2020-2021学年河北省教育集团高二（上）期中数学试卷人教A版（Word含答案解析）

2020-2021学年河北省教育集团高二（上）期中数学试卷
一、选择题（本题1-10题为单选题，11-12为多选题，每小题5分，共60分）
?
1.
已知命题，，则命题的否定为（
）
A.，
B.，
C.，
D.，
?
2.
某公司决定利用随机数表对今年新招聘的名员工进行抽样调查他们对目前工作的满意程度，先将这名员工进行编号，编号分别为，，…，，，从中抽取名进行调查，如下提供随机数表的第行到第行
????????????
????????????
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若从表中第行第列开始向右依次读取个数据，则抽到的第名员工的编号是（
）
A.
B.
C.
D.
?
3.
年被誉为“商用元年”．月，商用牌照正式发放；月，套餐开启预约；月，套餐公布；月，手机强势营销．据统计年网络上与“”相关的信息量总计高达万条．从下面的年全网信息走势图中可以看到，下列哪个选项是错误的（
）
A.相关活动是信息走势的关键性节点
B.月均信息量超过万条
C.第四季度信息量呈直线增长态势
D.月信息量未出现持续下降态势
?
4.
已知椭圆的两个焦点为，，是椭圆上一点，且＝则是（
）
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等边三角形
?
5.
从分别写有号码，，，，的张卡片中随机抽取张，号码记为，放回后再随机抽取张，号码记为，则的概率为（
）
A.
B.
C.
D.
?
6.
已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴，过焦点的直线交抛物线于，两点，线段的长为，且的中点到轴的距离为，则抛物线的标准方程为（
）
A.
B.
C.
D.
?
7.
设命题：双曲线：的离心率，则的一个充分不必要条件是（
）
A.或
B.
C.
D.
?
8.
已知下列说法：
①如果数据，，…，的平均数是，方差是，则，，…，的平均数和方差分别是和；
②若事件、互为对立事件，则事件、满足；
③互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件；
④至少有一个样本点落在回归直线上；
⑤对于回归方程，变量增加一个单位，大约减少个单位．
其中错误的结论有几个（
）
A.
B.
C.
D.
?
9.
省实验中学为预防秋季流感爆发，计划安排学生在校内进行常规体检，共有个检查项目，需要安排在间空教室进行检查，学校现有一排间的空教室供选择使用，但是为了避免学生拥挤，要求作为检查项目的教室不能相邻，则共有（
）种安排方式．
A.
B.
C.
D.
?
10.
已知定点，是双曲线的右焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
?
11.
已知展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大，则下列结论正确的为
A.展开式中偶数项的二项式系数之和为
B.展开式中二项式系数最大的项只有第三项
C.展开式中系数最大的项只有第五项
D.展开式中有理项为第三项、第六项
?
12.
阿基米德（公元前年-公元前年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他研究抛物线的求积法，得出一个著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号．抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”，如图所示，在抛物线上有两个不同的点，，坐标分别为，，以，为切点的切线，相交于点，给出以下结论，其中正确的为（
）
A.点的坐标是
B.的边所在的直线方程为：
C.的面积为
D.的边上的中线平行（或重合）?于轴
二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
?
已知双曲线的离心率，则其渐近线方程为________．
?
现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方案有________种．（用数字作答）
?
，则________．
?
在平面直角坐标系中，已知抛物线的准线与双曲线的渐近线分别交于，两点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为________．
三、解答题（本题共6个小题，17题10分，18-22每题12分，共70分）
?
已知命题，不等式恒成立；命题：方程表示焦点在轴上的椭圆．
Ⅰ若，￢为假命题，求的取值范围；
Ⅱ若￢是￢的充分不必要条件，求实数的取值范围．
?
年月日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，此法典被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法．民法典与百姓生活密切相关，某高校为了解学生对民法典的认识程度，随机抽取名学生进行测试，将其成绩分为六段,,,,,，得到如图所示的频率分布直方图．
Ⅰ求图中的值及样本的中位数；如果抽查的测试平均分超过分，就表示该学校通过测试，试判断该校能否通过测试；
Ⅱ若从测试成绩在与两个分数段的学生中随机选取两名学生，设这两名学生的测试成绩之差的绝对值不大于分为事件，求事件发生的概率．
?
已知椭圆经过点，其左焦点的坐标为．过的直线交椭圆于，两点．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ当线段的中点的横坐标为时，求直线的方程．
?
