2020-2021学年河南省郑州市高二（上）期中考试数学（理）试卷人教A版（Word含解析）

2020-2021学年河南省郑州市高二（上）期中考试数学（理）试卷
一、选择题
?
1.
命题“若，则”的否命题是(?
?
?
?
)
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
?
2.
已知中，角，的对边为，，，，，则等于(?
?
?
?
)
A.或
B.或
C.
D.
?
3.
已知，则不等式的解集为?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
?
4.
在中，角，，所对的边分别为，，，且．若，则的形状是(?
?
?
?
)
A.等腰且非等边三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
?
5.
已知等比数列的前项和为
，如表给出了的部分数据：
那么数列?的第四项等于(?
?
?
?
)
A.
B.
C.或
D.或
?
6.
设变量，满足约束条件
则的最大值为（????????）
A.
B.
C.
D.
?
7.
下列说法中，一定成立的是（
）
A.若，，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
?
8.
若，为实数，则""是“"的（????????）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
?
9.
如图是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图中的直角三角形继续作下去，记，，，的长度构成数列，则此数列的通项公式为(?
?
?
?
)
A.，
B.，
C.，
D.，
?
10.
给出下列结论：
①在中，
；
②常数列既是等差数列又是等比数列；
③数列
的通项公式为
，若为递增数列，则；
④的内角，，满足，则为锐角三角形．
其中正确结论的个数为（????????）
A.
B.
C.
D.
?
11.
已知的三边，，成等比数列，，，所对的角依次为，，，则的取值范围是(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
12.
首项为正数，公差不为的等差数列，其前项和为，现有下列个命题，其中正确的命题的个数是(?
?
?
?
)
①若，则；
②若，则使的最大的为；
③若，，则中最大；
④若，则.
A.个
B.个
C.个
D.个
二、填空题
?
若实数
，
且，则的最小值为________.
三、解答题
?
已知，，其中．
若，且为真，求的取值范围；
若￢是￢的充分不必要条件，求实数的取值范围．
?
在公比大于的等比数列中，已知，且成等差数列．
求的通项公式；
已知，试问当为何值时，取得最大值，并求的最大值．
?
的内角，，的对边分别是，，，已知．
求角；
若，的面积为，求的周长．
?
已知函数的定义域为．
求的取值范围．
若函数的最小值为，解关于的不等式．
?
十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作．该地区有户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为万元．为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事水果加工的农民平均每户收入将为万元．
若动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求的取值范围；
在的条件下，要使这户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求的最大值．
?
已知各项均为正数的数列的前项和为，首项为，且，
，成等差数列．
判断数列是否为等比数列？若是，写出通项公式；若不是，请说明理由；
若
设
求数列的前项和；
若不等式对一切正整数恒成立，求实数的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省郑州市高二（上）期中考试数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
四种命题的定义
【解析】
根据命题“若，则”的否命题是“若，则”，写出即可．
【解答】
解：根据命题“若，则”的否命题是“若，则”，可知：
命题“若，则”的否命题是若“，则”.
故选．
2.
【答案】
C
【考点】
正弦定理
【解析】
利用正弦定理列出关系式，将，，的值代入求出的值，即可确定出的度数．
【解答】
解：在中，，，，
由正弦定理：，
可得，
∵
，
∴
，
∴
．
故选．
3.
【答案】
C
【考点】
一元二次不等式的解法
【解析】
根据得出，求不等式的解集即可．
【解答】
解：∵
，
∴
.
不等式可化为，
解得或；
∴
不等式的解集为．
故选．
4.
【答案】
C
【考点】
余弦定理
正弦定理
三角形的形状判断
【解析】
，利用余弦定理可得，可得．由，利正弦定理可得：，代入，可得．
【解答】
解：在中，∵
，
∴
，
∵
，∴
．
∵
，
∴
，
代入，∴
，解得．
∴
的形状是等边三角形．
故选.
5.
【答案】
B
【考点】
等比数列的通项公式
【解析】
由题意得等比数列中，??
且，由此求出公式，从而能求出结果．
【解答】
解：由题意得等比数列中，
?且，
，
解得，
∴
.
故选.
6.
【答案】
B
【考点】
求线性目标函数的最值
【解析】
作出可行域，利用目标函数的几何意义求解即可.
【解答】
解：作出变量满足约束条件??对应的平面区域如图：
由?得，
平移直线，
当直线经过点时，直线在轴上的截距最小，此时最大，
由
，解得，
此时的最大值为?，
则的最大值为：.
故选．
7.
【答案】
D
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
利用特殊值代入法排除、、，利用不等式的基本性质，可得?，从而得到?，从而得出结论．
【解答】
解：，不妨令，，，，满足，，但不满足，故排除；
，不妨令，，满足，但不满足，故排除；
，不妨令，，满足，但不满足?，故排除；
，若，则，即?，∴
，故正确.
故选.
8.
【答案】
D
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
利用特值即可判断其充分性与必要性均不成立即可得解.
【解答】
解：当，?时，满足?，但不成立，即充分性不成立；
当，时，满足
，但不成立，即必要性不成立；
则“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选．
9.
【答案】
C
【考点】
等差数列的通项公式
数列递推式
归纳推理
等差关系的确定
【解析】
先归纳基本规律，再由数列知识求解．
【解答】
解：根据题意：，
∴
，
∴
是以为首项，以为公差的等差数列，
∴
，
∴
，.
故选.
10.
【答案】
B
【考点】
命题的真假判断与应用
正弦定理
数列的概念及简单表示法
数列的函数特性
三角形的形状判断
【解析】
可通过相关定理或者举反例的方式逐项判定即可.
