数学人教A版（2019）必修第二册 8.6空间直线、平面的垂直（教案）

空间直线、平面的垂直
【第一课时】
【教学目标】
1．会用两条异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线所成的角，会在三角形中求简单的异面直线所成的角
2．理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性
3．掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题
【教学重难点】
1．异面直线所成的角
2．直线与平面垂直的定义
3．直线与平面垂直的判定定理
【核心素养】
1．直观想象、逻辑推理、数学运算
2．直观想象
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．异面直线所成的角的定义是什么？
2．异面直线所成的角的范围是什么？
3．异面直线垂直的定理是什么？
4．直线与平面垂直的定义是什么？
5．直线与平面垂直的判定定理是什么？
二、基础知识
1．异面直线所成的角
（1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．
（2）垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b．
（3）范围：设θ为异面直线a与b所成的角，则0°<θ≤90°．
[名师点拨]
当两条直线a，b相互平行时，规定它们所成的角为0°．所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°．注意与异面直线所成的角的范围的区别．
2．直线与平面垂直
定义
一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
l⊥α
有关
概念
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足
图示
及画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
名师点拨
（1）直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．
（2）注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．
3．直线与平面垂直的判定定理
文字
语言
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
图形
语言
符号
语言
l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α
名师点拨
判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．
三、合作探究
异面直线所成的角
如图，在正方体ABCD?EFGH中，O为侧面ADHE的中心．
求：（1）BE与CG所成的角；
（2）FO与BD所成的角．
【解】（1）如图，因为CG∥BF．
所以∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CG所成的角，
又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°．
（2）连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．
所以HF∥BD，所以∠HFO（或其补角）为异面直线FO与BD所成的角．
连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，
所以△AFH为等边三角形，
又知O为AH的中点，
所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°．
1．[变条件]在本例正方体中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD所成的角．
解：连接EG，HF，则P为HF的中点，连接AF，AH，OP∥AF，又CD∥AB，
所以∠BAF（或其补角）为异面直线OP与CD所成的角，由于△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°，故OP与CD所成的角为45°．
2．[变条件]在本例正方体中，若M，N分别是BF，CG的中点，且AG和BN所成的角为39．2°，求AM和BN所成的角．
解：连接MG，因为BCGF是正方形，所以BFCG，因为M，N分别是BF，CG的中点，所以BMNG，所以四边形BNGM是平行四边形，所以BN∥MG，所以∠AGM（或其补角）是异面直线AG和BN所成的角，∠AMG（或其补角）是异面直线AM和BN所成的角，因为AM＝MG，所以∠AGM＝∠MAG＝39．2°，所以∠AMG＝101．6°，所以AM和BN所成的角为78．4°．
[规律方法]
求异面直线所成的角的步骤
（1）找出（或作出）适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．
（2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．
（3）结论——设由（2）所求得的角的大小为θ．若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ<180°，则180°－θ为所求．
[提醒]求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°．
直线与平面垂直的定义
（1）直线l⊥平面α，直线m?α，则l与m不可能（）
A．平行
．相交
C．异面
．垂直
（2）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）
A．若l⊥m，m?α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m?α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m
【解析】（1）因为直线l⊥平面α，所以l与α相交．
又因为m?α，所以l与m相交或异面．
由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m．
