5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第一册导学案

第五章
三角函数
§5.4.1
正弦函数、余弦函数的图像
导学目标：
(1)利用单位圆中的三角函数线作出的图象，并根据图像直观感受正弦函数的基本性质．
(2)由诱导公式和平移变换，自己动手得到的图象．
(3)能用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题．
（预习教材P130~
P135，回答下列问题）
预习：由函数的定义，我们可知：设角所对的正弦值为，则正弦值可以做为角的一个函数，即，称为正弦函数；同样也是一个函数，称为余弦函数．
对于一个陌生函数来说，我们要了解它的性质和特征，最好的方法就是观察它的图像，那么，如何作出一个陌生函数的图像呢？
【知识点一】正弦函数，的图像　
由正弦函数的解析式可知，点即为该函数图像上的点，为了便于描点及图形的准确，我们将自变量的取值细分为为一个单位，这样我们可以得到：
，
，
，
，
，，，
（1）根据所取点的坐标，如何建立合适的坐标系？
（2）如何在平面坐标系中准确确定相应的的位置？
（3）如果有了正弦函数在，那么如何得到上的图像呢？
结合上述三个问题，我们便可得到，上的图像：
自我检测1：请根据以上结论，自己动手作出，上的图像？
并根据你所得图像，说说正弦函数图像有何性质及特征？
【知识点二】余弦函数，的图像　
根据自己的知识，说说如何得到余弦函数，的图像，比比谁的方法简单？
【知识点三】“五点法”作正、余弦函数的图像　
在函数，和，的图象上，都存在着五个关键点来约束图像的走势，请分别作图找出这五个点，想想这五个点对我们以后作图有何帮助，你又该如何使用呢？
自我检测3：请作出，上的图像
【知识点四】简单的类正余弦函数的图像画法
根据今天所学正余弦函数的图像，并结合以前知识，自己尝试如何得到下列函数的图像，说说自己的想法？
（1），
（2），
【知识点五】正、余弦函数曲线的简单应用——求解三角不等式
根据函数，和，的图象，请写出下列三角不等式的解集？
（1）
（2）
题型一　正余弦函数的图像及性质
【例1-1】下列叙述正确的有________．
(1)
，的图象关于点成中心对称；
(2)
，的图象关于直线成轴对称；
(3)正弦、余弦函数的图象不超过直线和所夹的范围．
【例1-2】根据函数的图像，可得方程的解为（
）
A．（）
B．（）
C．（）
D．（）
题型二　“五点法”作正、余弦函数的图像　
【例2】作出函数，上的图像
题型三　简单的类正余弦函数的图像及性质
【例3-1】关于三角函数的图象，有下列说法：
(1)
与的图象关于轴对称；
(2)
与的图象相同；
(3)
与的图象关于轴对称；
(4)
与的图象关于轴对称．
其中正确的序号是________．
【例3-2】函数，的大致图象是(　　)
A．
B．
C．
D．
题型四　正、余弦函数曲线的简单应用——求解三角不等式
【例4】根据正弦曲线求满足在上的的取值范围．
1．以下对正弦函数的图象描述不正确的是(　　)
A．在上的图象形状相同，只是位置不同
B．介于直线与直线之间
C．关于轴对称
D．与轴仅有一个交点
2．不等式，的解集为(　　)
A．　　B．
C.
D.
