2021-2022学年苏科版八年级数学上册1.3探索全等三角形的条件（三） 同步强化训练(word解析版)

2021-2022学期苏科版八年级数学上《1.3探索全等三角形的条件（三）》同步强化训练
（时间：90分钟
满分：120分）
一．选择题(每小题3分
共30分)
1.如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线，这条射线就是角的平分线，在这个操作过程中，运用了三角形全等的判定方法是（　　）
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
第1题图
第2题图
第3题图
第4题图
工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM＝ON，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M，N重合（即CM＝CN）．此时过直角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种做法的道理是（
）
A．HL
B．SAS
C．SSS
D．ASA
3．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC，BD，相交于点O，则图中全等三角形共有
(
)
A．1对
B．2对
C．3对
D．4
对
4.如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF
②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF
③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F
④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有
(
)
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
5.已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是
(
)
A．两条边长分别为4，5，它们的夹角为
B．三条边长分别是4，5，5
C．两个角是，它们的夹边为4
D．两条边长是5，一个角是
6．如图，AD=BC，AC=BD，则下列结论中，不正确的是
(
)
A．OA=OB
B．CO=DO
C．∠C=∠D
D．∠AOB=∠C+∠D
第6题图
第8题图
第9题图
第10题图
7．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得△OCP≌△ODP的根据是(
)
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
8．如图，在∠BAC的两边上截取AB=AC，AD=AE．连接BD，EC交于点P，则下列结论正确的是(
)
①△ABD≌△ACE
②△BEP≌△CDP
③△APB≌△APC
④△APE≌△APD
①②③④
B．①②③
C．②③④
D．①③④
9．如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（
）
作法：①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C；③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线．
A．ASA
B．SAS
C．SSS
D．AAS
10.如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是(　　)．
A．15°
B．165°
C．15°或165°
D．90°
二．填空题(每小题2分
共24分)
11.如图，AB=AC，BE=CD，要使，依据SSS，则还需添加条件_______________．（填一个即可）
第11题图
第12题图
第13题图
第14题图
第15题图
12．木工师傅在做完门框后为防止变形，常如图所示那样钉上两条斜拉的木板条，这样做的数学依据是
.
13．如图，已知AB=DC，BE=CF，若要利用“SSS”得到△ABE≌△DCF，还需增加的一个条件是
.
14．如图，填空．(填SSS，SAS，ASA或AAS)．
(1)
已知BD=CE，CD=BE，利用
可以判定△BCD≌△CBE；
(2)
已知AD=AE，∠ADB=∠AEC，利用
可以判定△ABD≌△ACE；
(3)
已知OE=OD，OB=OC，利用
可以判定△BOE≌△COD；
(4)
已知∠BEC=∠CDB，∠BCE=∠CBD，利用
可以判定△BCE≌△CBD．
15．如图，以△ABC的顶点A为圆心，BC的长为半径作弧；再以顶点C为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于点D；连接AD，CD．若∠B=65°，则∠ADC的大小为
．
16．已知一个三角形的三边长分别是3，4，5，另一个三角形的三边长分别是a2－1，2a，a2
+
1，如果这两个三角形全等，则a=
．
17．如图，在和中，，，，则_______．
第17题图
第18题图
第20题图
第21题图
第22题图
18．在正方形网格中，的位置如图所示，则点中在的平分线上是______________点．
19．已知等腰三角形，，为边上一点，且和都是等腰三角形，则______．
20．如图，AE
=
CF，
AD
=
BC，E、F为BD上的两点，且BF
=
DE，若∠AED
=
60°，∠ADB
=
30°，则∠BCF
=___________°．
21．如图，AC、BD相交于点O，OA＝OB，OC＝OD，则图中全等三角形共有______对.
