2020-2021学年甘肃省天水市高二（上）期末数学试卷（文科）人教A版（Word含答案解析）

2020-2021学年甘肃省天水市高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。）
?
1.
下列四个命题中的真命题为（
）
A.若，则
B.任意，
C.若，则
D.存在，使
?
2.
与命题“若，则”等价的命题是（
）
A..若?，则?
B..若，则?
C..若?，则?
D.若，则?
?
3.
已知、是两个命题，则“是真命题”是“且是真命题”的（
）
A.必要而不充分条件
B.充分而不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
?
4.
命题“梯形的两对角线互相不平分”的命题形式为?
?
?
??
A.或
B.且
C.非
D.简单命题
?
5.
设函数，当自变量由改变到时，函数值的改变量等于（
）
A.
B.
C.
D.
?
6.
椭圆＝的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
?
7.
过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
?
8.
函数在区间上的最大值是，最小值是，若，则
A.等于
B.大于
C.小于
D.以上都有可能
?
9.
函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值（
）
A.?个
B.?个
C.?个
D.?个
?
10.
函数＝有（
）
A.极大值，极小值
B.极大值，极小值
C.极大值，无极小值
D.极小值，无极大值
?
11.
函数单调递增区间是（
）
A.
B.
C.
D.
?
12.
已知双曲线的顶点恰好是椭圆的两个顶点，且焦距是，则此双曲线的渐近线方程是（
）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
?
命题“所有的长方体都是四棱柱”的否定是________．
?
已知＝．求的导数________．
?
已知抛物线过点，则焦点坐标为________．
?
已知椭圆的焦距为，且，，依次成等差数列，则椭圆的离心率为________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共70分）．
?
求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程．
?
已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上．若右焦点到直线的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）求此椭圆的离心率．
?
当从到变化时，方程表示的曲线的形状怎样变换？
?
已知函数＝．
（1）求这个函数的导数；
（2）求这个函数的图象在点＝处的切线方程．
?
一边长为的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为的小正方形，然后做成一个无盖方盒．
（1）试把方盒的容积表示为的函数．
（2）多大时，方盒的容积最大？
?
已知函数，曲线在点（）处的切线方程为．
（1）求，的值；
（2）求在上的最大值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年甘肃省天水市高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。）
1.
【答案】
B
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
、特殊值，进行判断；
、根据，，进行判断；
、当，也满足，进行判断；
、根据，可得的值；
【解答】
解：、当，也成立，但，故错误；
、∵
，∴
任意，，故正确；
、若可得，故错误；
、∵
，，不可能有，故错误；
2.
【答案】
D
【考点】
四种命题间的逆否关系
【解析】
互为逆否命题的两个命题为等价命题，即可得到结论．
【解答】
∵
原命题和逆否命题互为等价命题，
∴
与命题“若，则”等价的命题是：
若，则?．
3.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
根据充要条件的定义进行判断，即可得到结果．
【解答】
解：由“是真命题”不能确定“且是真命题”；反过来，由“且是真命题”可知“是真命题”．
因此，“是真命题”是“且是真命题”的必要而不充分条件，选．
故选．
4.
【答案】
C
【考点】
逻辑联结词“或”“且”“非”
【解析】
命题中含有逻辑连接词“不”，属于命题的否定，所以是“非”的命题形式．
【解答】
解：记命题：梯形的两对角线互相平分，
而原命题是“梯形的两对角线互相不平分”，是命题的否定形式.
故选.
5.
【答案】
D
【考点】
变化的快慢与变化率
【解析】
根据题意函数，我们知道当自变量变化时，因变量也要发生变化，因此把和分别代入函数，然后相减求出．
【解答】
解：∵
自变量由改变到，
当，，
当，，
∴
，
故选．
6.
【答案】
A
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
根据题意，求出长半轴和短半轴的长度，利用长轴长是短轴长的两倍，解方程求出的值．
【解答】
椭圆＝的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴
，
7.
【答案】
A
【考点】
抛物线的求解
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
利用抛物线的定义可得，，把代入可得结果．
【解答】
解：设抛物线的焦点为，由抛物线的定义可知，?
，
故选?．
8.
【答案】
A
【考点】
导数求函数的最值
【解析】
由最大最小相等，可得是常数函数，即可得出结论．
【解答】
解：∵
最大最小相等，
∴
是常数函数，
∴
．
故选：．
9.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
由图象得：的增区间为，，，减区间为，，从而求出函数在开区间内有个极小值．
【解答】
函数的定义域为开区间，
导函数在内的图象如图所示，
由图象得：
当，或，或时，，
当或，时，，
∴
的增区间为，，，减区间为，，
∴
是函数在开区间内有极小值，
∴
函数在开区间内有个极小值．
10.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
求出的导函数得到＝，＝（因为，舍去），讨论当时，；当时，，得到函数极值即可．
【解答】
＝＝，得＝，＝，当时，；当时，，
当＝时，＝；取不到，无极小值．
11.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
求出函数的导函数，因为要求单调递增区间，令得到不等式求出的范围即可．
【解答】
解：令，
即，
解得.
故选.
12.