某工厂新研发了一种产品，该产品每件成本为元，将该产品按事先拟定的价格进行销售，得到如下数据：
单价（元）
销量（件）
（1）求销量（件）关于单价（元）的线性回归方程；
（2）若单价定为元，估计销量为多少件；
（3）根据销量关于单价的线性回归方程，要使利润最大，应将价格定为多少？
参考公式：，．参考数据：，
?
已知直线与抛物线相切于点．
Ⅰ求抛物线的方程及点的坐标；
Ⅱ设直线，过点，且与抛物线交于（异于点）两个不同的点、，直线，的斜率分别为、，那么是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
?
已知椭圆的左、右焦点为、，为椭圆上的任一点，且面积的最大值的取值范围是．
Ⅰ求椭圆的离心率的取值范围；
Ⅱ当椭圆经过点离心率取最小值时，经过右焦点的直线（不经过点）与椭圆交于两点和，线段的垂直平分线与轴交于点，当点的纵坐标的取值范围是，求线段长的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省教育集团高二（上）期中数学试卷
一、选择题（本题1-10题为单选题，11-12为多选题，每小题5分，共60分）
1.
【答案】
D
【考点】
命题的否定
【解析】
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】
命题为全称命题，则命题的否定为：，．
2.
【答案】
A
【考点】
简单随机抽样
【解析】
根据随机数表法，抽取，重复和不在的舍弃，得到结论
【解答】
依次读取的数据为，，，（超过，舍去），
，（与前面重复，舍去），，…，
所以抽到的第名员工的编号是，
3.
【答案】
B
【考点】
进行简单的合情推理
【解析】
根据所给统计图，利用排除法可得答案
【解答】
由题知月、月、月、月活动月的走势均有明显提升，故相关活动是信息走势的关键性节点，即正确；
由统计图可知第四季度信息量呈直线增长态势，月信息量未出现持续下降态势，故正确；
4.
【答案】
B
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
由椭圆的定义知，＝，＝，又由＝可知，＝．
【解答】
由题意，
＝，＝，
∵
＝，
∴
，，
∴
＝，
5.
【答案】
C
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
先求出基本事件总数，再求出满足的基本事件个数，利用古典概型的概率公式即可求解．
【解答】
从分别写有号码，，，，的张卡片中随机抽取张，号码记为，放回后再随机抽取张，号码记为，
基本事件总数为，
满足的基本事件有：，，，，，，
，，，，，，，，共个，
所以的概率为，
6.
【答案】
B
【考点】
抛物线的性质
抛物线的标准方程
【解析】
设抛物线的方程为，由抛物线的定义和已知条件可得的方程，解可得；
【解答】
设抛物线的方程为，
设，，
由抛物线定义可知，
又中点到轴的距离为，
∴
，∴
，
∴
抛物线的标准方程是；
7.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
利用双曲线的离心率的范围求出的范围，然后通过充要条件求解即可．
【解答】
双曲线：的离心率，所以，
可得，
即，解得，又，当且仅当时，取等号，
命题：双曲线：的离心率，则的一个充分不必要条件是：．
8.
【答案】
C
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
根据平均数，方差判断①，根据对立事件和互斥事件判断②③，根据线性回归方程判断④⑤．
【解答】
对于①如果数据，，…，的平均数是，方差是，
则，，…，的平均数和方差分别是和，故①错误；
对于②若事件、互为对立事件，则事件、满足，故②正确；
对于③互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件，故③错误；
对于④样本中心一定在回归直线上，但是样本点不一定落在回归直线上，故④错误；
对于⑤回归方程，变量增加一个单位，大约减少个单位，故⑤正确．
故结论错误的有个，
9.
【答案】
B
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
根据题意，假设间教室依次为、、、、、，分步进行讨论：①，在间教室中选出间不相邻的教室，由，，，，共种选法，②，在三间选出的教室安排个检查项目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】
根据题意，假设间教室依次为、、、、、，分步进行讨论：
①，在间教室中选出间不相邻的教室，由，，，，共种选法，
②，在三间选出的教室安排个检查项目，有种情况，
则有种安排方法，
10.
【答案】
C
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
设双曲线左焦点为，根据双曲线的定义可知，进而可知当、、三点共线时有最小值，根据双曲线方程可求的坐标，此时，利用两点间的距离公式求得答案．
【解答】
设双曲线的左焦点为，
由双曲线的定义可得，
即，
则，
当、、三点共线时，有最小值，
此时、，
则，
而对于这个双曲线，，
所以最小值为．
11.
