2020-2021学年广东省韶关市高二（上）期中考试数学试卷人教A版（Word含答案解析）

2020-2021学年广东省韶关市高二（上）期中考试数学试卷
一、选择题
?
1.
不等式的解集为（????????）
A.
B.
C.
D.
?
2.
在中，，，，则（
）
A.
B.
C.
D.
?
3.
已知等差数列的通项公式为，则数列的首项与公差分别是（????????）
A.
B.
C.
D.
?
4.
已知，，且，则下列结论恒成立的是(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
5.
在中，角、、的对边分别为、、，若，则角的值为（
）
A.
B.
C.或
D.或
?
6.
已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（????????）
A.
B.
C.
D.
?
7.
已知三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为（
）
A.
B.
C.
D.
?
8.
已知数列满足，且，则的值是(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
二、多选题
?
在中，，，，则角(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
给定下列命题，其中错误的命题有(?
?
?
?
)
A.
B.
C.，
D.，
?
等比数列中，首项为，公比为，则下列条件中，使为递减数列的是(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
在中，已知，则的形状是(?
?
?
?
)
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
三、填空题
?
若，满足则的最小值为________，最大值为________．
?
在中，，，且，则________.
?
在数列中，
，且，则________.
?
函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为________．
四、解答题
?
在中，分别为内角，，所对的边，且满足．
求的大小；
现给出三个条件：①；?②；③．试从中选出两个可以确定的条件，写出你的选择，并以此为依据求的面积．
?
已知是各项均为正数的等比数列，.
求的通项公式；
设，求数列的前项和.
?
在中，，，．
求的长；
求的值．
?
的内角，，所对的边分别为，，．
若，，成等差数列，证明：；
若，，成等比数列，求的最小值．
?
已知数列的前项和是，且.
求数列的通项公式；
设，令，求．
?
已知数列和满足，，，.
求与；
记数列的前项和为，求．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广东省韶关市高二（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
一元二次不等式的解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为，
所以不等式的解集为.
故选.
2.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
【解析】
由正弦定理列出关系式，将，及的值代入即可求出的值．
【解答】
解：∵
，，，
∴
由正弦定理得：．
故选.
3.
【答案】
C
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：时，
时，
所以公差.
故选.
4.
【答案】
D
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
利用基本不等式需注意：各数必须是正数．不等式的使用条件是，．
【解答】
解：对于，，故错误；
对于，，，只能说明，同号，
若，都小于，不等式不成立，故，错误；
对于，∵
，
∴
，故正确.
故选.
5.
【答案】
A
【考点】
余弦定理
【解析】
通过余弦定理求出的值，进而求出．
【解答】
解：∵
，
∴
根据余弦定理得，
∴
，
又，
∴
．
故选．
6.
【答案】
A
【考点】
一元二次不等式的解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为不等式的解集为，
可知，且?
从而得
所以不等式的解集为.
故选.
7.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
由条件利用余弦定理求得的值，可得的值，再根据三角形的面积为，计算求得结果．
【解答】
解：由于三边的长分别为，，，
则由余弦定理可得，
∴
，
∴
三角形的面积为.
故选.
8.
【答案】
B
【考点】
等比数列的性质
对数的运算性质
【解析】
数列满足，可得，数列是等比数列，公比．又，，再利用对数的运算性质即可得出．
【解答】
解：∵
数列满足，
∴
，
∴
数列是等比数列，公比．
又，
∴
，
则．
故选．
二、多选题
【答案】
B,D
【考点】
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由正弦定理，得，
因为，且，
所以或.
故选.
【答案】
A,B,C
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：对于，只有当时，才成立，故错误；
对于，只有当且时，才成立，故错误；
对于，只有当，时，才成立，故错误；
对于，由得，从而，故正确．
故选.
【答案】
A,D
【考点】
等比数列的通项公式
数列与函数单调性问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为为递减数列，
所以
（，），
若，则；
若，则．
故选．
【答案】
A,B
【考点】
正弦定理
三角形的形状判断
二倍角的正弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：已知，
由正弦定理，
，
，
，
或，
或.
故选.
三、填空题
【答案】
,
【考点】
求线性目标函数的最值
【解析】
由约束条件作出可行域，令＝，作出直线＝，平移直线得答案．
【解答】
解：由约束条件
作出可行域如图，
，，
令，作出直线，
由图可知，
平移直线，
当直线过点时，有最小值为，
过点时，有最大值.
故答案为：；.
【答案】
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵
，
则由正弦定理可得：
，
由可得：.
