．
10．C
【分析】
根据角平分线的性质即可求解.
【详解】
∵∠BAC＝80°，
AE是△ABC的角平分线，
∴∠EAC＝∠BAC＝40°，
∵AD是△AEC的角平分线，
∴∠EAD＝∠EAC＝20°．
故选C．
【点睛】
考查了三角形的角平分线．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
11．4
3
【分析】
根据三角形的高线的定义知BC是边AC上的高线．由三角形中线的定义知AD＝BD，则△ACD与△BCD的等底同高的两个三角形，它们的面积相等．
【详解】
如图，，，
是边上的高，即边上的高为，
又是边的中线，
，
．
故答案是：4；3．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高．此题利用了“等底同高”的两个三角形的面积相等来求△BCD的面积的．
12．
【分析】
（1）根据角平分线定义即可求解；
（2）根据中点定义即可求解．
【详解】
解：（1）线段是的角平分线，那么．
故答案为：，；
（2）线段是的中线，那么．
故答案为：，．
【点睛】
本题考查角平分线定义与中线定义，掌握角平分线定义与中线定义是解题关键．
13．6
【分析】
根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，即可解答．
【详解】
解：∵AD是BC上的中线，△ABC的面积是24，
∴S△ABD=S△ACD=S△ABC=12，
∵BE是△ABD中AD边上的中线，
∴S△ABE=S△BED=S△ABD=6，
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查了三角形面积的求法，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．
14．
【分析】
根据△ABC面积=即可求得CD的长；
【详解】
∵，，，，
∴
∴AB?CD=AC?BC，
故答案为：
【点睛】
本题考查了三角形的面积公式的运用，熟练掌握相关的知识是解题的关键
15．14，14和5．
【分析】
设AB=x，则AD=DC=．然后分两种情况讨论：（1）AB+AD=21；（2）AB+AD=12．
【详解】
如图所示，设，则．
（1）若，即，解得：，即．
∴，，
此时，可构成三角形．
（2）若，即，解得：
∴，．
∴．
此时，不能构成三角形．
综上所述：所求三角形的边长分别为14，14和5．
【点睛】
本题考查了三角形的中线，在解题时要注意找出等量关系是解答本题的关键．
16．1
【分析】
由点为的中点，可得的面积是面积的一半；同理可得和的面积之比，利用三角形的等积变换可解答．
【详解】
解：如图，点是的中点，
的底是，的底是，即，而高相等，
，
是的中点，
，，
，
，且，
，
即阴影部分的面积为．
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．
17．24°
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义即可完成解答.
【详解】
解：∵OC是的平分线
∴∠AOC==24°
故答案为24°.
【点睛】
本题主要考查了角平分线，由于没有图形，因此解答的关键在于在大脑中抽象出图形.
18．不能
【分析】
利用数形结合画图来判断知道三角形的一边之长和这边上的高是否能三角形.
【详解】
画出简图比较容易判定．
解：如图，知道三角形的一边之长和这边上的高，三角形不能确定.
【点睛】
注意，知道三角形的一边之长和这边上的高，三角形的形状虽然不能确定，但是面积可以确定.
19．AB＝AC＝8cm，BC＝11cm或AB＝AC＝10cm，BC＝7cm
【分析】
设AB＝xcm，BC＝ycm，则可以把题中边长分为AB＋AD＝12cm，BC＋CD＝15cm和AB＋AD＝15cm，BC＋CD＝12cm两种情况列出二元一次方程组求解，解方程组即可得到问题解答．
【详解】
解：设AB＝xcm，BC＝ycm．
则有以下两种情况：
(1)当AB＋AD＝12cm，BC＋CD＝15cm时，，解得
,即AB＝AC＝8cm，BC＝11cm，符合三边关系；
(2)当AB＋AD＝15cm，BC＋CD＝12cm时，，解得
，即AB＝AC＝10cm，BC＝7cm，符合三边关系．
【点睛】
本题考查三角形中线的应用，利用方程求解及把问题分成两种情况讨论是解题关键
．
20．（1）；（2）；（3）8．
【分析】
（1）根据三角形中线的定义、三角形的面积公式即可得；
（2）先根据三角形的周长公式可得出，再结合求解即可得；
（3）先根据的周长为27可得，从而可得，再根据的周长为19建立等式求解即可得．
【详解】
（1）为BC边上的中线，
，
与等底同高，
，
故答案为：；
（2）∵AD是BC边上的中线，
，
的周长比的周长多4，即，
，
又，
；
（3）的周长为27，，
，即，
解得，
，
又的周长为19，，
，即，
解得．
【点睛】
本题考查了三角形中线、三角形的面积与周长公式等知识点，掌握理解三角形中线的定义是解题关键
2
三角形的高、中线与角平分线
一、单选题
1．画中边上的高，下列画法中正确的是
A．
B．
C．
D．
2．如图，已知在中，CF，BE分别是AB，AC边上的中线，若，且的周长为15，则BC的长为（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
3．用三角板作的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．下列对于三角形的高、中线、角平分线的说法中正确的是（
）
A．都是线段
B．都是直线
C．都是射线
D．以上都不对
5．如图，△ABC的面积是1，AD是△ABC的中线，AF＝FD，CE＝EF，则△DEF的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
6．三角形的中线和角平分线都是
A．直线
B．射线
C．线段
D．以上都有可能
7．下列说法错误的是(
)
A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点
B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点
C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点
D．三角形的三条高可能相交于外部一点
