《2.3确定圆的条件》同步培优提升训练（Word版 附答案）2021-2022学年九年级数学苏科版上册

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《2.3确定圆的条件》同步培优提升训练（附答案）
一．选择题（共8小题）
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠CAB＝30°，∠ACB＝105°，CD⊥AB于点D且CD＝2，则⊙O的半径为（　　）
A．2
B．4
C．4
D．4
2．已知平面坐标系内有三点，分别是A（1，2），B（5，2），C（3，7），则△ABC外接圆的圆心的坐标是（　　）
A．（3，2.1）
B．（3，2.9）
C．（3，4.1）
D．（3，4.9）
3．如图，△ABC是圆O的内接正三角形，弦EF过BC的中点D，且EF∥AB，若AB＝4，则DE的长为（　　）
A．1
B．﹣1
C．
D．2
4．如图，点P为△ABC的外心，∠A＝50°，则∠BPC的大小为（　　）
A．100°
B．110°
C．115°
D．120°
5．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝74°，则∠OBC等于（　　）
A．17°
B．16°
C．15°
D．14°
6．如图，△ABC内接于⊙O，且⊙O的半径为2，若∠ACB＝45°，则AB为（　　）
A．2
B．
C．4
D．2
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20厘米，BC＝21厘米，则它的外心与顶点C的距离等于（　　）
A．13厘米
B．13.5厘米
C．14厘米
D．14.5厘米
8．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（　　）
A．①
B．②
C．③
D．④
二．填空题（共8小题）
9．△ABC中，AB＝9cm，AC＝40cm，BC＝41cm，则△ABC的外接圆半径长是　
　．
10．三角形的三个顶点都在同一个圆上，则这个圆的圆心是这个三角形三条边的
　
　的交点．
11．⊙O的半径为5，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BC＝6，则△ABC的面积是　
　．
12．某园林单位要在一个绿化带内开挖一个△ABC的工作面，使得∠ACB＝60°，CD是AB边上的高，且CD＝6，则△ABC的面积最小值是　
　．
13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠COB＝60°，AB＝BC＝3，则弦AC＝　
　．
14．如图，△ABC内接于⊙O，点M，N分别是CO，AB的中点，∠CAB＝80°，∠CBA＝40°，则∠OMN的度数是　
　．
15．如图，小方格边长为1，则△ABC的外心的坐标是　
　．
16．如图所示，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，连接BD，半径OE⊥BC，连接EA，EA⊥BD于点F．若BC＝5，则OD＝　
　．
三．解答题（共4小题）
17．如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．
（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小．
18．已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根，
（1）求△ABC的周长；
（2）如果⊙O是△ABC的外接圆，求⊙O的半径．
19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB长为4，AB＝AC，联结CO并延长，交边AB于点D，交AB于点E，且E为弧AB的中点．求：
（1）边BC的长；
（2）⊙O的半径．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，点M从C点开始以1cm/s的速度沿CB向B点运动，点N从A点开始以2cm/s的速度沿AC向C点运动，点M、N同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．
（1）2秒时，△MCN的面积是　
　；
（2）求经过几秒，△MCN的面积是3cm2；
（3）试说明△MCN外接圆的半径能否是cm．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．解：如图，连接OA，OC，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵∠CAB＝30°，CD＝2，