【答案】
C,D
【考点】
二项式系数的性质
二项式定理的应用
二项展开式的特定项与特定系数
【解析】
由题意利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】
解：∵
展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大，
∴
，求得，
∴
，故展开式中偶数项的二项式系数之和为，故错误；
二项展开式的通项公式为，
故当或时，二项式系数最大，故错误；
故当时，展开式中第项的系数最大，即第五项的系数最大，故正确；
故当或时，为整数，即第三项、第六项为有理项，故正确．
故选.
12.
【答案】
A,B,D
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
写出点处的切线方程，同理得点处的切线方程，联立解得坐标，进而可得正确．由坐标求出，再写出直线的方程，进而得正确，写出点到直线的距离，由弦长公式得，进而得，然后可判断错误．
【解答】
由，得，
由题意，点处的切线方程为，
点处的切线方程为，
联立两个方程并消去得，
代入点处的切线方程得，
所以点坐标为，故正确，
设直线的斜率为，则，
故直线的方程为，
化简得，故正确，
由得点到直线的距离，
，
故，
故错误．
二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
【答案】
【考点】
双曲线的特性
【解析】
根据双曲线离心率为，列出关于、的方程，解之得，由双曲线渐近方程的公式可得到该双曲线的渐近线方程．
【解答】
解：∵
双曲线的方程是，
∴
双曲线渐近线为
又∵
离心率为，可得
∴
，即，可得
由此可得双曲线渐近线为
故答案为：
【答案】
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
根据题意，假设正五角星的区域依次为、、、、、，依次分析个区域的涂色方案数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】
根据题意，假设正五角星的区域依次为、、、、、，
区域，可以涂红、黄、蓝三种颜色，有种选择，
剩下的个区域都与相邻，都有种选择，
则有种涂色方法，
【答案】
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
解由，可得：，，，，，，．令，即可得出．
【解答】
由，可得：，，，，，，．
令，可得．
【答案】
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
先求出抛物线的准线方程以及双曲线的渐近线方程，然后再求出，的坐标，进而可以求出，，的长度，利用三角形的面积关系即可求解．
【解答】
由已知可得抛物线的准线方程为：，
双曲线的渐近线方程分别为：和，
因为抛物线的准线和双曲线的渐近线相交，不妨设，则，
所以，，
由三角形的面积关系可得：，
解得，则，
所以双曲线的离心率为，
三、解答题（本题共6个小题，17题10分，18-22每题12分，共70分）
【答案】
∵
命题，不等式恒成立，
即，解得：或，
故为真时，；
方程表示焦点在轴上的椭圆，
故为真时，；
（1）时，为真时：，
∵
￢为假命题，
∴
￢假且假，即真且假，
则，即．
（2）若￢是￢的充分不必要条件，即是的充分不必要条件，
?，
∴
；
故实数的取值范围是：．
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
复合命题及其真假判断
【解析】
根据题意，化简命题，，得出的取值范围：
Ⅰ由￢为假命题，故为真命题为假命题，求出的取值范围即可；
Ⅱ若￢是￢的充分不必要条件，即是的充分不必要条件，即?，解出即可．
【解答】
∵
命题，不等式恒成立，
即，解得：或，
故为真时，；
方程表示焦点在轴上的椭圆，
故为真时，；
（1）时，为真时：，
∵
￢为假命题，
∴
￢假且假，即真且假，
则，即．
（2）若￢是￢的充分不必要条件，即是的充分不必要条件，
?，
∴
；
故实数的取值范围是：．
【答案】
（1）由频率分布直方图得：
．
解得．
∵
的频率为：，
的频率为：，
∴
中位数为．
抽查的测试平均分为：
，
∵
，∴
该校能通过测试．
（2）从测试成绩在与两个分数段的学生中随机选取两名学生，
成绩在中有名学生，
成绩在中有名学生，
则基本事件总数，
设这两名学生的测试成绩之差的绝对值不大于分为事件，
则事件包含的基本事件个数，
∴
事件发生的概率．
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
频率分布直方图
【解析】
Ⅰ由频率分布直方图列出方程，求出的值．由此能求出抽查的测试的中位数和平均分，进而得到该校能通过测试．
