2020-2021学年广西柳州高二（上）期末数学试卷（文科）人教A版（Word含答案解析）

2020-2021学年广西柳州某校高二（上）期末数学试卷（文科）
一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
?
1.
已知集合，，求
A.
B.
C.
D.
?
2.
已知复数，则的虚部为（
）
A.
B.
C.
D.
?
3.
若，，，则实数，，的大小关系为（
）
A.
B.
C.
D.
?
4.
已知中，点在的延长线上，且满足，则＝（
）
A.
B.
C.
D.
?
5.
已知角的终边在直线＝上，则＝（
）
A.
B.
C.
D.
?
6.
若，满足约束条件，则＝的取值范围（
）
A.
B.
C.
D.
?
7.
等差数列的公差不为．若，，成等比数列，且，则前项的和为（
）
A.
B.
C.
D.
?
8.
若函数的导函数为，且满足＝，则＝（
）
A.
B.
C.
D.
?
9.
新型冠状爆发期间，某专家为了解广西某中学学生一天自主学习的时间（单位，小时），随机抽查该校名学生的学习时间；了解到以下数据：
学习时间（）
人数
根据频率分布表中的数据，可以估计该校名中学生自主学习时间的平均值（精确到）（
）
A.
B.
C.
D.
?
10.
已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（
）
A.
B.
C.
D.
?
11.
运行如图所示的程序框图，若输出的值为，则判断框中可以填（
）
A.
B.
C.
D.
?
12.
设双曲线：的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（
）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
?
各项均为正数的等比数列，若＝，则＝________．
?
已知，，若，则＝________．
?
已知为抛物线＝上一点，点到焦点的距离为，到轴的距离为，则＝________．
?
在三棱柱中，侧棱垂直底面且底面为等边三角形且＝，在棱上，＝，则异面直线与所成角的余弦值________．
三、本大题共5个大题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
?
设函数，．
（1）求函数的对称轴方程；
（2）在锐角三角形中，，，分别是角，，的对边，且，＝，，求的周长．
?
现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如表：
由以上统计数据填下面列联表并问是否有的把握认为“月收入以为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异；
?
月收入低于百元的人数
月收入不低于百元的人数
合计
赞成
?
?
?
不赞成
?
?
?
合计
?
?
?
若采用分层抽样在月收入在，的被调查人中抽取人进行追踪调查，并给予其中人“红包”奖励，求收到“红包”奖励的人中至少有人收入在的概率．
参考公式：，其中．
参考数据：
?
已知四棱锥中，底面是边长为的菱形，＝，＝＝，＝，点是棱的中点，点是棱上靠近的一个三等分点．
（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥的体积．
?
已知函数＝．
（1）当＝时，求函数在（）处的切线方程；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
?
已知椭圆：的左、右焦点分别为、，＝，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上的一点，，，，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值．
选考题（10分，二选一）
?
已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为＝．
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设点，直线与曲线交于，两点，求的值．
?
设函数．
（1）当＝时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广西柳州某校高二（上）期末数学试卷（文科）
一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
进行交集的运算即可．
【解答】
∵
，，
∴
．
2.
【答案】
A
【考点】
复数的运算
【解析】
化简复数，写出，再写出的虚部．
【解答】
复数＝＝＝-，
则＝+，所以的虚部为．
3.
【答案】
D
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性直接求解．
【解答】
∵
，
，，，
∴
实数，，的大小关系为：．
4.
【答案】
A
【考点】
平面向量的基本定理
【解析】
根据向量的加法法则，可以直接运算．
【解答】
∵
∵
，
∴
＝，
5.
【答案】
D
【考点】
任意角的三角函数
二倍角的三角函数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
D
【考点】
简单线性规划
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】
由约束条件作出可行域如图，
由＝，取＝，可得＝，即，
联立，解得，
作出直线＝，由图可知，平移直线＝，
当直线过时，有最小值为，当直线过时，取最大值为．
∴
＝的取值范围是．
7.
【答案】
B
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列与等比数列的综合
【解析】
利用等比数列性质、等差数列通项公式列出方程组，求出，，由此能求出前项的和．
【解答】
∵
等差数列的公差不为．，，成等比数列，且，
∴
，
解得，，
∴
前项的和为：
．
8.