又∵
，
则由余弦定理可得：，
解得：．
故答案为：.
【答案】
【考点】
数列递推式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：令，则，
与联立解得，，
所以．
故答案为：．
【答案】
【考点】
基本不等式
【解析】
由题意可得定点，，把要求的式子化为?，利用基本不等式求得结果．
【解答】
解：由题意可得定点，
又点在直线上，
∴
，
则
，
当且仅当??时，等号成立，
故答案为：．
四、解答题
【答案】
解：依题意得：
，
即，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
.
方案一：选条件①和②，
由正弦定理，
得，
∵
，
∴
，
∴
．
方案二：选条件①和③，
由余弦定理，
有，
则，，
所以
．
说明：若选条件②和③，
由得，
，
不成立，这样的三角形不存在．
【考点】
两角和与差的正弦公式
三角函数值的符号
正弦定理
三角形的面积公式
解三角形
余弦定理
【解析】
（1）把已知等式的左边提取，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，求出的值，由的范围，得到的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出的度数；
（2）若选条件①和③，由及的度数，及第一问求出的的度数，利用正弦定理求出的值，然后由及诱导公式得到，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即可求出的值，由，及的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形的面积；若选条件①和②，由，及的值，利用余弦定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，进而求出的值，由，及的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形的面积；若选条件②和③，根据正弦定理得到大于，不成立．故前两种情况选择一种方案即可．
【解答】
解：依题意得：
，
即，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
.
方案一：选条件①和②，
由正弦定理，
得，
∵
，
∴
，
∴
．
方案二：选条件①和③，
由余弦定理，
有，
则，，
所以
．
说明：若选条件②和③，
由得，
，
不成立，这样的三角形不存在．
【答案】
解：设的公比为，由题设得，即.
解得（舍去）或.
因此的通项公式为.
由得,因此数列的前项和为.
【考点】
等比数列的通项公式
等差数列的前n项和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设的公比为，由题设得，即.
解得（舍去）或.
因此的通项公式为.
由得,因此数列的前项和为.
【答案】
解：∵
中，，，
∴
，
∵
，
∴
.
．
∵
为三角形的内角，
∴
，
∴
．
【考点】
正弦定理
两角和与差的余弦公式
诱导公式
【解析】
（1）利用正弦定理，即可求的长；
（2）求出、，利用两角差的余弦公式求的值．
【解答】
解：∵
中，，，
∴
，
∵
，
∴
.
．
∵
为三角形的内角，
∴
，
∴
．
【答案】
证明：∵
，，成等差数列，
∴
，
利用正弦定理化简得：，
∵
，
∴
.
解：∵
，，成等比数列，
∴
，
∴
，
当且仅当时等号成立，
∴
的最小值为.
【考点】
正弦定理
诱导公式
等差数列的性质
等比数列的性质
余弦定理
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
Ⅰ由，，成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证；
Ⅱ由，成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出的最小值．
【解答】
证明：∵
，，成等差数列，
∴
，
利用正弦定理化简得：，
∵
，
∴
.
解：∵
，，成等比数列，
∴
，
∴
，
当且仅当时等号成立，
∴
的最小值为.
【答案】
解：当时，，
由，
得：．
当时，，．
则，
即，
所以．
∵
，
∴
．
故数列是以为首项，为公比的等比数列．
故．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
所以
．
【考点】
数列递推式
数列的求和
【解析】
（1）首先由递推式求出，取得另一递推式，两式作差后可证出数列是等比数列，则其通项公式可求；
（2）把（1）中求出的代入递推式，则可求出，整理后得到，最后利用裂项相消求．
【解答】
解：当时，，
由，
得：．
当时，，．
则，
即，
所以．
∵
，
∴
．
故数列是以为首项，为公比的等比数列．
故．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
所以
．
【答案】
解：由，，
得．
由题意知，当时，，故，
当时，，
和原递推式作差得，
，
整理得：，
∴
.
由知，，
因此，
，
两式作差得：，
．
【考点】
数列递推式
数列的求和
等比数列的前n项和
【解析】
Ⅰ直接由＝，＝，可得数列为等比数列，由等比数列的通项公式求得数列的通项公式；
再由＝，＝，取＝求得＝，当时，得另一递推式，作差得到，整理得数列为常数列，由此可得的通项公式；
Ⅱ求出，然后利用错位相减法求数列的前项和为．
【解答】
解：由，，
得．
由题意知，当时，，故，
当时，，
和原递推式作差得，
，
整理得：，
∴
.
由知，，
因此，
，
两式作差得：，
．
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