22．在如图所示3×3的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样顶点均在格点上的三角形叫格点三角形，在图中画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画
__________个．
三．解答题（66分）
23．（6分）如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，AE=AF，，求证：．
24.（6分）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF，
求证：BC∥EF．
25.（6分）雨伞的中截面如图所示，伞骨AB＝AC，支撑杆OE＝OF，AE＝AB，AF＝AC，当O沿AD滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有何关系？说明理由．
26.（6分）数学家鲁弗斯设计了一个仪器，它可以三等分一个角．如图所示，A、B、C、D分别固定在以O为公共端点的四根木条上，且OA=OB=OC=OD，E、F可以在中间的两根木条上滑动，AE=CE=BF=DF．求证：∠AOE=∠EOF=∠FOD．
27.（8分）如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由.
28．（8分）已知：如图1，在中，．求作：射线，使得．
下面是小明设计的尺规作图过程．作法：如图2，①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于，两点；②以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点；③以点为圆心，长为半径作弧，两弧在内部交于点；④作射线．所以射线就是所求作的射线．根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接，．
，，．
__________，
__________，
（__________）（填推理的依据）．
29．（8分）如图，点A、F、C、D在一条直线上，．
（1）求证：；（2）求证：．
30.（8分）如图，，，，垂足为E，，垂足为F．
求证：（1）；（2）．
31．（10分）如图，点E在的边AB上，，
，DE的延长线交AC于点G，交BC延长线于点F．AB=AD，BH⊥DF，垂足为H．
（1）求的度数；（2）求证：．
教师样卷
一．选择题(每小题3分
共30分)
1.如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线，这条射线就是角的平分线，在这个操作过程中，运用了三角形全等的判定方法是（　　）
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
【答案】A【详解】在△ABC和△ADC中,,
所以△ABC≌△ADC(SSS),
第1题图
第2题图
第3题图
第4题图
工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM＝ON，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M，N重合（即CM＝CN）．此时过直角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种做法的道理是（
）
A．HL
B．SAS
C．SSS
D．ASA
【答案】C【解析】根据题中的已知条件确定有三组边对应相等，由此证明△OMC≌△ONC(SSS)，即可得到结论.
3．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC，BD，相交于点O，则图中全等三角形共有
(
)
A．1对
B．2对
C．3对
D．4
对
【答案】C
4.如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF
②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF
③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F
④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有
(
)
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
【答案】C
5.已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是
(
)
A．两条边长分别为4，5，它们的夹角为
B．三条边长分别是4，5，5
C．两个角是，它们的夹边为4
D．两条边长是5，一个角是
【答案】D
6．如图，AD=BC，AC=BD，则下列结论中，不正确的是
(
)
A．OA=OB
B．CO=DO
C．∠C=∠D
D．∠AOB=∠C+∠D
【答案】D
第6题图
第8题图
第9题图
第10题图
7．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得△OCP≌△ODP的根据是(
)
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
【答案】D
8．如图，在∠BAC的两边上截取AB=AC，AD=AE．连接BD，EC交于点P，则下列结论正确的是(
)
①△ABD≌△ACE
②△BEP≌△CDP
③△APB≌△APC
④△APE≌△APD
①②③④
B．①②③
C．②③④
D．①③④
【答案】A
9．如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（
）
作法：①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C；③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线．
A．ASA
B．SAS
C．SSS
D．AAS
【答案】C【详解】如图，连接EC、DC．根据作图的过程知，在△EOC与△DOC中，，△EOC≌△DOC（SSS）．故选C．
10.如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是(　　)．
A．15°
B．165°
C．15°或165°
D．90°
【答案】C解：①当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图1，
∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，当BE＝DF时，
在△ABE与△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SSS），∴∠BAE＝∠FAD，∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠FAD＝30°，∴∠BAE＝∠FAD＝15°，②当正三角形AEF在正方形ABCD的外部时，如图2，∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，当BE＝DF时，在△ABE与△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SSS），∴∠BAE＝∠FAD，∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝（360°－90°－60°）×＋60°＝165°，∴∠BAE＝∠FAD＝165°故选：C．
二．填空题(每小题2分
共24分)
11.如图，AB=AC，BE=CD，要使，依据SSS，则还需添加条件_______________．（填一个即可）
【答案】或（填其中任一个均可）
【详解】由题意，有以下两种情况：（1）当时，由定理可证得；（2）当时，，，即，则当时，也可利用定理证得；
故答案为：或（填其中任一个均可）．
第11题图
第12题图
第13题图
第14题图
第15题图
12．木工师傅在做完门框后为防止变形，常如图所示那样钉上两条斜拉的木板条，这样做的数学依据是
.