∴AC＝2CD＝4，
∵∠ACB＝105°，∠ACD＝60°，
∴∠CBA＝45°，
∵∠COA＝2∠CBA＝2×45°＝90°，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2＝OA2+OC2，
∵OA＝OC，
∴OA＝AC＝4，
∴⊙O的半径为4，
故选：B．
2．解：如图，设△ABC外接圆的圆心为O′，
∵A（1，2），B（5，2），C（3，7），
∴△ABC是等腰三角形，
∴AE＝BE＝AB＝4＝2，CD＝7，DE＝2，
设O′A＝O′B＝x，则O′E＝CD﹣O′C﹣DE＝7﹣x﹣2＝5﹣x，
在Rt△O′AE中，根据勾股定理，得
O′A2＝O′E2+AE2，
∴x2＝（5﹣x）2+22，
解得x＝2.9，
∴O′E＝5﹣x＝2.1，
∴O′D＝O′E+DE＝2.1+2＝4.1，
∴△ABC外接圆的圆心O′的坐标是（3，4.1）．
故选：C．
3．解：如图．过C作CN⊥AB于N，交EF于M，
∵EF∥AB，
∴CM⊥EF．
根据圆和等边三角形的性质知：CN必过点O．
∵EF∥AB，D是BC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG＝AB＝2；
∵△CGD是等边三角形，CM⊥DG，
∴DM＝MG；
∵OM⊥EF，由垂径定理得：EM＝MF，
∴DE＝GF．
∵弦BC、EF相交于点D，
∴BD?DC＝DE?DF，即DE×（DE+2）＝4；
解得DE＝﹣1（负值舍去）．
故选：B．
4．解：∵∠BPC＝2∠A，∠A＝50°，P为△ABC的外心，
∴∠BPC＝100°．
故选：A．
5．解：如图，连接OC，
∵∠A＝74°，
∴∠BOC＝2∠A＝148°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣148°）＝16°．
故选：B．
6．解：如图，连接OA，OB，
∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB＝2，
∴AB＝＝2，
故选：D．
7．解：如图，取AB的中点O，连接OC，
∴OC＝＝OA＝OB，
∴A，B，C在以O为圆心，OC为半径的圆上，
∴O是△ABC的外心，
在Rt△ABC中，
AB＝＝29厘米，
∴＝14.5厘米，
故选：D．
8．解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
二．填空题（共8小题）
9．解：在△ABC中，AB＝9cm，AC＝40cm，BC＝41cm，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，且AB是斜边，
∴△ABC的外接圆半径长为：AB＝20.5cm．
故答案为：20.5cm．
10．解：设△ABC的三个顶点均在⊙O上，
连接OA，OB，OC，如图，
∵OA＝OB，
∴O在边AB的垂直平分线上，
同理，O在边BC的垂直平分线上，O在边AC的垂直平分线上，
∴O是三角形三条边的垂直平分线的交点，
故答案为：垂直平分线．
11．解：如图1，当圆心在△ABC外时，
连接AO交BC于H，连接OC，
∵AB＝AC，
∴＝，
∴AH⊥BC，
∴∠CHO＝90°，CH＝BC＝3，
∵OC＝5，
∴OH＝＝4，
∴AH＝OA﹣OH＝1，
∴△ABC的面积＝AH?BC＝1×6＝3；
如图2，当圆心在△ABC内时，
连接AO并延长交BC于H，连接OC，
∵AB＝AC，
∴＝，
∴AH⊥BC，
∴∠CHO＝90°，CH＝BC＝3，
∵OC＝5，
∴OH＝＝4，
∴AH＝OA+OH＝9，
∴△ABC的面积＝AH?BC＝6×9＝27；
综上所述，△ABC的面积是3或27，
故答案为：3或27．
12．解：作△ABC的外接圆⊙O，连接OA、OB、OC，作OE⊥AB于E，设OA＝OC＝2x．
∵∠AOC＝2∠ACB，∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝120°，∠ACB＝60°，OA＝OB＝R，OE⊥AB，
∴AE＝EB，∠AOE＝∠BOE＝60°，
∴OE＝OA＝x，AE＝x，
∵OC+OE≥CD，CD＝6，
∴3x≥6，
∴x≥2，
∴x的最小值为2．
∵E为AB中点，
∴AB＝AE+BE＝2AE＝2x，
∵AB的最小值为4，
∴S△ABC的最小值＝＝＝12．
故答案为：12．
13．解：设OB与AC交于点D，
∵∠COB＝60°，AB＝BC，
∴△COB为等边三角形，
∴OC＝BC＝3，
∵AB＝BC，
∴＝，
∴OD⊥AC，CD＝AD，
∴CD＝，
∴AC＝3，
故答案为：3．
14．解：如图，连接OA，OB，ON，取OA的中点D，连接DN，
∵∠CAB＝80°，∠CBA＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝180°﹣80°﹣40°＝60°，
