2021-2022学年苏科版九年级数学上册2.2.2圆的轴对称性-培优训练(word解析版)

2.2.2圆的轴对称性
-2021-2022学年苏科版九年级数学上册
培优训练
一、选择题
1、下列说法中，正确的是（
）．
A．在同圆内，平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．在同圆内，平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．在同圆内，弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D．在同圆内，平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心
2、如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（
）
A．25°
B．30°
C．40°
D．50°
3、如图，已知⊙O的半径为4，M是⊙O内一点，且OM＝2，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有（　　）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
4、如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB=8，CD=
2，
则EC的长为（
）
A．
B．8
C．
D．
5、P为⊙O内一点，，⊙O半径为5，则经过P点的最短弦长为（
）
A．5
B．6
C．8
D．10
6、如图，破残的轮子上，弓形的弦AB为4m，高CD为1m，则这个轮子的半径长为（　　）
A．m
B．m
C．5m
D．m
7、已知⊙O的直径CD=
10
cm，AB是⊙O的弦，若AB⊥CD，垂足为M，且AB=8
cm，则AC的长为（
）
A．cm
B．cm
C．cm或cm
D．cm或cm
8、如图，的直径为26，弦的长为24，且，垂足为，则的长为（
）
A．25
B．8
C．5
D．13
9、如图，将半径为的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（
）
A．4cm
B．2cm
C．cm
D．cm
10、如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（　　）
A．50m
B．45m
C．40m
D．60m
二、填空题
11、过⊙O内一点M的最长弦为20cm，最短弦为16cm,那么OM的长为_________
12、如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______．
13、如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为________．
14、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，，点C是
的中点，点D是的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为________m．
15、⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，
则AB和CD之间的距离为_______cm．
16、一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝2m，水面宽AB＝2.4m，某天下雨后，水管水面
上升了0.4m，则此时排水管水面宽CD等于_____m．
17、如图，半径为5的与y轴交于点，点P的坐标为______．
18、如图，、是半径为5的的两条弦，，，是直
径，于点，于点，为上的任意一点，则的最小值为____.
三、解答题
19、如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于、两点．
（1）求证：；
（2）连接、，若，，，求的长．
20、如图所示，是的一条弦，，垂足为，交于点、．
（1）若，求的度数．
（2）若，，求的长．
21、如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD．
（1）求证：AD=AN；
（2）若AE=，ON=1，求⊙O的半径．
22、如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上(C与A，B不重合)，连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E
(1)求线段DE的长；
(2)点O到AB的距离为3，求圆O的半径．
23、如图，已知AB是O的直径，CD⊥AB，垂足为点E，如果BE=OE，AB=10cm，求△ACD的周长．
24、如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱高为．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽为的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由．
2.2.2圆的轴对称性
-2021-2022学年苏科版九年级数学上册
培优训练（有答案）
一、选择题
1、下列说法中，正确的是（
）．
A．在同圆内，平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．在同圆内，平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．在同圆内，弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D．在同圆内，平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心
【答案】D
【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误；
B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误；
C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误；
D、在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心，故本选项正确．
故选：D．
2、如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（
）
A．25°
B．30°
C．40°
D．50°
【答案】
D
3、如图，已知⊙O的半径为4，M是⊙O内一点，且OM＝2，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有（　　）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
【分析】过点M作AB⊥OM交⊙O于点A、B，根据勾股定理求出AM，根据垂径定理求出AB，进而得到答案．
【详解】解：过点M作AB⊥OM交⊙O于点A、B，连接OA，
则AM＝BM＝AB，
在Rt△AOM中，AM＝＝＝，
∴AB＝2AM＝，
则≤过点M的所有弦≤8，
则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共三条，
故选：C．
4、如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB=8，CD=
2，
则EC的长为（
）
A．
B．8
C．
D．
【答案】
D
【详解】∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，∴AC=AB=4．
设⊙O的半径为r，则OC=r－2，
在Rt△AOC中，∵AC=4，OC=r－2，
∴OA2=AC2+OC2，即r=4+（r﹣2），解得r=5．
∴AE=2r=10．
连接BE，
∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°．
在Rt△ABE中，∵AE=10，AB=8，∴．
在Rt△BCE中，∵BE=6，BC=4，∴．
故选D．
5、P为⊙O内一点，，⊙O半径为5，则经过P点的最短弦长为（
）
A．5
B．6
C．8
D．10
解：在过点P的所有⊙O的弦中，
如图，当弦与OP垂直时，弦最短，
此时，
得其半弦长为4，则弦长是8，
故选：C．
6、如图，破残的轮子上，弓形的弦AB为4m，高CD为1m，则这个轮子的半径长为（　　）
A．m
B．m
C．5m
D．m
解：连接OB，如图所示：
由题意得：OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝2（m），
在Rt△OBD中，根据勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，
即（OB﹣1）2+22＝OB2，解得：OB＝（m），即这个轮子的半径长为m，
故选：D．
7、已知⊙O的直径CD=
10
cm，AB是⊙O的弦，若AB⊥CD，垂足为M，且AB=8
cm，则AC的长为（
）
A．cm
B．cm
C．cm或cm
D．cm或cm
【答案】C
8、如图，的直径为26，弦的长为24，且，垂足为，则的长为（
）
A．25
B．8
C．5
D．13
解：连接OA．
∵直径，，
∴,
在中，,,
根据勾股定理得：．
则
故选：B．
9、如图，将半径为的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（
）
A．4cm
B．2cm
C．cm
D．cm
【分析】连接AO，过O作OD⊥AB，交于点D，交弦AB与点E，根据折叠的性质及垂径定理得到AE=BE，再根据勾股定理即可求解.