8．如图，中，，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，且于点H，下列判断中，正确的个数是（
）
①BG是的边AD上的中线；
②AD既是的角平分线，也是的角平分线；
③CH既是的边AD上的高，也是的边AH上的高．
A．0
B．1
C．2
D．3
9．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（
）
A．BF＝CF
B．∠C＋∠CAD＝90°
C．∠BAF＝∠CAF
D．
10．如图，AE是△ABC的角平分线，AD是△AEC的角平分线，若∠BAC＝80°，则∠EAD＝（
）
A．30°
B．45°
C．20°
D．60°
二、填空题
11．在直角三角形中，，，，是边的中线，则边上的高为__，的面积__．
12．（1）线段是的角平分线，那么____．
（2）线段是的中线，那么____．
13．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，则△ABE的面积________．
14．已知，如图所示，，，，，于点D，则___________
15．在△ABC中，，AC上的中线BD把三角形的周长分为21和12两部分，则三角形各边长为________．
16．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于_____cm2
17．已知，OC是的平分线，则的度数是_________.
18．如果知道三角形的一边之长和这边上的高，三角形________确定．(填“能”或“不能”)
三、解答题
19．如图，在ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把ABC的周长分成12cm和15cm两部分，求ABC各边的长．
20．如图，在中，，AD为BC边上的中线．
（1）____________（填“>”“<”或“=”）；
（2）若的周长比的周长多4，且，求AB，AC的长；
（3）的周长为27，，BC边上的中线，的周长为19，求AC的长．
【参考答案】
1．D
【分析】
结合题意，根据三角形高的性质分析，即可得到答案．
【详解】
选项A不是的高，故不符合题意；
选项B不是的高，故不符合题意；
选项C不是的高，故不符合题意；
选项为中边上的高，故符合题意；
故选：．
【点睛】
本题考查了三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形高的性质，从而完成求解．
2．A
【分析】
根据三角形中线的定义求出AB、AC，再利用三角形的周长的定义列式计算即可得解．
【详解】
解：∵CF，BE分别是AB，AC边上的中线，且，
．
的周长为15，即，
．
故选A．
【点睛】
本题考查了三角形中线和三角形的周长，熟记概念并准确识图是解题的关键．
3．A
【分析】
根据高线的定义即可得出结论．
【详解】
，，都不是的边上的高，
故选：．
【点睛】
本题考查的是作图-基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
4．A
【分析】
根据三角形的角平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段是三角形的角平分线．三角形的中线是：连接一顶点和其对边中点的线段．因而三角形的角平分线、中线都是线段即可得到结论．
【详解】
根据三角形的高、中线、角平分线的定义，可知三角形的高、中线、角平分线是线段而不是射线、直线．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查三角形角平分线，中线的定义，三角形的角平分线要与角的平分线区别开来．
5．D
【分析】
根据中线的性质即可求出S△ACD，然后根据等高时，面积之比等于底之比，即可依此求出S△CDF，S△DEF．
【详解】
解：∵△ABC的面积是1，AD是△ABC的中线，
∴S△ACD＝S△ABC＝，
∵AF＝FD，
∴DF＝AD，
∴S△CDF＝S△ACD＝×＝，
∵CE＝EF，
∴S△DEF＝S△CDF＝×＝，
故选：D．
【点睛】
此题考查的是三角形的面积关系，掌握中线的性质和等高时，面积之比等于底之比是解决此题的关键．
6．C
【分析】
利用三角形中线和角平分线定义可得答案．
【详解】
解：三角形的中线和角平分线都是线段，
故选：．
【点睛】
此题主要考查了三角形的中线和角平分线，关键是掌握三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
7．A
【详解】
A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点
，错误，符合题意；
B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点，正确，不符合题意；
C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点，正确，不符合题意；
D．三角形的三条高可能相交于外部一点，正确，不符合题意.
故选A.
8．C
【分析】
根据三角形中线的定义、三角形角平分线的定义和三角形高的定义逐一判断即可．
【详解】
解：因为G为AD的中点，
所以BG是的边AD上的中线，故①正确；
因为，
所以AD是的角平分线，AG是的角平分线，故②错误；
因为于点H，
所以CH既是的边AD边上的高，也是的边AH上的高，故③正确，
综上正确的有2个
故选C．
【点睛】
此题考查的是三角形中线、角平分线和高的识别，掌握三角形中线的定义、三角形角平分线的定义和三角形高的定义是解决此题的关键．
9．C
【分析】
根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．
【详解】
解：∵AF是△ABC的中线，
∴BF=CF，A说法正确，不符合题意；
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠C+∠CAD=90°，B说法正确，不符合题意；
∵AE是角平分线，
∴∠BAE=∠CAE，C说法错误，符合题意；
∵BF=CF，
∴S△ABC=2S△ABF，D说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键．
10．C
【分析】
根据角平分线的性质即可求解.