3．下列图象中，是在上的图象的是(　　)
4．用“五点法”作函数，的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是____．
5．不等式的解集为
．
§5.4.1
正弦函数、余弦函数的图像
导学目标：
(1)利用单位圆中的三角函数线作出的图象，并根据图像直观感受正弦函数的基本性质．
(2)由诱导公式和平移变换，自己动手得到的图象．
(3)能用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题．
（预习教材P130~
P135，回答下列问题）
预习：由函数的定义，我们可知：设角所对的正弦值为，则正弦值可以做为角的一个函数，即，称为正弦函数；同样也是一个函数，称为余弦函数．
对于一个陌生函数来说，我们要了解它的性质和特征，最好的方法就是观察它的图像，那么，如何作出一个陌生函数的图像呢？
【答案】建系、确定点的坐标、描点、连线
【知识点一】正弦函数，的图像　
由正弦函数的解析式可知，点即为该函数图像上的点，为了便于描点及图形的准确，我们将自变量的取值细分为为一个单位，这样我们可以得到：
，
，
，
，
，，，
（1）根据所取点的坐标，如何建立合适的坐标系？
（2）如何在平面坐标系中准确确定相应的的位置？
【答案】如图，在直角坐标系中画出以原点为圆心的单位圆，与轴正半轴的交点为．在单位圆上，将点绕着点旋转弧度至点，根据正弦函数的定义，点的纵坐标．由此，以为横坐标，为纵坐标画点，即得到函数图象上的点．
（3）如果有了正弦函数在，那么如何得到上的图像呢？
结合上述三个问题，我们便可得到，上的图像：
自我检测1：请根据以上结论，自己动手作出，上的图像？
并根据你所得图像，说说正弦函数图像有何性质及特征？
【知识点二】余弦函数，的图像　
根据自己的知识，说说如何得到余弦函数，的图像，比比谁的方法简单？
【知识点三】“五点法”作正、余弦函数的图像　
在函数，和，的图象上，都存在着五个关键点来约束图像的走势，请分别作图找出这五个点，想想这五个点对我们以后作图有何帮助，你又该如何使用呢？
自我检测3：请作出，上的图像
【答案】五个关键点列表：
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
－1
0
1＋sin
x
1
2
1
0
1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来：
【知识点四】简单的类正余弦函数的图像画法
根据今天所学正余弦函数的图像，并结合以前知识，自己尝试如何得到下列函数的图像，说说自己的想法？
（1），
（2），
【答案】五个关键点列表：
x
0
π
2π
cos
x
1
0
－1
0
1
－cos
x
－1
0
1
0
－1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来：
【知识点五】正、余弦函数曲线的简单应用——求解三角不等式
根据函数，和，的图象，请写出下列三角不等式的解集？
（1）
（2）
题型一　正余弦函数的图像及性质
【例1】下列叙述正确的有________．
(1)
，的图象关于点成中心对称；
(2)
，的图象关于直线成轴对称；
(3)正弦、余弦函数的图象不超过直线和所夹的范围．
【答案】分别画出函数y＝sin
x，x∈[0,2π]和y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象，由图象观察可知(1)(2)(3)均正确．
【例1-2】根据函数的图像，可得方程的解为（
）
A．（）
B．（）
C．（）
D．（）
【答案】B
题型二　“五点法”作正、余弦函数的图像　
【例2】作出函数，上的图像
题型三　简单的类正余弦函数的图像及性质
【例3-1】关于三角函数的图象，有下列说法：
(1)
与的图象关于轴对称；
(2)
与的图象相同；
(3)
与的图象关于轴对称；
(4)
与的图象关于轴对称．
其中正确的序号是________．
【答案】对(2)，y＝cos(－x)＝cos
x，y＝cos|x|＝cos
x，故其图象相同；
对(4)，y＝cos(－x)＝cos
x，
故其图象关于y轴对称，由作图可知(1)(3)均不正确．
　
【例3-2】函数，的大致图象是(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
题型四　正、余弦函数曲线的简单应用——求解三角不等式
【例4】根据正弦曲线求满足在上的的取值范围．
【答案】　在同一坐标系内作出函数y＝sin
x与y＝－的图象，如图所示．
观察在一个闭区间[0,2π]内的情形，满足sin
x≥－的x∈∪，所以满足sin
x≥－在[0,2π]上的x的范围是{x0≤x≤π或≤x≤2π}.(或∪)
1．以下对正弦函数的图象描述不正确的是(　　)
A．在上的图象形状相同，只是位置不同
B．介于直线与直线之间
C．关于轴对称
D．与轴仅有一个交点
【答案】C
2．不等式，的解集为(　　)
A．　　B．
C.
D.
【答案】D
3．下列图象中，是在上的图象的是(　　)
【答案】D
4．用“五点法”作函数，的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是________．
【答案】
5．不等式的解集为
．
【答案】作出余弦函数y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为
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