故l与m不可能平行．
（2）对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因为l⊥α，则l垂直于α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面．
【答案】（1）A（2）B
[规律方法]
对线面垂直定义的理解
（1）直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．
（2）由定义可得线面垂直?线线垂直，即若a⊥α，b?α，则a⊥b．
直线与平面垂直的判定
如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F．
（1）求证：PC⊥平面AEF；
（2）设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD．
【证明】（1）因为PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PA⊥BC．
又AB⊥BC，PA∩AB＝A，
所以BC⊥平面PAB，AE?平面PAB，
所以AE⊥BC．又AE⊥PB，PB∩BC＝B，
所以AE⊥平面PBC，PC?平面PBC，
所以AE⊥PC．
又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，
所以PC⊥平面AEF．
（2）由（1）知PC⊥平面AEF，又AG?平面AEF，
所以PC⊥AG，
同理CD⊥平面PAD，AG?平面PAD，
所以CD⊥AG，又PC∩CD＝C，
所以AG⊥平面PCD，PD?平面PCD，
所以AG⊥PD．
1．[变条件]在本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH．
证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，
又PA⊥平面ABCD，
BD?平面ABCD，
所以BD⊥PA，
因为PA∩AC＝A，
所以BD⊥平面PAC，又FH?平面PAC，
所以BD⊥FH．
2．[变条件]若本例中PA＝AD，G是PD的中点，其他条件不变，求证：PC⊥平面AFG．
证明：因为PA⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，所以DC⊥PA，
又因为ABCD是矩形，所以DC⊥AD，又PA∩AD＝A，
所以DC⊥平面PAD，又AG?平面PAD，
所以AG⊥DC，
因为PA＝AD，G是PD的中点，
所以AG⊥PD，又DC∩PD＝D，
所以AG⊥平面PCD，所以PC⊥AG，
又因为PC⊥AF，AG∩AF＝A，
所以PC⊥平面AFG．
3．[变条件]本例中的条件“AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F”，改为“E，F分别是AB，PC的中点，PA＝AD”，其他条件不变，求证：EF⊥平面PCD．
证明：取PD的中点G，连接AG，FG．
因为G，F分别是PD，PC的中点，
所以GFCD，又AECD，所以GFAE，
所以四边形AEFG是平行四边形，所以AG∥EF．
因为PA＝AD，G是PD的中点，
所以AG⊥PD，所以EF⊥PD，
易知CD⊥平面PAD，AG?平面PAD，
所以CD⊥AG，所以EF⊥CD．
因为PD∩CD＝D，所以EF⊥平面PCD．
（1）线线垂直和线面垂直的相互转化
（2）证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义．
②线面垂直的判定定理．
③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
[提醒]要证明两条直线垂直（无论它们是异面还是共面），通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面．
【课堂检测】
1．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是（）
A．a⊥b，且a与b相交
B．a⊥b，且a与b不相交
C．a⊥b
D．a与b不一定垂直
解析：选C．过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，则b∥c．因为直线a⊥平面α，c?α，所以a⊥c．因为b∥c，所以a⊥b．当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直．
2．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是（）
A．平面DD1C1C
B．平面A1DB1
C．平面A1B1C1D1
D．平面A1DB
解析：选B．因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，所以AD1⊥平面A1DB1．
3．空间四边形的四边相等，那么它的对角线（）
A．相交且垂直
B．不相交也不垂直
C．相交不垂直
D．不相交但垂直
解析：选D．如图，空间四边形ABCD，假设AC与BD相交，则它们共面α，从而四点A，B，C，D都在α内，这与ABCD为空间四边形矛盾，所以AC与BD不相交；取BD的中点O，连接OA与OC，因为AB＝AD＝DC＝BC，所以AO⊥BD，OC⊥BD，从而可知BD⊥平面AOC，故AC⊥BD．
4．已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直线，b平行于边AC所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a，b所成的角为________．
解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知异面直线a，b所成的角为∠BAC的补角，所以直线a，b所成的角为60°．
答案：60°
【第二课时】
【教学目标】
1．了解直线和平面所成的角的含义，并知道其求法
2．理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用线面垂直的性质定理解决有关的垂直问题
【教学重难点】
1．直线与平面所成的角
2．直线与平面垂直的性质
【核心素养】
1．直观想象、逻辑推理、数学运算
2．直观想象、逻辑推理
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．直线与平面所成的角的定义是什么？