【答案】
C
【考点】
双曲线的特性
【解析】
根据双曲线的顶点恰好是椭圆的两个顶点，且焦距是，可得双曲线的与，进而可求双曲线的渐近线方程．
【解答】
解：∵
双曲线的顶点恰好是椭圆的两个顶点，且焦距是，
∴
，，
∴
，
∴
双曲线的渐近线方程是．
故选．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
【答案】
存在长方体不是四棱柱
【考点】
命题的否定
【解析】
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】
命题“所有的长方体都是四棱柱”为全称命题，则命题的否定为“存在长方体不是四棱柱”，
【答案】
【考点】
导数的运算
【解析】
根据基本初等函数和积的导数的求导公式求导即可．
【解答】
∵
＝，
∴
．
【答案】
【考点】
抛物线的求解
【解析】
将点代入抛物线方程可得，即可求得抛物线即的焦点坐标．
【解答】
解：抛物线过点，
即有，解得，
则抛物线即的焦点坐标为．
故答案为：．
【答案】
【考点】
椭圆的定义
【解析】
利用等差数列的性质及，，间的关系建立关于、的方程，转化为关于的方程，求出的值．
【解答】
解：∵
，，依次成等差数列，∴
，又，∴
，
即
?，∴
，?或?（舍去）．
故答案为：．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共70分）．
【答案】
依题意，双曲线的焦点坐标是，，
故双曲线方程可设为，
又双曲线的离心率，
∴
解之得＝，＝
故双曲线的方程为
【考点】
圆锥曲线的共同特征
【解析】
根据题意双曲线方程可设为，可得关于，的方程组，进而求出，的数值即可求出双曲线的方程．
【解答】
依题意，双曲线的焦点坐标是，，
故双曲线方程可设为，
又双曲线的离心率，
∴
解之得＝，＝
故双曲线的方程为
【答案】
由已知可得＝，设椭圆的右焦点坐标为，
则点到直线的距离为，
解得，则＝＝，
故椭圆的方程为；
由（1）知：，，
所以椭圆的离心率为．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
【解析】
（1）由已知即可求出的值，然后设出椭圆的右焦点坐标，利用点到直线的距离公式求出的值，进而可以求解；
（2）根据（1）即可求出椭圆的离心率．
【解答】
由已知可得＝，设椭圆的右焦点坐标为，
则点到直线的距离为，
解得，则＝＝，
故椭圆的方程为；
由（1）知：，，
所以椭圆的离心率为．
【答案】
解：当时，，方程表示圆心在原点的单位圆；
当时，，方程表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆；
当时，，方程，得表示与轴平行的两条直线；
当时，，方程表示焦点在轴上的双曲线；
当时，，方程表示焦点在轴上的等轴双曲线．
【考点】
二元二次方程表示圆的条件
【解析】
根据符号，对角分五类进行讨论，由圆、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体形状．
【解答】
解：当时，，方程表示圆心在原点的单位圆；
当时，，方程表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆；
当时，，方程，得表示与轴平行的两条直线；
当时，，方程表示焦点在轴上的双曲线；
当时，，方程表示焦点在轴上的等轴双曲线．
【答案】
∵
＝，
∴
＝；
由（1）知，切线的斜率＝＝＝，点，
代入点斜式方程得：＝，即＝，
∴
该函数的图象在＝处的切线方程为：＝．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
（1）直接利用导数的运算法则结合基本初等函数的求导公式得答案；
（2）求出函数在＝处的导数，再求出切点坐标，代入直线方程的点斜式得答案．
【解答】
∵
＝，
∴
＝；
由（1）知，切线的斜率＝＝＝，点，
代入点斜式方程得：＝，即＝，
∴
该函数的图象在＝处的切线方程为：＝．
【答案】
无盖方盒的容积．
因为，
所以＝，
令＝得（舍），或．
当时，，当时，，
因此是函数的极大值点，也是最大值点，
故当时，方盒的容积最大．?
【考点】
函数最值的应用
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
（1）由已知可得方盒的底面边长为，高为，进而可得答案；
（2）利用导数法，可得方盒的容积的最大值．
【解答】
无盖方盒的容积．
因为，
所以＝，
令＝得（舍），或．
当时，，当时，，
因此是函数的极大值点，也是最大值点，
故当时，方盒的容积最大．?
【答案】
解：（1）由得，，
∴
在点（）处的切线方程为：
，
即，
整理得．
又∵
在点（）处的切线方程为，
∴
，解得，
∴
，．
（2）由（1）知，
，
令，得或．
当变化时，，的变化如下表：
+
-
+
增
极大值
减
极小值
增
∴
的极大值为，极小值为，
又∵
，，
∴
在上的最大值为．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
导数求函数的最值
【解析】
（1）先由求导公式和法则求出导数，再由点斜式求出切线方程并化为斜截式，再与条件对比列出方程，求出和的值；
（2）由（1）求出，再求出临界点，列出表格，求出函数的极值和端点处的函数值，对比后求出函数在已知区间上的最大值．
【解答】
解：（1）由得，，
∴
在点（）处的切线方程为：
，
即，
整理得．
又∵
在点（）处的切线方程为，
∴
，解得，
∴
，．
（2）由（1）知，
，
令，得或．
当变化时，，的变化如下表：
+
-
+
增
极大值
减
极小值
增
∴
的极大值为，极小值为，
又∵
，，
∴
在上的最大值为．
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