【详解】
∵∠BAC＝80°，
AE是△ABC的角平分线，
∴∠EAC＝∠BAC＝40°，
∵AD是△AEC的角平分线，
∴∠EAD＝∠EAC＝20°．
故选C．
【点睛】
考查了三角形的角平分线．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
11．4
3
【分析】
根据三角形的高线的定义知BC是边AC上的高线．由三角形中线的定义知AD＝BD，则△ACD与△BCD的等底同高的两个三角形，它们的面积相等．
【详解】
如图，，，
是边上的高，即边上的高为，
又是边的中线，
，
．
故答案是：4；3．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高．此题利用了“等底同高”的两个三角形的面积相等来求△BCD的面积的．
12．
【分析】
（1）根据角平分线定义即可求解；
（2）根据中点定义即可求解．
【详解】
解：（1）线段是的角平分线，那么．
故答案为：，；
（2）线段是的中线，那么．
故答案为：，．
【点睛】
本题考查角平分线定义与中线定义，掌握角平分线定义与中线定义是解题关键．
13．6
【分析】
根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，即可解答．
【详解】
解：∵AD是BC上的中线，△ABC的面积是24，
∴S△ABD=S△ACD=S△ABC=12，
∵BE是△ABD中AD边上的中线，
∴S△ABE=S△BED=S△ABD=6，
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查了三角形面积的求法，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．
14．
【分析】
根据△ABC面积=即可求得CD的长；
【详解】
∵，，，，
∴
∴AB?CD=AC?BC，
故答案为：
【点睛】
本题考查了三角形的面积公式的运用，熟练掌握相关的知识是解题的关键
15．14，14和5．
【分析】
设AB=x，则AD=DC=．然后分两种情况讨论：（1）AB+AD=21；（2）AB+AD=12．
【详解】
如图所示，设，则．
（1）若，即，解得：，即．
∴，，
此时，可构成三角形．
（2）若，即，解得：
∴，．
∴．
此时，不能构成三角形．
综上所述：所求三角形的边长分别为14，14和5．
【点睛】
本题考查了三角形的中线，在解题时要注意找出等量关系是解答本题的关键．
16．1
【分析】
由点为的中点，可得的面积是面积的一半；同理可得和的面积之比，利用三角形的等积变换可解答．
【详解】
解：如图，点是的中点，
的底是，的底是，即，而高相等，
，
是的中点，
，，
，
，且，
，
即阴影部分的面积为．
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．
17．24°
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义即可完成解答.
【详解】
解：∵OC是的平分线
∴∠AOC==24°
故答案为24°.
【点睛】
本题主要考查了角平分线，由于没有图形，因此解答的关键在于在大脑中抽象出图形.
18．不能
【分析】
利用数形结合画图来判断知道三角形的一边之长和这边上的高是否能三角形.
【详解】
画出简图比较容易判定．
解：如图，知道三角形的一边之长和这边上的高，三角形不能确定.
【点睛】
注意，知道三角形的一边之长和这边上的高，三角形的形状虽然不能确定，但是面积可以确定.
19．AB＝AC＝8cm，BC＝11cm或AB＝AC＝10cm，BC＝7cm
【分析】
设AB＝xcm，BC＝ycm，则可以把题中边长分为AB＋AD＝12cm，BC＋CD＝15cm和AB＋AD＝15cm，BC＋CD＝12cm两种情况列出二元一次方程组求解，解方程组即可得到问题解答．
【详解】
解：设AB＝xcm，BC＝ycm．
则有以下两种情况：
(1)当AB＋AD＝12cm，BC＋CD＝15cm时，，解得
,即AB＝AC＝8cm，BC＝11cm，符合三边关系；
(2)当AB＋AD＝15cm，BC＋CD＝12cm时，，解得
，即AB＝AC＝10cm，BC＝7cm，符合三边关系．
【点睛】
本题考查三角形中线的应用，利用方程求解及把问题分成两种情况讨论是解题关键
．
20．（1）；（2）；（3）8．
【分析】
（1）根据三角形中线的定义、三角形的面积公式即可得；
（2）先根据三角形的周长公式可得出，再结合求解即可得；
（3）先根据的周长为27可得，从而可得，再根据的周长为19建立等式求解即可得．
【详解】
（1）为BC边上的中线，
，
与等底同高，
，
故答案为：；
（2）∵AD是BC边上的中线，
，
的周长比的周长多4，即，
，
又，
；
（3）的周长为27，，
，即，
解得，
，
又的周长为19，，
，即，
解得．
【点睛】
本题考查了三角形中线、三角形的面积与周长公式等知识点，掌握理解三角形中线的定义是解题关键
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