数学人教A版（2019）必修第二册 6.1平面向量的概念（教案）

平面向量的概念
【教学重难点】
【教学目标】
【核心素养】
平面向量的相关概念
了解平面向量的实际背景，理解平面向量的相关概念
数学抽象
平面向量的几何表示
掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念
数学抽象
相等向量与共线向量
理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念
数学抽象、逻辑推理
【教学过程】
一、问题导入
预习教材P2－P4的内容，思考以下问题：
1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？
2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？
3．两个向量（向量的模）能否比较大小？
4．如何判断相等向量或共线向量？向量与向量是相等向量吗？
二、新知探究
1．向量的相关概念
例1：给出下列命题：
①若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
②在?ABCD中，一定有＝；
③若a＝b，b＝c，则a＝c．
其中所有正确命题的序号为________．
解析：＝，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故①不正确；在?ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，故＝，故②正确；a＝b，则|a|＝|b|，且a与b的方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c的方向相同，则a与c长度相等且方向相同，故a＝c，故③正确．
答案：②③
教师小结
（1）判断一个量是否为向量的两个关键条件
①有大小；②有方向．两个条件缺一不可．
（2）理解零向量和单位向量应注意的问题
①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；
②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．
2．向量的表示
例2：在如图所示的坐标纸上（每个小方格的边长为1），用直尺和圆规画出下列向量：
（1），使||＝4，点A在点O北偏东45°方向上；
（2），使||＝4，点B在点A正东方向上；
（3），使||＝6，点C在点B北偏东30°方向上．
解：（1）由于点A在点O北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量，如图所示．
（2）由于点B在点A正东方向上，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量，如图所示．
（3）由于点C在点B北偏东30°方向上，且||＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C的位置可以确定，画出向量，如图所示．
教师小结：
用有向线段表示向量的步骤
3．共线向量与相等向量
例3：如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，在每两点所确定的向量中．
（1）与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
（2）与a共线的向量有哪些？
解：（1）与a的长度相等、方向相反的向量有，，，．
（2）与a共线的向量有，，，，，，，，．
互动探究：
（1）变条件、变问法：本例中若＝c，其他条件不变，试分别写出与a，b，c相等的向量．
解：与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，．
（2）变问法：本例条件不变，与共线的向量有哪些？
解：与共线的向量有，，，，，，，，．
教师小结
共线向量与相等向量的判断
（1）如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量．
（2）共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．
（3）非零向量的共线具有传递性，即向量a，b，c为非零向量，若a∥b，b∥c，则可推出a∥c．
注意：对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．
【课堂总结】
1．向量的概念及表示
（1）概念：既有大小又有方向的量．
（2）有向线段
①定义：具有方向的线段．
②三个要素：起点、方向、长度．
③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作．
④长度：线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||．
（3）向量的表示
2．向量的有关概念
（1）向量的模（长度）：向量的大小，称为向量的长度（或称模），记作||．
（2）零向量：长度为0的向量，记作0．
（3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
3．两个向量间的关系
（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a，b是平行向量，记作a∥b．
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a．
（2）相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a，b是相等向量，记作a＝b．
■名师点拨
（1）平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．
（2）共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．
（3）平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．
【课堂检测】
1．如图，在?ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与平行的向量的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选C．图中与平行的向量为，，共3个．
2．下列结论中正确的是（
）
①若a∥b且|a|＝|b|，则a＝b；
②若a＝b，则a∥b且|a|＝|b|；
③若a与b方向相同且|a|＝|b|，则a＝b；
④若a≠b，则a与b方向相反且|a|≠|b|．
A．①③
B．②③
C．③④
D．②④
解析：选B．两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，a，b可能反向；②③正确；④两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等．
3．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：
（1）与相等的向量；
（2）与长度相等的向量；
（3）与共线的向量．
解：画出图形，如图所示．
（1）易知BC∥AD，BC＝AD，
所以与相等的向量为．
（2）由O是正方形ABCD对角线的交点知OB＝OD＝OA＝OC，
所以与长度相等的向量为，，，，，，．
（3）与共线的向量为，，．
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