【详解】如图所示，连接AO，过O作OD⊥AB，交于点D，交弦AB与点E，
∵折叠后恰好经过圆心，∴OE=DE,
∵半径为4，∴OE=2，
∵OD⊥AB，∴AE=AB，
在Rt△AOE中，AE==2，
∴AB=2AE=4
故选A.
10、如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（　　）
A．50m
B．45m
C．40m
D．60m
解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，如图所示：
则OA＝OD＝250，AC＝BC＝AB＝150，
∴OC＝＝＝200（m），
∴CD＝OD﹣OC＝250﹣200＝50（m），
即这些钢索中最长的一根为50m，
故选：A．
二、填空题
11、过⊙O内一点M的最长弦为20cm，最短弦为16cm,那么OM的长为_________
【答案】6cm
【分析】先根据垂径定理求出OA、AM的长，再用勾股定理求OM.
【详解】由题意可知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，
如图所示，直径ED⊥AB与点M，则ED=20，AB=16，
∴AM=8，OA=10，∴OM=
12、如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______．
【答案】
【分析】先根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．
【详解】解：由题意得：，，，
，，是等腰直角三角形，，
故答案为：．
13、如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为________．
【详解】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，
则圆心是（2，0）．
14、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，，点C是
的中点，点D是的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为________m．
【分析】根据题意，可以推出AD=BD=20，若设半径为r，则OD=r-10，OB=r，结合勾股定理可推出半径r的值．
【详解】解：连接OD，∵点C是的中点，D是AB的中点，∴OC⊥AB，∴AD=DB=20m，
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，
设半径为r得：r2=（r-10）2+202，解得：r=25m，
∴这段弯路的半径为25m，
故答案为：25．
15、⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，
则AB和CD之间的距离为_______cm．
【答案】2cm或14cm
【解析】分两种情况进行讨论：①弦和在圆心同侧；②弦和在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
试题解析：①当弦AB和CD在圆心同侧时,如图1所示,
∵AB=16cm，CD=12cm，∴AE=8cm，CF=6cm，
∵OA=OC=10cm，∴EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF?OE=2cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时,如图2所示,
∵AB=16cm，CD=12cm，∴AE=8cm，CF=6cm，
∵OA=OC=10cm，∴EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF+OE=14cm；
综上所述：AB和CD之间的距离为2cm或14cm.
16、一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝2m，水面宽AB＝2.4m，某天下雨后，水管水面
上升了0.4m，则此时排水管水面宽CD等于_____m．
解：如图：连结OC，过O作OE⊥AB，交CD于F，垂足为E，
∵AB=2.4m，OE⊥AB，OA=2m，∴AE=1.2m，
∴OE=m，
∵水管水面上升了0.4m，∴OF=1.6﹣0.4=1.2m，
∴CF=m，∴CD=3.2m．
故答案为：3.2．
17、如图，半径为5的与y轴交于点，点P的坐标为______．
【分析】过P作PQ垂直于y轴，利用垂径定理得到Q为MN的中点，由M与N的坐标得到OM与ON的长，由OM-ON求出MN的长，确定出MQ的长，在直角三角形PMQ中，由PM与MQ的长，利用勾股定理求出PQ的长，由OM+MQ求出OQ的长，进而可得出P点坐标．
【详解】
解：过P作PQ⊥y轴，与y轴交于Q点，连接PM，∴Q为MN的中点，
∵M（0，-4），N（0，-10），∴OM=4，ON=10，∴MN=10-4=6，
∴MQ=NQ=3，OQ=OM+MQ=4+3=7，
在Rt△PMQ中，PM=5，MQ=3，根据勾股定理得：PQ==4，
∴P（-4，-7）．
故答案为：（-4，-7）．
18、如图，、是半径为5的的两条弦，，，是直
径，于点，于点，为上的任意一点，则的最小值为____.