【答案】
C
【考点】
导数的运算
【解析】
先对进行求导，然后令＝，求解即可．
【解答】
因为＝，
则有＝，
故＝，
解得＝．
故选：．
9.
【答案】
A
【考点】
众数、中位数、平均数
【解析】
该校名中学生自主学习时间的平均值为各组组中值与各组相应频率之积的和．
【解答】
该校名中学生自主学习时间的平均值为：
＝，
10.
【答案】
【考点】
由三视图求体积
【解析】
首先把三视图和几何体的直观图之间的转换，进一步求出几何体的表面积．
【解答】
如图所示：
所以．
故选：．
11.
【答案】
D
【考点】
程序框图
【解析】
由已知中的程序语句是利用循环结构计算当输出变量＝时，循环中变量的变化情况，模拟程序的运行过程可得答案．
【解答】
＝，＝，运行该程序，
第一次，＝＝，＝，不满足退出循环的条件；
第二次，＝＝，＝，不满足退出循环的条件；
第三次，＝＝，＝，满足退出循环的条件；
输出的值为时，＝，
12.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
利用双曲线的渐近线方程，推出，关系，然后求解双曲线的离心率即可．
【解答】
双曲线：的渐近线方程为，
可得，
＝＝＝＝，
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
【答案】
【考点】
等比数列的通项公式
【解析】
等比数列性质得，由此能求出结果．
【解答】
各项均为正数的等比数列，＝，
∴
＝＝＝，
∴
＝．
【答案】
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
向量的概念与向量的模
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
根据题意，由向量平行的坐标表示公式可得的值，即可得的坐标，则可得+的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案．
【解答】
根据题意，已知，，
若，则＝，解得＝，
则＝，
则有+＝，
故＝＝，
【答案】
【考点】
抛物线的性质
【解析】
求出抛物线的准线方程，利用已知条件列出方程，转化求解即可．
【解答】
为抛物线＝上一点，点到焦点的距离为，到轴的距离为，
因为排位上的点到解得的距离与到准线＝-的距离相等，
所以，
解得＝．
【答案】
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
由题意画出图形，取的中点，连接，，设＝，在三角形中，由余弦定理求解．
【解答】
如图，
设＝，则＝＝，
由＝，得为的中点，取的中点，中点，
连接，，，，，
可得，
∴
（或其补角）为异面直线与所成角，
求解三角形可得＝，＝，
＝，
在中，由余弦定理可得，＝＝．
∴
异面直线与所成角的余弦值为．
三、本大题共5个大题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【答案】
因为＝，
令，，解得，，
可得函数的对称轴方程为，．
因为锐角三角形，
所以，，
所以，，
又因为，，
所以，，
因为，
所以＝，
又因为，
所以＝，
所以的周长为＝．
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
正弦函数的奇偶性和对称性
【解析】
（1）利用两角和差的正弦和余弦公式，进行化简，求出的解析式，结合三角函数的对称性质即可求的对称轴方程；
（2）由已知可求范围，根据已知可求，利用三角形的面积公式可求的值，进而根据余弦定理可得＝，即可求解三角形的周长．
【解答】
因为＝，
令，，解得，，
可得函数的对称轴方程为，．
因为锐角三角形，
所以，，
所以，，
又因为，，
所以，，
因为，
所以＝，
又因为，
所以＝，
所以的周长为＝．
【答案】
解：由题意填列联表如下，
?
月收入低于百元的人数
月收入不低于百元的人数
合计
赞成
不赞成
合计
由表中数据，计算，
所以没有的把握认为“月收入以为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异.
用分层抽样在月收入在，的被调查人中随机抽取人，
则月收入在内有（人），记为，，
在有（人），记为，，，；
从这人中抽取人，基本事件是，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，共种，
这人中至少收入在的事件是，，，，，，，，，，
，，，，，共种，
故所求的概率值为．
【考点】
独立性检验
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
1由题意填列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
（2用分层抽样法求出抽取的人数，再用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．
【解答】
解：由题意填列联表如下，
?
月收入低于百元的人数
月收入不低于百元的人数
合计
赞成
不赞成
合计
由表中数据，计算，
所以没有的把握认为“月收入以为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异.
