《2.7弧长及扇形面积》同步培优提升训练（Word版 附答案）2021-2022学年九年级数学苏科版上册

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《2.7弧长及扇形面积》同步培优提升训练（附答案）
一．选择题（共8小题）
1．某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为O，点C，D分别在OA，OB上．已知消防车道半径OC＝12m，消防车道宽AC＝4m，∠AOB＝120°，则弯道外边缘的长为（　　）
A．8πm
B．4πm
C．πm
D．πm
2．将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形．若其中一个扇形的弧长为5π，则另一个扇形的圆心角度数是多少？（　　）
A．30
B．60
C．105
D．210
3．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，点D在OA上，连接BD，点C在AB上，且点C，O关于直线BD对称，连接CD，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．﹣
B．π﹣
C．﹣
D．﹣
4．如图，?ABCD中，∠C＝110°，AB＝2，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，垂足为M，连接OB、AC，如果OB∥AC，OB＝2，那么图中阴影部分的面积是（　　）
A．
B．
C．π
D．2π
6．如图，点C在以AB为直径的半圆上，O为圆心．若∠BAC＝30°，AB＝12，则阴影部分的面积为（　　）
A．6π
B．12π
C．18π
D．9+
7．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为5，AB＝4，则的长是（　　）
A．
B．
C．
D．4π
8．如图，BC为⊙O直径，若∠A＝80°，BC＝6，则图中灰色区域的面积为（　　）
A．2π
B．3π
C．4π
D．5π
二．填空题（共9小题）
9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，AC＝6，BD＝6；以AD为直径构造⊙O，则阴影部分的面积是
　
　．
10．如图所示的扇形中，已知OA＝20，AC＝30，的长为40，则的长：　
　．
11．如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为
　
　．
12．如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是
　
　．（结果保留π）
13．已知一个扇形的面积是15π，圆心角为150°，则此扇形的弧长为
　
　．
14．如图，AB是⊙的直径，半径OA的垂直平分线交⊙O于C，D两点，∠C＝30°，CD＝2，则阴影部分的面积是
　
　．
15．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC＝3，BC＝2，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为　
　．
16．如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转45°后，到Rt△AED，点B经过的路径为弧BE，已知AC＝2，则图中阴影部分的面积为　
　．
17．如图，已知BC＝6，∠ACB＝90°，以点C为圆心，BC为半径作弧AB，又以AC为直径作半圆，圆心为O，过点O作AC的垂线，分别交弧AB、弧AC于点M、N，则阴影部分的面积是　
　．
三．解答题（共5小题）
18．如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．
（1）EM与BE的数量关系是
　
　；
（2）求证：＝；
（3）若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积．
19．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连接OC、AC、BD．
（1）求证：∠ACO＝∠CDB；
（2）若CD＝6，BE＝，求弧AD的长；
20．如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB＝30°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）若弦BC＝2cm，求图中阴影部分的面积．
21．如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连接AE交⊙O于点F，连接BF并延长交CD于点G，OA＝3．
（1）求证：△ABE≌△BCG；
（2）若∠AEB＝55°，求劣弧的长．（结果保留π）
22．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝6，∠ABC＝30°，求图中阴影部分的面积．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．解：∵OC＝12m，AC＝4m，
∴OA＝OC+AC＝12+4＝16（m），
∵∠AOB＝120°，
∴弯道外边缘的长为：＝（m），
故选：C．
2．解：由题意可求得圆形的周长C＝2π×6＝12π，
其中一个扇形的弧长L1＝5π，则另一个扇形的弧长L2＝12π﹣5π＝7π，
设另一个扇形的圆心角度数为n°，
根据弧长公式：L＝，有：
7π＝，解得n＝210，
故选：D．
3．解：连接OC交BD于点E．
∴扇形的面积＝×22π＝π，
∵点O与点D关于BC对称，
∴OE＝EC＝1，OC⊥BD．
在Rt△OBE中∠OBC＝30°．
∴BD＝，
∴阴影部分的面积＝扇形面积﹣四边形OBCD的面积
＝π﹣?BD?OC＝π﹣．
故选：B．
4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠C＝110°，
∴∠B＝70°，
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∴∠OEB＝70°，
∴∠AOE＝∠B+∠OEB＝70°+70°＝140°，
∵AB＝2，AB为⊙O的直径，
∴OA＝OB＝OE＝1，
∴的长为：＝，
故选：C．
5．解：∵弦BC⊥OA，垂足为M，
∴BM＝CM，
∵OB∥AC，
∴∠OBM＝∠ACM，
在△ACM和△OBM中
，
∴△ACM≌△OBM（ASA），
∴OM＝AM＝OA，
∴∠AOB＝60°，
∴S阴影＝S＝＝，
故选：B．
6．解：∵直径AB＝12，点C在半圆上，∠BAC＝30°，
∴OA＝OB＝6，∠ACB＝90°，∠COB＝60°，
∴S△AOC＝S△BOC，
∴阴影部分的面积＝S扇形BCO＝＝6π，
故选：A．
7．解：连接AC，OB，OD，CD，作CF⊥AB于点F，作OE⊥CF于点E，
由垂定理可知OD⊥AB于点D，AD＝BD＝＝．
又OB＝5，
∴OD＝＝＝，
∵CA、CD所对的圆周角为∠CBA、∠CBD，且∠CBA＝∠CBD，
∴CA＝CD，△CAD为等腰三角形．
∵CF⊥AB，
∴AF＝DF＝＝，
又四边形ODFE为矩形且OD＝DF＝，
∴四边形ODFE为正方形．
∴，
∴CE＝＝＝2，
∴CF＝CE+EF＝3＝BF，
故△CFB为等腰直角三角形，∠CBA＝45°，
