《2.4圆周角》同步培优提升训练（Word版 附答案）2021-2022学年九年级数学苏科版上册

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《2.4圆周角》同步培优提升训练（附答案）
一．选择题（共8小题）
1．如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点E，连接OC，BD．若∠ABD＝20°，∠AED＝80°，则∠COB的度数为（　　）
A．80°
B．100°
C．120°
D．140°
2．如图，点A，B，C为⊙O上的三点，∠AOB＝∠BOC，∠BAC＝30°，则∠AOC的度数为（　　）
A．100°
B．90°
C．80°
D．60°
3．如图，⊙O的内接四边形ABCD，它的一个外角∠CBE＝56°，则∠AOC的度数为（　　）
A．56°
B．124°
C．112°
D．146°
4．如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（　　）
A．2
B．2
C．
D．1
5．如图，在圆O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（　　）
A．16
B．20
C．18
D．22
6．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为（　　）
A．
B．2
C．2
D．4
7．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB＝25°，则∠OCD的度数是（　　）
A．50°
B．60°
C．65°
D．70°
8．如图，AB为⊙O的弦，AB＝8，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN长的最大值是（　　）
A．4
B．5
C．4
D．5
二．填空题（共10小题）
9．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ADC＝58°，则∠BAC＝　
　°．
10．如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5cm，点D在圆上且∠ADC＝30°，则⊙O的半径为
　
　cm．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE＝　
　．
12．如图，已知四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠BOD＝80°，则∠BCD＝　
　．
13．如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．其中正确的结论是　
　（填序号）．
①∠MAC＝∠PBC，
②△ABC是等边三角形，
③PC＝PA+PB，
④若PA＝1，PB＝2，则△PCM的面积＝．
14．如图，半圆的直径AB＝6，C为半圆上一点，连接AC，BC，D为BC上一点，连接OD，交BC于点E，连接AE，若四边形ACDE为平行四边形，则AE的长为　
　．
15．已知⊙O的半径为2，AB是⊙O的弦，点P在⊙O上，AB＝2．若点P到直线AB的距离为1，则∠PAB的度数为　
　．
16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，∠ABC＝40°，OD∥BC，则∠BCD的度数为　
　．
17．如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝2，则半径OB等于　
　．
18．如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB＝10，AC＝8，则BD的长为　
　．
三．解答题（共6小题）
19．如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．
20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD相交于点E．
（1）如图1，若AC＝BD，求证：AE＝DE；
（2）如图2，若AC⊥BD，连接OC，求证：∠OCD＝∠ACB．
21．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，＝．
（1）求证：OD∥BC；
（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．
22．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上且不与点A，B重合，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为点G，交⊙O于点E，连接CE交BD于点F，连接FG．
（1）求证：FG＝DE；
（2）若AB＝4，FG＝4，求AG的长．
23．如图，AB是半圆O的直径，D是的中点，DE⊥AB于点E，AC交DE于点F．
（1）求证：∠DAF＝∠ADF；
（2）若CD＝2，半圆O的半径为5，求BC的长．
24．如图，以P（0，3）为圆心，6为半径的⊙P交x轴于点A、B，交y轴于点C、D，连接BP并延长交⊙P于点E，连接DE交x轴于点F．
（1）求∠CDE的度数；
（2）求△BEF的面积．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．解：∵∠ABD＝20°，∠AED＝80°，