【解答】
解：对于①，在中，有?，
由此可以判定，故①正确；
对于②，常数列是等差数列不是等比数列，故②错；
对于③，数列?的通项公式为?，则?，
?，
为递增数列，则，对于任意都成立，
即，即，
只需小于的最小值即可，
易知当时，的最小值为，
故
，故③错；
对于④，在中，满足
则，
∴
为钝角三角形，故④错．
其中正确结论的个数为：.
故选.
11.
【答案】
C
【考点】
余弦定理
等比数列的性质
基本不等式在最值问题中的应用
两角和与差的正弦公式
【解析】
运用等比数列的中项定义和余弦定理，结合基本不等式可得的范围，进而得到的范围，再由两角和的正弦公式，结合正弦函数的图象和性质，可得所求范围．
【解答】
解：由的三边，，成等比数列，可得：
，
得，
由，
故，
可得，
由，
可得，
则．
故选.
12.
【答案】
B
【考点】
命题的真假判断与应用
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
等差数列的性质
【解析】
利用等差数列的求和公式以及等差数列的性质判断选项的正误即可．
【解答】
解：①若，则，
则，即，
则，不正确；
②若，则，
即.
由于，则，，
则有，，
故使的最大的为，正确；
③若，，
则，，
则有，，
则中最大，正确；
④若，即，
而，不能确定其符号，不正确.
故选.
二、填空题
【答案】
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
利用基本不等式求解即可.
【解答】
解：由题意可得，
则
，
当且仅当“，”时，等号成立.
故答案为：
.
三、解答题
【答案】
解：由，解得，
所以；
又，其中，解得，
所以．
当时，，
又为真，，都为真，
所以，
故的取值范围为.
由是的充分不必要条件，即，，
其逆否命题为，，
由知，，，
所以解得：，
故实数取值范围为.
【考点】
逻辑联结词“或”“且”“非”
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
（1）分别解出关于，的不等式，根据为真，，都为真，求出的范围即可；
（2）由是的充分不必要条件，即，其逆否命题为，求出的范围即可．
【解答】
解：由，解得，
所以；
又，其中，解得，
所以．
当时，，
又为真，，都为真，
所以，
故的取值范围为.
由是的充分不必要条件，即，，
其逆否命题为，，
由知，，，
所以解得：，
故实数取值范围为.
【答案】
解：设的公比为，
由，
得
因为成等差数列，
所以，
则，
解得．
所以.
，
当或时，取得最大值，此时最大值为.
【考点】
等比数列的性质
等比数列的通项公式
等差数列的前n项和
等差数列的性质
【解析】
未提供解析
未提供解析
【解答】
解：设的公比为，
由，
得
因为成等差数列，
所以，
则，
解得．
所以.
，
当或时，取得最大值，此时最大值为.
【答案】
解：∵
，
∴
由正弦定理可得，
∵
，
∴
，即，
∵
，，
∴
，
∴
，可得.
∵
，，
的面积为，
∴
解得，
又∵
由余弦定理，
可得，
∴
解得，
∴
的周长为.
【考点】
正弦定理
二倍角的余弦公式
余弦定理
解三角形
【解析】
（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合的范围即可求解．
（2）由已知利用三角形的面积公式可求解得＝，进而根据余弦定理可求＝，即可得解的周长．
【解答】
解：∵
，
∴
由正弦定理可得，
∵
，
∴
，即，
∵
，，
∴
，
∴
，可得.
∵
，，
的面积为，
∴
解得，
又∵
由余弦定理，
可得，
∴
解得，
∴
的周长为.
【答案】
解：函数的定义域为，
∴
恒成立，
当时，恒成立，满足题意；
当时，须
即
解得；
综上，的取值范围是；
∵
函数的最小值为，
∴
，；
∴
；
当时，不满足条件；
当时，的最小值是，∴
；
∴
不等式可化为，
解得；
∴
不等式的解集是．
【考点】
一元二次不等式的解法
函数的定义域及其求法
【解析】
（1）由函数的定义域是，得出恒成立，求出的取值范围；
（2）由题意得的最小值是，求出的值，代入不等式，求解集即可．
【解答】
解：函数的定义域为，
∴
恒成立，
当时，恒成立，满足题意；
当时，须
即
解得；
综上，的取值范围是；
∵
函数的最小值为，
∴
，；
∴
；
当时，不满足条件；
当时，的最小值是，∴
；
∴
不等式可化为，
解得；
∴
不等式的解集是．
【答案】
解：动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，
则，
解得.
由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，
则，
化简得，
由于，
当且仅当，
即时等号成立，
所以所以的最大值为
【考点】
根据实际问题选择函数类型
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
?
?
【解答】
解：动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，
则，
解得.
由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，
则，
化简得，
由于，
当且仅当，
即时等号成立，
所以所以的最大值为
【答案】
解：各项均为正数的数列的前项和为，首项为，且?成等差数列，
则①，
当时，解得，
当时，②，
①②得，
整理得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
故.
由于，
所以，
由于
则，
所以①
②
①②得：，
，
故．
设，
则：，
当，，时，，，，
当时，，
故的最大值为，
不等式对一切正整数恒成立，
只需即可，
故，
解得或
所以的取值范围是或.
【考点】
等比数列的性质
数列递推式
数列的求和
数列与不等式的综合
【解析】
?
?
?
【解答】
解：各项均为正数的数列的前项和为，首项为，且?成等差数列，
则①，
当时，解得，
当时，②，
①②得，
整理得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
故.
由于，
所以，
由于
则，
所以①
②
①②得：，
，
故．
设，
则：，
当，，时，，，，
当时，，
故的最大值为，
不等式对一切正整数恒成立，
只需即可，
故，
解得或
所以的取值范围是或.
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