2．直线与平面所成的角的范围是什么？
3．直线与平面垂直的性质定理的内容是什么？
4．如何求直线到平面的距离？
5．如何求两个平行平面间的距离？
二、基础知识
1．直线与平面所成的角
（1）定义：如图，一条直线PA和一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
（2）规定：一条直线垂直于平面，称它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，称它们所成的角是0°．
（3）范围：直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°．
名师点拨
把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．
?2．直线与平面垂直的性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
?a∥b
图形语言
作用
①线面垂直?线线平行
②作平行线
名师点拨
（1）直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．
（2）定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．
?3．线面距与面面距
（1）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
（2）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
三、合作探究
直线与平面所成的角
在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．
【解】取AA1的中点M，连接EM，BM．
因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD．
又在正方体ABCD?A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1内的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．
设正方体的棱长为2，
则EM＝AD＝2，BE＝
＝3．
于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝＝，
即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为．
[规律方法]
线面垂直的性质定理的应用
如图，已知正方体A1C．
（1）求证：A1C⊥B1D1；
（2）M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，
求证：MN∥A1C．
【证明】（1）如图，连接A1C1．
因为CC1⊥平面A1B1C1D1，
B1D1?平面A1B1C1D1，
所以CC1⊥B1D1．
因为四边形A1B1C1D1是正方形，
所以A1C1⊥B1D1．
又因为CC1∩A1C1＝C1，
所以B1D1⊥平面A1C1C．
又因为A1C?平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C．
（2）如图，连接B1A，AD1．
因为B1C1AD，
所以四边形ADC1B1为平行四边形，
所以C1D∥AB1，
因为MN⊥C1D，所以MN⊥AB1．
又因为MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，
所以MN⊥平面AB1D1．
由（1）知A1C⊥B1D1．
同理可得A1C⊥AB1．
又因为AB1∩B1D1＝B1，
所以A1C⊥平面AB1D1．
所以A1C∥MN．
[规律方法]
（1）若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．
（2）直线与平面垂直的其他性质
①如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直；
②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；
③若l⊥α于A，AP⊥l，则AP?α；
④垂直于同一条直线的两个平面平行；
⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．
求点到平面的距离
如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）设AP＝1，AD＝，三棱锥P?ABD的体积V＝，求A到平面PBC的距离．
【解】（1）证明：如图，设BD与AC的交点为O，连接EO．
因为四边形ABCD为矩形，所以点O为BD的中点．
又点E为PD的中点，所以EO∥PB．
因为EO?平面AEC，PB?平面AEC，所以PB∥平面AEC．
（2）V＝AP·AB·AD＝AB．
由V＝，可得AB＝．
作AH⊥PB于点H．
由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，故AH⊥平面PBC，即AH的长就是点A到平面PBC的距离．
因为PB＝＝，所以AH＝＝，
所以点A到平面PBC的距离为．
[规律方法]
从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离．当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算，也可以利用等换法转换求解．
【课堂检测】
1．若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍，则AB与平面α所成角的大小为（）
A．60°
B．45°
C．30°
D．90°
解析：选A．斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示，∠ABO即是斜线段与平面所成的角．又AB＝2BO，所以cos∠ABO＝＝，所以∠ABO＝60°．
2．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中不正确的是（）
A．PB⊥BC
B．PD⊥CD
C．PD⊥BD
D．PA⊥BD
解析：选C．PA⊥平面ABCD?PA⊥BD，D正确；
?