∴所对的圆心角为90°，
∴＝＝．
故选：A．
8．解：∵∠A＝80°，
∴∠B+∠C＝180°﹣80°＝100°，
∵OB＝OD，OE＝OC，
∴∠ODB＝∠B，∠OEC＝∠C，
∴∠ODB+∠OEC＝100°，
∴∠DOB+∠EOC＝160°，
∴图中灰色区域的面积＝＝4π，
故选：C．
二．填空题（共9小题）
9．解：∵四边形ABCD为菱形，AC＝6，BD＝6，
∴AE＝3，DE＝3，AC⊥BD，
∴AD＝＝6，
∴S△ADE＝＝，
∴图中的阴影部分的面积＝S半圆﹣S△ADE＝﹣＝﹣，
故答案为：﹣．
10．解：设∠AOB＝n．
由题意＝40，
∴nπ＝360，
∴＝＝100，
故答案为：100．
11．解：连接PB、PC，作PF⊥BC于F，
∵PB＝PC＝BC，
∴△PBC为等边三角形，
∴∠PBC＝60°，∠PBA＝30°，
∴BF＝PB＝1，PF＝，
则图中阴影部分的面积＝[扇形ABP的面积﹣（扇形BPC的面积﹣△BPC的面积）]×2
＝[﹣（﹣×2×）]×2＝2﹣，
故答案为：2﹣．
12．解：∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB
＝
＝π﹣．
故答案为：π﹣．
13．解：∵一个扇形的面积是15π，圆心角为150°，S扇形＝，
∴15π＝，
解得r＝6，
∴此扇形的弧长为：＝5π，
故答案为：5π．
14．解：连接OC、AD，
∵∠ACD＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∵OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∵AB⊥CD，
∴OA平分CD，
∴CE＝DE＝CD＝，
∵CD垂直平分OA，
∴四边形ACOD是菱形，
在Rt△ACE中，AC＝2，
∴阴影部分面积＝＝π．
故答案为：．
15．解：∵△ABC绕点C旋转120°得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴S△ABC＝S△A′B′C，∠BCB′＝∠ACA′＝120°．
∵AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′+S△ABC﹣S扇形BCB′﹣S△A′B′C，
∴AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′﹣S扇形BCB′，
∴AB扫过的图形的面积＝﹣＝．
故答案为：．
16．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，
∴∠CAB＝60°，
∴∠ABC＝30°
∴AB＝2AC＝2×2＝4，
由题意得，△ACB≌△ADE，∠BAE＝45°，
则图中阴影部分的面积＝S△AED+S扇形EAB﹣S△ACB＝S扇形EAB＝＝2π，
故答案为：2π．
17．解：连接CM，如图，
在Rt△OCM中，OC＝AC＝3，CM＝CB＝6，
∴∠OCM＝60°，OM＝OC＝3，
∴阴影部分的面积＝S扇形ACM﹣S扇形AON﹣S△OCM
＝﹣﹣
＝﹣．
故答案为﹣．
三．解答题（共5小题）
18．解：（1）∵AC为⊙O的直径，点E是的中点，
∴∠ABE＝45°，
∵AB⊥EN，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴BE＝EM，
故答案为BE＝EM；
（2）连接EO，AC是⊙O的直径，E是的中点，
∴∠AOE＝90°，
∴∠ABE＝∠AOE＝45°，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠EMB＝90°
∴∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴＝，
∵点E是的中点，
∴＝，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
∴＝；
（3）连接AE，OB，ON，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠AME＝∠EMB＝90°，
∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴EM＝BM＝1，
又∵BE＝EM，
∴BE＝，
∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM＝，
∴∠EAB＝30°，
∵∠EAB＝∠EOB，
∴∠EOB＝60°，
又∵OE＝OB，
∴△EOB是等边三角形，
∴OE＝BE＝，
又∵＝，
∴BE＝CN，
∴△OEB≌△OCN（SSS），
∴CN＝BE＝
又∵S扇形OCN＝＝，S△OCN＝CN?CN＝×＝，
∴S阴影＝S扇形OCN﹣S△OCN＝﹣．
19．（1）证明：∵OC＝OA，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠A＝∠CDB，
∴∠ACO＝∠CDB；
（2）解：连接OD，
设⊙O的半径为r，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，CD＝6，
∴DE＝CD＝3，AB⊥CD，
在Rt△OED中，OD2＝OE2+DE2，即r2＝（r﹣）2+32，
解得，r＝2，
∴∠DOE＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∴弧AD的长＝＝π．
20．解：（1）连接OB，
∵BC⊥OA，
∴BE＝CE，，
又∵∠ADB＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB＝2∠ADB，
∴∠AOC＝60°．
（2）∵，
∴，
∵∠AOC＝60°，
∴∠C＝30°，
设OE＝x，OC＝2x，
∵OE2+EC2＝OC2，
∴OE＝x＝1，OC＝2x＝2，
∴S阴影＝S扇形OBC﹣S△OBC＝＝（π﹣）（cm2）．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCG＝90°，
∵AB是直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BAE+∠ABF＝90°，∠ABF+∠CBG＝90°，
∴∠BAE＝∠CBG，
在△ABE和△BCG中，
，
∴△ABE≌△BCG（ASA）．
（2）解：连接OF，
∵∠ABE＝90°，∠AEB＝55°，
∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，
∴∠BOF＝2∠BAE＝70°，
∵OA＝3，
∴的长＝＝．
22．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，
又∵OC为半径，
∴AE＝ED，
（2）解：连接CD，OD，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝∠OCB+∠ABC＝60°，
∵OC⊥AD，
∴＝，
∴∠COD＝∠AOC＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∵AB＝6，
∴BD＝3，AD＝3，
∵OA＝OB，AE＝ED，
∴OE＝＝，
∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD＝﹣×＝3π﹣．