【答案】三角形具有稳定性
13．如图，已知AB=DC，BE=CF，若要利用“SSS”得到△ABE≌△DCF，还需增加的一个条件是
.
【答案】AF=DE或AE=DF
14．如图，填空．(填SSS，SAS，ASA或AAS)．
(1)
已知BD=CE，CD=BE，利用
可以判定△BCD≌△CBE；
(2)
已知AD=AE，∠ADB=∠AEC，利用
可以判定△ABD≌△ACE；
(3)
已知OE=OD，OB=OC，利用
可以判定△BOE≌△COD；
(4)
已知∠BEC=∠CDB，∠BCE=∠CBD，利用
可以判定△BCE≌△CBD．
【答案】SSS
ASA
SAS
AAS
15．如图，以△ABC的顶点A为圆心，BC的长为半径作弧；再以顶点C为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于点D；连接AD，CD．若∠B=65°，则∠ADC的大小为
．
【答案】65°
16．已知一个三角形的三边长分别是3，4，5，另一个三角形的三边长分别是a2－1，2a，a2
+
1，如果这两个三角形全等，则a=
．
【答案】2
17．如图，在和中，，，，则_______．
【答案】【详解】解：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠DAC=∠BAC∵∠DAB=80°，∴∠DAC=40°，故答案为：40°．
第17题图
第18题图
第20题图
第21题图
第22题图
18．在正方形网格中，的位置如图所示，则点中在的平分线上是______________点．
【答案】Q
【详解】解：如图,连接EQ、FQ，由图可知OE=OF，EQ=FQ，OQ=OQ，∴∴∴OQ平分，
∴点Q在∠AOB的平分线上．故答案为：Q．
19．已知等腰三角形，，为边上一点，且和都是等腰三角形，则______．
【答案】45°或36°【详解】解：分两种情况：（1）如图，当AD＝BD，DC＝AD时，则BD＝CD．在△ADB与△ADC中，∵BD=CD，AD=AD，AB=AC，∴△ADB≌△ADC（SSS），∴∠ADB＝∠ADC，∵∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠ADB＝90°，∴∠B＝45°；
（2）如图，当AB＝BD，CD＝AD时，则∠BAD＝∠BDA，∠C＝∠DAC．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝∠DAC，∠BAD＝∠BDA＝2∠C＝2∠B，∵∠B+∠C+∠BAD+∠DAC＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°．故答案为：45°或36°．
20．如图，AE
=
CF，
AD
=
BC，E、F为BD上的两点，且BF
=
DE，若∠AED
=
60°，∠ADB
=
30°，则∠BCF
=___________°．
【答案】90゜【详解】在△AED和△CBF中，?DE=
BF，AD=BC，AE=CF，∴△AED≌△CBF，
∴∠BCF=∠DAE．∵∠AED
=
60°，∠ADB
=
30°∴∠DAE=
180°-∠AED-∠ADB=90°∴∠BCF
=90゜故答案为：90゜．．
21．如图，AC、BD相交于点O，OA＝OB，OC＝OD，则图中全等三角形共有______对.