BC⊥平面PAB?BC⊥PB．
故A正确；同理B正确；C不正确．
3．如图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，则过M且与直线AB和B1C1都垂直的直线有（）
A．1条
B．2条
C．3条
D．无数条
解析：选A．显然DD1是满足条件的一条，如果还有一条l满足条件，则l⊥B1C1，l⊥AB．又AB∥C1D1，则l⊥C1D1．
又B1C1∩C1D1＝C1，所以l⊥平面B1C1D1．
同理DD1⊥平面B1C1D1，则l∥DD1．又l与DD1都过M，这是不可能的，因此只有DD1一条满足条件．
4．如图，已知AD⊥AB，AD⊥AC，AE⊥BC交BC于点E，D是FG的中点，AF＝AG，EF＝EG．
求证：BC∥FG．
证明：连接DE．
因为AD⊥AB，AD⊥AC，
所以AD⊥平面ABC．
又BC?平面ABC，
所以AD⊥BC．又AE⊥BC，
所以BC⊥平面ADE．
因为AF＝AG，D为FG的中点，
所以AD⊥FG．
同理ED⊥FG．又AD∩ED＝D，
所以FG⊥平面ADE．
所以BC∥FG．
【第三课时】
【学习目标】
1．理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小
2．理解两平面垂直的定义，掌握两平面垂直的判定定理
3．理解平面和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用面面垂直的性质定理解决有关的垂直问题
【学习重难点】
1．二面角
2．平面与平面垂直的判定定理
3．平面与平面垂直的性质定理
【核心素养】
1．直观想象、数学运算
2．直观想象、数学运算
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．二面角的定义是什么？
2．如何表示二面角？
3．二面角的平面角的定义是什么？
4．二面角的范围是什么？
5．面面垂直是怎样定义的？
6．面面垂直的判定定理的内容是什么？
7．面面垂直的性质定理的内容是什么？
二、基础知识
1．二面角
（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．
（2）图形和记法
图形：
记作：二面角α?AB?β或二面角α?l?β或二面角P?AB?Q或二面角P?l?Q．
2．二面角的平面角
（1）定义：在二面角α?l?β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
（2）图形、符号及范围
图形：
符号：?∠AOB是二面角的平面角．
范围：0°≤∠AOB≤180°．
（3）规定：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．
名师点拨
（1）二面角的大小与垂足O在l上的位置无关．一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的．
（2）构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”．即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可．这三个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直．
?
3．平面与平面垂直
（1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，平面α与β垂直，记作α⊥β．
（2）判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
?α⊥β
名师点拨
定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个平面的垂线．
4．平面与平面垂直的性质定理
文字语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言
?a⊥β
图形语言
作用
①面面垂直?线面垂直
②作面的垂线
名师点拨
对面面垂直的性质定理的理解
（1）定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．
（2）已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．
三、合作探究
二面角的概念及其大小的计算
（1）在正方体ABCD?A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成锐二面角A1?BD?A的正切值为（）
A．
B．
C．
D．
（2）一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为（）
A．相等
B．互补
C．相等或互补
D．不确定
【解析】（1）如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD的中点，因为A1D＝A1B，所以在△A1BD中，A1O⊥BD．
又因为在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以∠A1OA为二面角A1?BD?A的平面角．
设AA1＝1，则AO＝．所以tan∠A1OA＝＝．
（2）反例：如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角D?AA1?E与二面角B1?AB?C的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补．
【答案】（1）C（2）D
（1）求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”．
（2）作出二面角的平面角的方法
方法一：（定义法）在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．
如图所示，∠AOB为二面角α?a?β的平面角．
方法二：（垂线法）过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．
如图所示，∠AFE为二面角A?BC?D的平面角．
方法三：（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角的平面角．
如图所示，∠AOB为二面角α?l?β的平面角．
[提醒]二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．
平面与平面垂直的判定
角度一利用定义证明平面与平面垂直
如图，在四面体ABCD中，BD＝a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a．求证：平面ABD⊥平面BCD．