∴∠D＝∠AED﹣∠ABD＝80°﹣20°＝60°，
∴∠COB＝2∠D＝120°，
故选：C．
2．解：∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形，
∵∠AOB＝∠BOC＝20°，
∴∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝60°+20°＝80°，
故选：C．
3．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠CBE+∠ABC＝180°，∠CBE＝56°，
∴∠ADC＝∠CBE＝56°，
由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ADC＝112°，
故选：C．
4．解：连接AD、AE、OD、OC、OE，过点O作OH⊥CE于点H，
∵∠DCE＝100°，
∴∠DAE＝180°﹣∠DCE＝80°，
∵点D关于AB对称的点为E，
∴∠BAD＝∠BAE＝40°，
∴∠BOD＝∠BOE＝80°，
∵点C是的中点，
∴∠BOC＝∠COD＝40°，
∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝120°，
∵OE＝OC，OH⊥CE，
∴EH＝CH，∠OEC＝∠OCE＝30°，
∵直径AB＝4，
∴OE＝OC＝2，
∴EH＝CH＝，
∴CE＝2．
故选：A．
5．解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E．
∵∠A＝∠B＝60°，
∴∠ADB＝60°，
∴△ADB为等边三角形，
∴BD＝AD＝AB＝12，
∴OD＝4，
又∵∠ADB＝60°，
∴DE＝OD＝2，
∴BE＝10，
∵OE⊥BC，
∴BC＝2BE＝20．
故选：B．
6．解：由圆周角定理得，∠BOC＝2∠A＝90°，
∴BC＝OC＝2，
故选：B．
7．解：连接OD，
∵∠DAB＝25°，
∴∠BOD＝2∠DAB＝50°，
∴∠COD＝90°﹣50°＝40°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝（180°﹣∠COD）＝70°，
故选：D．
8．解：如图，∵点M，N分别是AB，BC的中点，
∴MN＝AC，
∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，当AC是直径时，AC最大，
连接AO并延长交⊙O于点C′，连接BC′，
∵AC′是⊙O的直径，
∴∠ABC′＝90°．
∵∠ACB＝45°，AB＝8，
∴∠AC′B＝45°，
∴AC′＝AB＝8，
∴MN最大＝4．
故选：C．
二．填空题（共10小题）
9．解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠ADC＝58°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝32°．
故答案为32．
10．解：如图，连接OC．
∵∠AOC＝2∠ADC，∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA＝AC＝5（cm），
∴⊙O的半径为5cm．
故答案为：5．
11．解：如图，连接DC，
∵∠DBC＝90°，
∴DC是⊙O的直径，
∵点B是的中点，
∴∠BCD＝∠BDC＝45°，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，
∴∠ACB＝90°﹣32°＝58°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝58°﹣45°＝13°＝∠ABE，
故答案为：13°．
12．解：∵∠BAD为所对的圆周角且∠BOD＝80°，
∴∠BAD＝＝＝40°，
又∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°,
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝180°﹣40°＝140°，
故答案为：140°．
13．解：∵A、P、B、C是⊙O上的四点，
∴∠PBC+∠PAC＝180°，
∵∠PAC+∠MAC＝180°，
∴∠MAC＝∠PBC；故①正确；
∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，故②正确；
∵四边形APBC是⊙O的内接四边形，
∴∠MAC＝∠PBC，∠ACB+∠APB＝180°；
∵CM∥BP，
∴∠M+∠APB＝180°，
∴∠M＝∠ACB；
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠BAC＝60°，AC＝BC；而∠BPC＝∠BAC＝60°，
∴∠M＝∠BPC；
在△ACM与△BCP中，
，
∴△ACM≌△BCP（AAS）．
∴PB＝AM，PA+PB＝PA+AM＝PM；
∵∠M＝∠BPC＝60°，∠APC＝∠ABC＝60°，
∴△MPC为等边三角形，
∴PC＝PM，
∴PC＝PA+PB，故③正确；
∵△ACM≌△BCP，
∴AM＝PB＝2，
∴PM＝PA+AM＝1+2＝3，
∵△PCM是等边三角形，
∴△PCM的面积＝CM2＝，故④正确，
故答案为：①②③④．
14．解：如图，连接OC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AC＝DE，CD＝AE，AC∥DE，
