数学人教A版（2019）必修第二册 7.3复数的三角表示（教案）

复数的三角表示
【教学重难点】
【教学目标】
【核心素养】
复数的三角形式
了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系
数学抽象
复数三角形式乘、除运算的
三角表示及其几何意义
了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
数学抽象、数学运算
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．复数z＝a＋bi的三角形式是什么？
2．复数的辐角、辐角的主值是什么？
3．复数三角形式的乘、除运算公式是什么？
4．复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么？
二、基础知识
1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz.r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
■名师点拨
（1）任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．
（2）复数0的辐角是任意的．
（3）在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz，且0≤argz＜2π.
（4）两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
2．复数三角形式的乘、除运算
若复数z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z1≠z2，则
（1）z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)
＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
（2）＝
＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
三、合作探究
1．复数的代数形式与三角形式的互化
角度一
代数形式化为三角形式
把下列复数的代数形式化成三角形式：
（1）＋i；
（2）－i.
【解】（1）r＝＝2，因为＋i对应的点在第一象限，
所以cos
θ＝，即θ＝，
所以＋i＝2.
（2）r＝＝2，cos
θ＝，
又因为－i对应的点位于第四象限，
所以θ＝.
所以－i＝2.
复数的代数形式化三角形式的步骤
（1）先求复数的模．
（2）决定辐角所在的象限．
（3）根据象限求出辐角．
（4）求出复数的三角形式．
[提醒]一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．
角度二
三角形式化为代数形式
分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．
（1）4；
（2）(cos
60°＋isin
60°)；
（3）2.
【解】（1）复数4的模r＝4，辐角的主值为θ＝.
4＝4cos
＋4isin
＝4×＋4×i
＝2＋2i.
（2）(cos
60°＋isin
60°)的模r＝，辐角的主值为θ＝60°.
(cos
60°＋isin
60°)＝×＋×i
＝＋i.
（3）2
＝2
＝2.
所以复数的模r＝2，辐角的主值为π.
2＝2cos
π＋2isin
π
＝2×＋2×i
＝1－i.
复数的三角形式z＝r(cosθ＋isinθ)必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例（3）．
2．复数三角形式的乘、除运算
计算：
（1）8×4；
（2）(cos
225°＋isin
225°)÷[(cos
150°＋isin
150°)]；
（3）4÷.
【解】（1）8×4
＝32
＝32
＝32
＝32
＝16＋16i.
（2）(cos
225°＋isin
225°)÷[(cos
150°＋isin
150°)]
＝[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)]
＝(cos
75°＋isin
75°)
＝
＝＋i
＝＋i.
（3）4÷
＝4(cos
0＋isin
0)÷
＝4
＝2－2i.
（1）乘法法则：模相乘，辐角相加．
（2）除法法则：模相除，辐角相减．
（3）复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角的n倍．
3．复数三角形式乘、除运算的几何意义
在复平面内，把复数3－i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数．
【解】因为3－i＝2
＝2
所以2×
＝2
＝2
＝2
＝3＋i，
2×
＝2
＝2
＝－2i.
故把复数3－i对应的向量按逆时针旋转得到的复数为3＋i，按顺时针旋转得到的复数为－2i.
两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2．
四、课堂检测
1．复数1－i的辐角的主值是(
)
A．π
B．π
C．π
D．
解析：选A．因为1－i＝2＝2，所以1－i辐角的主值为π.
2．复数9(cos
π＋isin
π)的模是________．
答案：9
3．arg(－2i)＝________．
答案：π
4．计算：
（1）(cos
75°＋isin
75°)(cos
15°＋isin
15°)；
（2）2(cos
300°＋isin
300°)÷.
解：（1）(cos
75°＋isin
75°)(cos
15°＋isin
15°)
＝cos(75°＋15°)＋isin(75°＋15°)
＝cos
90°＋isin
90°
＝i.
（2）2(cos
300°＋isin
300°)÷
＝2÷
＝
＝
＝－＋i.
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