【证明】因为△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，
所以取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE．
在△ABD中，AB＝a，
BE＝BD＝a，
所以AE＝
＝a．
同理CE＝a，在△AEC中，
AE＝CE＝a，AC＝a．
由于AC2＝AE2＋CE2，
所以AE⊥CE，∠AEC是二面角A?BD?C的平面角，又因为∠AEC＝90°，
所以二面角A?BD?C为直二面角，
所以平面ABD⊥平面BCD．
角度二利用判定定理证明平面与平面垂直
如图，在四棱锥P?ABCD中，若PA⊥平面ABCD且四边形ABCD是菱形．求证：平面PAC⊥平面PBD．
【证明】因为PA⊥平面ABCD，
BD?平面ABCD，
所以BD⊥PA．
因为四边形ABCD是菱形，
所以BD⊥AC．
又PA∩AC＝A，
所以BD⊥平面PAC．
又因为BD?平面PBD，
所以平面PAC⊥平面PBD．
[规律方法]
证明平面与平面垂直的两种常用方法
（1）利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是：
①找出两相交平面的平面角；
②证明这个平面角是直角；
③根据定义，这两个相交平面互相垂直．
（2）利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直．即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是：
面面垂直的性质定理的应用
已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．
【证明】如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，
因为平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AD?平面PAC，且AD⊥PC，
所以AD⊥平面PBC，
又BC?平面PBC，所以AD⊥BC．
因为PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
所以PA⊥BC，
因为AD∩PA＝A，
所以BC⊥平面PAC，
又AC?平面PAC，所以BC⊥AC．
[反思归纳]
利用面面垂直的性质定理应注意的问题
若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，应注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．
垂直关系的综合问题
如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：
（1）DE＝DA；
（2）平面BDM⊥平面ECA；
（3）平面DEA⊥平面ECA．
【证明】（1）如图，取EC的中点F，连接DF．
因为EC⊥平面ABC，BC?平面ABC，
所以EC⊥BC．
同理可得BD⊥AB，
易知DF∥BC，所以DF⊥EC．
在Rt△EFD和Rt△DBA中，
因为EF＝EC，EC＝2BD，
所以EF＝BD．
又FD＝BC＝AB，
所以Rt△EFD≌Rt△DBA，故DE＝DA．
（2）取CA的中点N，连接MN，BN，
则MN∥EC，且MN＝EC．
因为EC∥BD，BD＝EC，
所以MN綊BD，
所以N点在平面BDM内．
因为EC⊥平面ABC，
所以EC⊥BN．
又CA⊥BN，EC∩CA＝C，所以BN⊥平面ECA．
因为BN在平面MNBD内，
所以平面MNBD⊥平面ECA，
即平面BDM⊥平面ECA．
（3）由（2）易知DM∥BN，BN⊥平面ECA，
所以DM⊥平面ECA．
又DM?平面DEA，
所以平面DEA⊥平面ECA．
[规律方法]
垂直关系的转化
在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
【课堂检测】
1．给出以下四个命题，其中真命题的个数是（）
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行；
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直．
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：选B．①②④正确．①线面平行的性质定理；②线面垂直的判定定理；③这两条直线可能相交或平行或异面；④面面垂直的判定定理．
2．在下列关于直线m，l和平面α，β的说法中，
正确的是（）
A．若l?β，且α⊥β，则l⊥α
B．若l⊥β，且α∥β，则l⊥α
C．若l⊥β，且α⊥β，则l∥α
D．若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α
解析：选B．A项中l与α可以平行或斜交，A项错．
B项中，l⊥β且α∥β，所以l⊥α正确．
C项中，l可在α内，C项错．
D项中，l可在α内，D项错．
3．在三棱锥P?ABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝2，则二面角P?AB?C的大小为Ｗ．
解析：取AB的中点M，连接PM，MC，则PM⊥AB，CM⊥AB，
所以∠PMC就是二面角P?AB?C的平面角．在△PAB中，PM＝＝1，同理MC＝PC＝1，则△PMC是等边三角形，所以∠PMC＝60°．
答案：60°
4．已知平面α，β和直线m，l，则下列说法：
①若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β；
②若α∩β＝m，l?α，l⊥m，则l⊥β；
③若α⊥β，l?α，则l⊥β；
④若α⊥β，α∩β＝m，l?α，l⊥m，则l⊥β．
其中正确的说法序号为Ｗ．
解析：对于说法①缺少了条件：l?α；说法②缺少了条件：α⊥β；说法③缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；说法④具备了面面垂直的性质定理的所有条件．
答案：④
5．如图，四边形ABCD，BD＝2，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD．求证：AB⊥DE．
证明：在△ABD中，因为AB＝2，AD＝4，BD＝2，
所以AB2＋BD2＝AD2，所以AB⊥BD．
又因为平面EBD⊥平面ABD，
平面EBD∩平面ABD＝BD，AB?平面ABD，
所以AB⊥平面EBD．
因为DE?平面EBD，所以AB⊥DE．
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