∴∠ACE＝∠DEC＝90°，
∴OD⊥BC，
∴EC＝EB，
∵OA＝OB，
∴AC＝2OE＝DE，
∵OD＝OC＝3，
∴OE＝1，DE＝2，
∴CE2＝OC2﹣OE2＝CD2﹣DE2，
∴32﹣12＝CD2﹣22，
∴CD＝2或﹣2（舍弃）．
故答案为：2．
15．解：如图作OP1⊥AB交⊙O于P1交AB于H，过点O作直线P2P3∥AB交⊙O于P2，P3．
∵OA＝OB，OH⊥AB，AB＝2，OA＝2，
∴AH＝BH＝，
∴OH＝＝1
∴HP1＝1，
∴直线AB与直线P2P3之间的结论距离为1，
∴P1，P2，P3是满足条件的点，
∵OA＝2OH，
∴∠OAH＝30°，可得∠BOP1＝60°，∠BOP3＝∠AOP2＝30°，∠OAP2＝∠OP2A＝75°，
∴∠P1AB＝∠BOP1＝30°，∠P3AB＝∠BOP3＝15°，
∠P2AB＝180°﹣75°＝105°，
故答案为：15°或30°或105°．
16．解：∵∠ABC＝40°，OD∥BC，
∴∠AOD＝∠ABC＝40°，
∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ADO＝（180°﹣∠AOD）＝70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣70°＝110°，
故答案为：110°．
17．解：∵半径OC⊥弦AB于点D，
∴＝，
∴∠E＝∠BOC＝22.5°，
∴∠BOD＝45°，
∴△ODB是等腰直角三角形，
∵AB＝2，
∴DB＝OD＝1，
∴OB＝＝＝．
故答案为：．
18．解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，BC＝＝＝6，
∵OD⊥AC，
∴CD＝AD＝AC＝4，
在Rt△BCD中，BD＝＝＝2．
故答案为2．
三．解答题（共6小题）
19．解：（1）连接OD，如图：
∵M是CD的中点，CD＝12，
∴DM＝CD＝6，OM⊥CD，∠OMD＝90°，
Rt△OMD中，OD＝，且OM＝3，
∴OD＝＝3，即圆O的半径长为3；
（2）连接AC，延长AF交BD于G，如图：
∵AB⊥CD，CE＝EF，
∴AB是CF的垂直平分线，
∴AF＝AC，即△ACF是等腰三角形，
∵CE＝EF，
∴∠FAE＝∠CAE，
∵＝，
∴∠CAE＝∠CDB，
∴∠FAE＝∠CDB，
Rt△BDE中，∠CDB+∠B＝90°，
∴∠FAE+∠B＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴AG⊥BD，即AF⊥BD．
20．证明：（1）∵AC＝BD，
∴＝，
即+＝+，
∴＝，
∴∠ADB＝∠CAD，
∴AE＝DE；
（2）作直径CF，连接DF，如图2，
∵AC⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE+∠CAD＝90°，
∵∠ACB＝∠ADE，∠F＝∠CAD，
∴∠ACB+∠F＝90°，
∵CF为直径，
∴∠CDF＝90°，
∴∠F+∠FCD＝90°，
∴∠ACB＝∠FCD，
即∠OCD＝∠ACB．
21．解：（1）∵＝，
∴OD⊥AC，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
∴：OD∥BC．
（2）∵AD＝CD，
∴OD⊥AC于点E且AE＝CE，
又∵AC＝10，
∴，
∵DE＝4，
设⊙O半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣4，
在Rt△AOE中，
OA2＝OE2+AE2，即R2＝（R﹣4）2+52，
∴，
又∵O，E为AB，AC的中点，
∴OE＝，OE∥BC，
∴BC＝2OE＝．
22．（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠E＝∠CBD，
∴∠E＝∠ABD，
∵DE⊥AB，
∴DG＝EG，∠BGD＝90°，
∵∠ABD+∠BDG＝90°，
∴∠E+∠FDE＝90°，
∴∠EFD＝90°，
∴GF＝DE；
（2）解：连接OD，如图，则OD＝OA＝AB＝2，
∵FG＝DG＝4，
∴OG＝＝2，
∴AG＝OA﹣OG＝2﹣2．
23．（1）证明：连接BD，
∵D为的中点，
∴＝，
∴∠DAC＝∠ABD，
∵AB为半圆O的直径，DE⊥AB，
∴∠DEA＝∠ADB＝90°，
∴∠ADF+∠DAE＝∠DAE+∠ABD＝90°，
∴∠ADF＝∠ABD，
∴∠DAF＝∠ADF；
（2）解：连接OD交AC于H，
∵＝，OD过O，
∴OD⊥AC，AD＝CD＝2，
在Rt△AOH中，AH2＝OA2﹣OH2，
在Rt△ADH中，AH2＝AD2﹣DH2，
∴OA2﹣OH2＝AD2﹣DH2，
即52﹣OH2＝（2）2﹣（5﹣OH）2，
解得：OH＝3，
∵D为的中点，OD过O，
∴AH＝CH，
∵AO＝BO，
∴OH＝BC，
∴BC＝2OH＝6．
24．解：（1）∵P（0，3），
∴OP＝3，
∵⊙P的半径是6，
∴PB＝6，
∴OP＝PB，
∵x轴⊥y轴，
∴∠POB＝90°，
∴∠PBO＝30°，
∴∠BPO＝90°﹣30°＝60°，
∵PE＝PD，∠E+∠CDE＝∠BPO，
∴∠CDE＝∠E＝60°＝30°；
（2）连接PF，
∵∠PBO＝∠E＝30°，
∴BF＝EF，
∵PE＝PB＝6，
∴PF⊥BE，
即∠EPF＝90°，
∴EF＝2PF，
由勾股定理得：PE2+PF2＝EF2，
即62+PF2＝（2PF）2，
解得：PF＝2，
EF＝BF＝4，
∴△BEF的面积是＝＝12．