【答案】3【详解】解：在△AOD与△BOC中，
∴△AOD≌△BOC（SAS）；
∴AD=BC，而OA+OC=OD+OB，即AC=DB，在△ABD与△BAC中，
∴△ABD≌△BAC（SSS），在△ADC与△BCD中，
∴△ADC≌△BCD（SSS）．
故答案为3．
22．在如图所示3×3的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样顶点均在格点上的三角形叫格点三角形，在图中画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画
__________个．
【答案】4
【详解】解：如下图所示：以AB为公共边的三角形有3个，以BC为公共边的三角形有0个，以AC为公共边的三角形有1个，∴共有3+0+1=4个，故答案为：4个．
三．解答题（66分）
23．（6分）如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，AE=AF，，求证：．
解：连接AC，在△ACE和△ACF中，∴△ACE≌△ACF（SSS），∴∠CAE=∠CAF，∵∠B=∠D=90°，∴CB=CD．
24.（6分）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF，
求证：BC∥EF．
证明：∵AF=DC，∴AF﹣CF=DC﹣CF，即AC=DF；在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（SSS）．∴∠ACB=∠DFE又∵∠ACB+∠BCD=180°
；∠DFE+∠EFA=180°∴∠BCD=∠EFA∴BC∥EF
25.（6分）雨伞的中截面如图所示，伞骨AB＝AC，支撑杆OE＝OF，AE＝AB，AF＝AC，当O沿AD滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有何关系？说明理由．
解：∠BAD＝∠CAD.理由如下：∵AE＝AB，AF＝AC，AB＝AC，∴AE＝AF.在△AEO和△AFO中，AE＝AF，AO＝AO，OE＝OF，∴△AEO≌△AFO(SSS.)．∴∠EAO＝∠FAO，即∠BAD＝∠CAD.
26.（6分）数学家鲁弗斯设计了一个仪器，它可以三等分一个角．如图所示，A、B、C、D分别固定在以O为公共端点的四根木条上，且OA=OB=OC=OD，E、F可以在中间的两根木条上滑动，AE=CE=BF=DF．求证：∠AOE=∠EOF=∠FOD．
解：在△AOE和△COE中，∴△AOE≌△COE．∴∠AOE=∠COE．同理∠COE=∠FOD．
∴∠AOE=∠EOF=∠FOD．
27.（8分）如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由.
【详解】（1）证明：∵BF=EC，∴BF+CF=CF+CE，∴BC="EF"
∵AB=DE，AC="DF"
∴△ABC≌△DEF（SSS）
（2）AB∥DE,AC∥DF,理由如下，∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE,∴AB∥DE,AC∥DF.
28．（8分）已知：如图1，在中，．求作：射线，使得．
下面是小明设计的尺规作图过程．作法：如图2，①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于，两点；②以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点；③以点为圆心，长为半径作弧，两弧在内部交于点；④作射线．所以射线就是所求作的射线．根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接，．
，，．
__________，
__________，
（__________）（填推理的依据）．
解：（1）如图，射线即为所求作．
（2）连接，．，，．，，（同位角相等两直线平行）．故答案为：，，同位角相等两直线平行．
29．（8分）如图，点A、F、C、D在一条直线上，．
（1）求证：；（2）求证：．
【详解】证明：（1）∵点A、F、C、D在一条直线上，，∴．
在与中∴，
（2）∵△ABC≌△DEF，∴∠BCA＝∠EFD，∴，∴．
30.（8分）如图，，，，垂足为E，，垂足为F．
求证：（1）；（2）．
解：（1）在和中，，∴；
（2）∵，∴，在和中，
，∴，∴．
31．（10分）如图，点E在的边AB上，，
，DE的延长线交AC于点G，交BC延长线于点F．AB=AD，BH⊥DF，垂足为H．
（1）求的度数；（2）求证：．
解：（1）连接BG∵，，∴∠DAG=120°，
∵，∴，∴AG=AD，
∵AB=AD，∴AG=AB，∵，∴，
∵BH⊥DF，，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴GH=BH，∵AG=AB，AH=AH，∴△AGH≌△ABH，∴，∵，∴；
（2）在DH上取HM=HF，连接BM；∵，∴AD//BF，∴，∵BH⊥DF，HM=HF，∴BF=BM∴
∵AB=AD，∴，∵∴，
∵，∴，∴BM=DM=BF，
∵DH=DM+HM，∴DH=FH+BF