用分层抽样在月收入在，的被调查人中随机抽取人，
则月收入在内有（人），记为，，
在有（人），记为，，，；
从这人中抽取人，基本事件是，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，共种，
这人中至少收入在的事件是，，，，，，，，，，
，，，，，共种，
故所求的概率值为．
【答案】
证明：∵
是的中点，
∴
，
∴
，
∵
平面，平面，且＝，
∴
平面，
∵
平面，
∴
平面平面．
∵
，
∴
平面，
∵
点是棱的中点，点在棱上，满足平面，
∴
，
∴
，
∴
到平面的距离，
∴
三棱锥的体积．
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的体积
平面与平面垂直
【解析】
（1）推导出，，从而平面，由此能证明平面平面．
（2）连结，设＝，连结，由＝，能求出三棱锥的体积．
【解答】
证明：∵
是的中点，
∴
，
∴
，
∵
平面，平面，且＝，
∴
平面，
∵
平面，
∴
平面平面．
∵
，
∴
平面，
∵
点是棱的中点，点在棱上，满足平面，
∴
，
∴
，
∴
到平面的距离，
∴
三棱锥的体积．
【答案】
当＝时，＝，
＝，＝，＝，
所以切线方程为＝，即＝．
当时，，即，
令，
设＝，＝，，
当，，单调递增，
故＝，
所以当，，单调递减函数，
当，，单调递增，
所以＝＝，
所以，即实数的取值范围是．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的最值
【解析】
（1）利用导数求出切线斜率，利用点斜式即可求得切线方程；
（2）将不等式转化为恒成立，令，利用导数求得，从而求得的取值范围．
【解答】
当＝时，＝，
＝，＝，＝，
所以切线方程为＝，即＝．
当时，，即，
令，
设＝，＝，，
当，，单调递增，
故＝，
所以当，，单调递减函数，
当，，单调递增，
所以＝＝，
所以，即实数的取值范围是．
【答案】
由题意可知，＝，＝且，
所以＝，，＝，
所以椭圆方程为；
证明：由（1）知，是椭圆的右顶点，是椭圆的上顶点，
设，则，且，，
所以直线的方程为，
当＝，得．从而，
直线的方程为＝，
令＝，得，从而．
∴
＝＝．
所以为定值．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
（1）由已知即可求出，，，进而可以求解；（2）设出点的坐标，代入椭圆的方程建立等式关系，由此即可求出直线，的斜率，进而可以求出直线，的方程，由此即可求出点，的坐标，从而可以求出的关系式，进而可以求解．
【解答】
由题意可知，＝，＝且，
所以＝，，＝，
所以椭圆方程为；
证明：由（1）知，是椭圆的右顶点，是椭圆的上顶点，
设，则，且，，
所以直线的方程为，
当＝，得．从而，
直线的方程为＝，
令＝，得，从而．
∴
＝＝．
所以为定值．
选考题（10分，二选一）
【答案】
直线的参数方程为（为参数），
消去，可得＝；
曲线的极坐标方程为＝．
由＝，＝，＝，
可得＝，即曲线的直角坐标方程为＝；
将直线的参数方程为（为参数），代入的方程＝，
可得＝，
设，是点，对应的参数值，
＝，＝，则＝＝．
【考点】
圆的极坐标方程
【解析】
（1）由代入法可得直线的普通方程；由极坐标和直角坐标的关系：＝，＝，＝，可得曲线的直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，可得的二次方程，再由参数的几何意义和韦达定理，即可得到所求值．
【解答】
直线的参数方程为（为参数），
消去，可得＝；
曲线的极坐标方程为＝．
由＝，＝，＝，
可得＝，即曲线的直角坐标方程为＝；
将直线的参数方程为（为参数），代入的方程＝，
可得＝，
设，是点，对应的参数值，
＝，＝，则＝＝．
【答案】
当＝时，不等式即为，
等价为或或，
即为或或，
可得原不等式的解集为；
恒成立，即为，
由＝＝，当时，取得等号，
可得，
即为，或，
即，或，
解得或或或，
综上可得的取值范围是．
【考点】
函数恒成立问题
【解析】
（1）由题意可得，由零点分区间和绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；
（2）运用绝对值不等式的性质求得的最小值，可得，再由绝对值不等式的解法，可得所求范围．
【解答】
当＝时，不等式即为，
等价为或或，
即为或或，
可得原不等式的解集为；
恒成立，即为，
由＝＝，当时，取得等号，
可得，
即为，或，
即，或，
解得或或或，
综上可得的取值范围是．
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