24.3.1锐角三角函数课件 华东师大版数学九年级上册（第一课时 27张）

(共27张PPT)
24.3锐角三角函数
第一课时
我们已经知道，直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别叫∠A的对边与邻边，用a、b表示.
如图，在Rt△MNP中，∠N＝90゜.
∠P的对边是_____,∠P的邻边是______;
∠M的对边是____
,∠M的邻边是______;
MN
PN
PN
MN
想一想：∠P的对边、邻边与∠M的对边、邻边有什么关系？
观察图19.3.2中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，它们之间有什么关系？
Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3
所以　　　＝__________=__________.
B2C2
AC2
B3C3
AC3
探究
探究
A
B
C
A'
B'
C'
任意画Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘，使得∠C＝∠C’＝90°，∠A＝∠A‘＝
，那么
与
有什么关系．你能解释一下吗？
由于∠C＝∠C’＝90°，
∠A＝∠A’＝
所以Rt△ABC∽Rt△A’B’C’
这个值我们称它是∠A的三角函数值。
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．
探究
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，
即
例如，当∠A＝30°时，我们有
当∠A＝45°时，我们有
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
在图中
∠A的对边记作a
∠B的对边记作b
∠C的对边记作c
正
弦
注意：
sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦，当角是用一个大写字母或度数表示时，习惯省去角的符号“∠”，如：
sin
；当用三个字母、或数字表示时，不能省略角的符号如：sin∠BAC，
sin∠1
；
sinA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与斜边的比；
sinA不表示“sin”乘以“A”。
例1
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
A
B
C
3
4
例
题
示
范
A
B
C
13
5
(1)
(2)
试着完成图（2）
练习
A
C
3
5
B
2、在平面直角平面坐标系中，已知点A(3，0)
和B(0，-4)，则sin∠OAB等于____.
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是BC边
上的中线，AC=2，BC=4，则sin∠DAC=___.
4、在Rt△ABC中,
∠C=90°,
,
则sin∠A=___.
1、如图，求sinA和sinB的值．
想一想
对于锐角A的每一个确定的值，其邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值也是惟一确定的
吗？
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
A
B
C
斜边c
对边a
邻边b
★我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的
余弦（cosine），记作cosA，
即
余
弦
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
A
B
C
斜边c
对边a
邻边b
★我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的
正切（tangent），记作tanA，
即
正
切
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
A
B
C
斜边c
对边a
邻边b
★我们把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的
余切，记作cotA，
即
邻边
对边
余
切
这几个比值都是锐角∠A的函数，记作sin
A、cos
A、tan
A、cot
A，即
sin
A=
cos
A=
tan
A=
cot
A=
分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A的三角函数.
1、sinA
不是一个角
2、sinA不是
sin与A的乘积
3、
sinA
是一个比值
4、sinA
没有单位
锐角三角函数的取值：
你能利用直角三角形的三边关系得到
sinA与
cosA的取值范围吗？
0＜sin
A＜1，0＜cos
A＜1
A
B
C
斜边c
对边a
邻边b
sin
A=
∵直角边<斜边
<1
<1
tanA、cotA的取值范围呢？
tanA>0，cotA>0
例2
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=2，AB=3，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切、余切值．
A
B
C
2
3
求出图19.3.3所示的Rt△ABC中∠A的四个三角函数值.
15
8
变式：
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝，CD⊥AB，交AB于D，AD＝3，DC＝4.求∠DCB的三角函数值。
解：
∵CD⊥AB，AD＝3，DC＝4
∴∠ADC＝
∴∠ACD+∠CAD＝
∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝
∵∠CAD＝∠DCB
∴sin∠DCB=sin∠CAD＝=
cos∠DCB=cos∠CAD＝
tan∠DCB=tan∠CAD＝
cot∠DCB=cot∠CAD＝
锐角三角函数性质1：相等的角的三角函数值相等。
例3、如图，若∠C＝，BC：AC＝2：3，求∠A的三角函数值。
解：
∴设BC＝2k，AC＝3k（k>0），
∵BC：AC＝2：3，
∴sinA==,
cosA==,
tanA=,
cotA=
此例题中，三条边并没有具体的长度，只有两边的比值。将比例转化为具体的量，掌握设比例系数k解题的方法，即设而不求的思想。
锐角三角函数性质2：当角度一定时，它的三角函数值也就确定了，与角所在的三角形三边的长短无关。
变式：
已知在Rt△ABC中，∠C＝，sinA＝∠A的其他三个函数值。
解：
∵在Rt△ABC中，∠C＝，
∴sinA＝
∴设BC＝7k，AB＝25k
根据勾股定理：
∴cosA＝
tanA＝
cotA＝
已知某个角的一个三角函数值，利用辅助比的方法得到第三条边的值，算出其他三角函数值。
例4、如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，BC＝AD＝8，sinB＝，求tan∠CAD的值。
解：
∵AD是边BC上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝，
△ADB、
△ADC是直角三角形。
∵sinB＝，AD＝8
∴AB＝10
根据勾股定理：
∴DC＝8－6＝2
tan∠CAD＝＝＝
例4、如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，BC＝AD＝8，sinB＝，求tan∠CAD的值。
变式：
如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝13，sinB＝，求tanC的值。
∟
D
解：
过A作AD⊥BC于D，
则∠ADB＝∠ADC＝，
△ADB、
△ADC是直角三角形。
∵sinB＝，AB＝15
∴AD＝12
根据勾股定理：
∴DC＝13－9＝4
tanC＝＝3
当条件中已知三角函数值的角不在直角三角形中时，要构造直角三角形，一般的方法是作高。但要注意不能把已知三角函数值的角分割。
记住：求三角函数值一定要在直角三角形中。
练习：
1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的弦值为（
）。
A、扩大2倍
B、缩小2倍
C、扩大4倍
D、不变
2、Rt△ABC中，∠C＝，AB＝4，AC＝1，则cosA的值是
（
）
A、
B、
C、
D、4
3、已知△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，则sinA=（
）
A、
B、
C、
D、
D
B
A
A
B
C
D
4、图中∠ACB=90°
，CD⊥AB，如果CD=5，AC=10，则sin∠ACD=
，sin
∠DCB=
。
5、△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a,b,c
，且a:b:c＝8:15:17，则sinB=
，cosB=
。
小结
sin
A=
cos
A=
tan
A=
cot
A=
正弦
余弦
正切
余切
锐角A的三角函数：
三角函数性质：
1、两个相等的锐角的三角函数相等。
2、当一个锐角的角度确定后，它的三角函数值就确定了，与所在的三角形的三边的长短无关。
0＜sin
A＜1，0＜cos
A＜1
再见