【分析】A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值
【详解】连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．
根据垂径定理，得到BE=
，
∴CH=OE+OF=3+4=7，
BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，
在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7，
则PA+PC的最小值为7．
三、解答题
19、如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于、两点．
（1）求证：；
（2）连接、，若，，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）过点O作OE⊥AB，由等腰三角形的性质，垂径定理可知，AE=BE，CE=DE，故可得出结论.
（2）根据题意，过点O作OE⊥AB，根据垂径定理，和勾股定理，可以求出AE，CE，的长，即可求出AC的长度．
解：（1）证明：如图，过点作于点．
，，．
，即．
（2）解：，，，
，，
，
20、如图所示，是的一条弦，，垂足为，交于点、．
（1）若，求的度数．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）；（2）8
【分析】（1）根据垂径定理可得，然后根据等弧所对的圆心角相等即可得出结论；
（2）设半径是，根据垂径定理即可求出AE，根据勾股定理列出方程即可求出r，从而求出结论．
解：（1）∵，∴，∴．
（2）设半径是，则，
∴，
在直角中，，
则，解得，
则．
21、如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD．
（1）求证：AD=AN；
（2）若AE=，ON=1，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明见解析；（2）3；
【分析】（1）先根据圆周角定理得出∠BAD=∠BCD，再由直角三角形的性质得出∠ANE=∠CNM，故可得出∠BCD=∠BAM，由全等三角形的判定定理得出△ANE≌△ADE，故可得出结论；
（2）先根据AE的长，设NE=x，则OE=x-1，NE=ED=x，r=OD=OE+ED=2x-1，连结AO，则AO=OD=2x-1，在Rt△AOE中根据勾股定理可得出x的值，进而得出结论；
解：（1）证明：∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角，∴∠BAD=∠BCD，
∵AE⊥CD，AM⊥BC，∴∠AMC=∠AEN=90°，
∵∠ANE=∠CNM，∴∠BCD=∠BAM，∴∠BAM=BAD，
在△ANE与△ADE中，，∴△ANE≌△ADE，∴AD=AN；
（2）∵AE=2，AE⊥CD，
又∵ON=1，∴设NE=x，则OE=x-1，NE=ED=x，
r=OD=OE+ED=2x-1
连结AO，则AO=OD=2x-1，
∵△AOE是直角三角形，AE=2，OE=x-1，AO=2x-1，
∴（2）2+（x-1）2=（2x-1）2，解得x=2，
∴r=2x-1=3.
22、如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上(C与A，B不重合)，连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E
(1)求线段DE的长；
(2)点O到AB的距离为3，求圆O的半径．
【答案】（1）DE＝4；（2）圆O的半径为5．
【分析】(1)根据垂径定理得出AD=DC，CE=EB，再根据三角形的中位线定理可得DE=AB，代入相应数值求出即可；
(2)过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则OH=3，连接OA，根据垂径定理可得AH=4，在Rt△AHO中，利用勾股定理求出AO的长即可得答案.
解：(1)∵OD经过圆心O，OD⊥AC，∴AD=DC，
同理：CE=EB，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AB，
∵AB=8，∴DE=4；
(2)过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则OH=3，连接OA，
∵OH经过圆心O，∴AH=BH=AB，
∵AB=8，∴AH=4，
在Rt△AHO中，AH2+OH2=AO2，∴AO=5，即圆O的半径为5．
23、如图，已知AB是O的直径，CD⊥AB，垂足为点E，如果BE=OE，AB=10cm，求△ACD的周长．
解：连接OC．
∵AB是O的直径，CD⊥AB，∴．
∵AB=10cm，∴AO=BO=CO=5cm．
∵BE=OE，∴cm，cm．
在Rt△COE中，∵CD⊥AB，∴OE2+CE2=OC2．
∴cm．
∴DE=cm．∴cm．
在Rt△ACE中，∴，
∴
cm．
在Rt△ADE中，∴，
∴
∴△ACD的周长=AD+DC+AC=++=cm．
24、如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱高为．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽为的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由．
解：（1）如图，连接ON，OB．
∵OC⊥AB，∴D为AB中点，
∵AB=16m，∴BD=AB=8m．
又∵CD=4m，
设OB=OC=ON=r，则OD=（r-4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2=（r-4）2+82，解得r=10，
即拱桥的半径为10m；
（2）∵CD=4m，船舱顶部为长方形并高出水面2m，∴CE=4-2=2m，
∴OE=r-CE=10-2=8m，
在Rt△OEN中，=6m，∴MN=2EN=12m＞10m，
∴此货船能顺利通过这座拱桥．