∴∠AOB＝120°，∠AOC＝80°，
∵点M是OC的中点，点D是OA的中点，
∴OD＝OM＝OA，
∵点N是AB的中点，且∠AOB＝120°，
∴ON⊥AB，∠AON＝∠BON＝60°，
∵点D是OA的中点，且∠ONA＝90°，
∴DN＝DO，
∴△ODN是等边三角形，
∴OD＝OA，
∴OD＝ON＝OM，
∵∠MON＝∠COA+∠AON＝80°+60°＝140°，
∴∠OMN＝∠NOM＝＝20°．
故答案为：20°．
15．解：如图所示：△ABC的外心坐标是P（﹣2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，﹣1）．
16．解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵OE⊥BC，
∴∠BOE＝∠COE＝90°，
∴＝，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝×90°＝45°，
∵EA⊥BD，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴AD＝AB，
∵OD⊥AC，
∴DC＝AD，
设AB＝x，则AC＝2x，
∵BC＝5，AB2+AC2＝BC2，
∴x2+（2x）2＝52，
解得x＝．
∴AB＝．
∵OD⊥AC，AB⊥AC，
∴OD∥AB，
∵BO＝CO，
∴OD＝AB＝，
故答案为：．
三．解答题（共4小题）
17．解（1）连接OA并延长AO交BC于E，
∵AB＝AC，
∴弧AB＝弧AC，
∵AE过圆心O，
∴AE垂直平分BC（平分弧的直径垂直平分弧所对的弦），
∴AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAE，
∵OA＝OB，
∴∠ABD＝∠BAE，
∴∠BAC＝2∠ABD；
（2）设∠ABD＝x，
由（1）知∠BAC＝2∠ABD＝2x，
∴∠BDC＝3x，
△BCD是等腰三角形，
①若BD＝BC，
则∠C＝∠BDC＝3x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝3x，
在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，
∴3x+3x+2x＝180°，
解得x＝22.5°，
∴∠BCD＝3x＝67.5°，
②若BC＝CD，则∠BDC＝∠CBD＝3x，
∴∠ABC＝∠ACB＝4x，
在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，
∴4x+4x+2x＝180°，
∴x＝18°，
∴∠BCD＝4x＝72°，
综上所述，△BCD是等腰三角形，∠BCD为67.5°或72°．
18．解：（1）∵两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根，
∴△＝[﹣（k+3）]2﹣4×k×6＝0，
解得k＝3，
∴一元二次方程为x2﹣6x+6＝0，
∴两腰之和为＝4，
∴△ABC的周长为4+3＝7；
（2）如图，连接OB，OC，连接AO并延长交BC于D，
∵AB＝AC＝2，OB＝OC，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝1.5，
∴AD＝＝＝，
设AO＝OB＝r，
∴OD＝﹣r，
∵OB2＝OD2+BD2，
∴r2＝（﹣r）2+（）2，
∴r＝，
∴⊙O的半径为．
19．解：（1）∵E点为的中点，CE为直径，
∴CE⊥AB，
∴AD＝BD，
即CD垂直平分AB，
∴CB＝CA＝4；
（2）连接OB，如图，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，
∴∠BOD＝60°，
在Rt△BOD中，BD＝AB＝2，
∴OD＝BD＝，
∴OB＝2OD＝，
即⊙O的半径为．
20．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴AC＝＝8，
根据题意得，AN＝4，CM＝2，
∴CN＝4，
∴S△CMN＝×4×2＝4（cm2）；
故答案为4cm2；
（2）设经过x秒，
根据题意得，（8﹣2x）?x＝3，
解得x1＝1，x2＝3；
即经过1秒或3秒，△MCN的面积是3cm2；
（3）∵△MNC为直角三角形，∠C＝90°，
∴MN为△MCN外接圆的直径，
假设△MCN外接圆的半径为cm，则MN＝2cm，
设M点运动的时间为t秒，则NC＝8﹣2t，CM＝t，
根据题意得，（8﹣2t）2+t2＝（2）2，
整理得5t2﹣32t+52＝0，
∵△＝（﹣32）2﹣4×5×52＝﹣16＜0，
∴原方程没有实数解，
∴△MCN外接圆的半径不能是cm．