Ⅱ从测试成绩在中有名学生，成绩在中名学生，则基本事件总数，事件包含的基本事件个数，由此能求出事件发生的概率．
【解答】
（1）由频率分布直方图得：
．
解得．
∵
的频率为：，
的频率为：，
∴
中位数为．
抽查的测试平均分为：
，
∵
，∴
该校能通过测试．
（2）从测试成绩在与两个分数段的学生中随机选取两名学生，
成绩在中有名学生，
成绩在中有名学生，
则基本事件总数，
设这两名学生的测试成绩之差的绝对值不大于分为事件，
则事件包含的基本事件个数，
∴
事件发生的概率．
【答案】
由已知可得，所以…①
把点代入椭圆方程可得：…②
①②联立可得：，，
所以椭圆的标准方程为：；
（2）由已知可得直线的斜率存在，则可设直线的方程为：，
联立方程：，消去可得：，
设，，
则由韦达定理可得：，又由已知可得：，
解得，
所以直线的方程为：，即．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
（1）由已知可得的值，再把已知点代入椭圆方程即可求解；
（2）先设出直线的方程，再与椭圆方程联立，求出，的横坐标的和，由此可得的中点的横坐标，再结合已知即可求解．
【解答】
由已知可得，所以…①
把点代入椭圆方程可得：…②
①②联立可得：，，
所以椭圆的标准方程为：；
（2）由已知可得直线的斜率存在，则可设直线的方程为：，
联立方程：，消去可得：，
设，，
则由韦达定理可得：，又由已知可得：，
解得，
所以直线的方程为：，即．
【答案】
由题意可得，
，
则，
从而，
故所求回归直线方程为；
当＝时，，
故当销售单价定为元时，销量为件；
由题意可得，＝＝＝．
故要使利润达到最大，应将价格定位元．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
（1）由已知求得与的值，则线性回归方程可求；
（2）在（1）中求得的线性回归方程中取＝求得值即可；
（3）写出利润关于价格的函数，再由配方法求最值．
【解答】
由题意可得，
，
则，
从而，
故所求回归直线方程为；
当＝时，，
故当销售单价定为元时，销量为件；
由题意可得，＝＝＝．
故要使利润达到最大，应将价格定位元．
【答案】
（1）直线与抛物线相切于点．
所以联立，得有两个相等的实数根，
所以，解得，
方程，即为，解得，
把代入得，，所以
所以抛物线方程为：．
（2）设直线方程为：，
，，
联立，得，
，，
，解得或，
，
同理得，
．
【考点】
直线与抛物线的位置关系
【解析】
Ⅰ根据题意，联立，得有两个相等的实数根，即，解得，进而可得抛物线方程及切点坐标．
Ⅱ设直线方程为：，，，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理得，，
，同理得，化简即可得出答案．
【解答】
（1）直线与抛物线相切于点．
所以联立，得有两个相等的实数根，
所以，解得，
方程，即为，解得，
把代入得，，所以
所以抛物线方程为：．
（2）设直线方程为：，
，，
联立，得，
，，
，解得或，
，
同理得，
．
【答案】
（1）由焦点三角形的性质可知当在轴上时，三角形的面积最大，
则，所以，
即，则，所以，
即，
故椭圆的离心率的取值范围为；
（2）由（1）知，椭圆的离心率的最小值为，所以，即，
所以，则此时椭圆方程可化为，
代入点可得：，解得，所以，，
所以椭圆的标准方程为，
由已知条件可得直线的斜率存在且不为，
可设直线的方程为，
联立方程组，消去整理可得：，
设，，所以，
所以，
所以的中点的坐标为，
所以线段的垂直平分线的方程为，
即，故点的坐标为，
由点的纵坐标的取值范围为，可得，
解得或，
所以
，
因为或，
所以或，
由此可得．
【考点】
直线与椭圆的位置关系
椭圆的离心率
椭圆的应用
【解析】
（1）利用椭圆中焦点三角形的性质可得当在轴上时面积最大，由此可求出三角形的面积的表达式，进而可以求解；
（2）由（1）的结论以及已知可求出椭圆的标准方程，然后设直线的方程并与椭圆方程联立，写出根与系数的关系式，然后利用弦长公式求出的长度，
再求出线段的垂直平分线方程，求出的纵坐标，根据已知求出直线的斜率的范围，进而可以求出的范围．
【解答】
（1）由焦点三角形的性质可知当在轴上时，三角形的面积最大，
则，所以，
即，则，所以，
即，
故椭圆的离心率的取值范围为；
（2）由（1）知，椭圆的离心率的最小值为，所以，即，
所以，则此时椭圆方程可化为，
代入点可得：，解得，所以，，
所以椭圆的标准方程为，
由已知条件可得直线的斜率存在且不为，
可设直线的方程为，
联立方程组，消去整理可得：，
设，，所以，
所以，
所以的中点的坐标为，
所以线段的垂直平分线的方程为，
即，故点的坐标为，
由点的纵坐标的取值范围为，可得，
解得或，
所以
，
因为或，
所以或，
由此可得．
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