《第2章轴对称图形》同步达标测评（Word版 附答案） 2021-2022学年苏科版八年级数学上册

2021-2022年度苏科版八年级数学上册《第2章轴对称图形》同步能力达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．等腰三角形的一边长9cm，另一边长4cm，则它的周长是（　　）
A．22
cm
B．17
cm
C．22cm或17cm
D．无法确定
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AC，交BC于占D，AD＝4，则BC的长为（　　）
A．8
B．4
C．12
D．6
3．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　）
A．8
B．7.5
C．15
D．无法确定
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．如图，在△ABC中，点D在边BC上，且满足AB＝AD＝DC，过点D作DE⊥AD，交AC于点E．设∠BAD＝α，∠CAD＝β，∠CDE＝γ，则（　　）
A．2α+3β＝180°
B．3α+2β＝180°
C．β+2γ＝90°
D．2β+γ＝90°
6．如图，已知△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝10，则△DEB的周长为（　　）
A．9
B．5
C．10
D．不能确定
7．如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，△ABD与△ADB′关于直线AD对称，点B的对称点是点B′，若∠B′AC＝14°，则∠B的度数为（　　）
A．38°
B．48°
C．50°
D．52°
8．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是BC边上的中线，CE平分∠BCA交AB于点E，AD、CE相交于点F，则∠CFA的度数是（　　）
A．100°
B．105°
C．110°
D．120°
9．如图已知等腰△ABC的底角∠C＝15°，顶点B到边AC的距离是3cm，则AC的长为（　　）
A．3cm
B．4cm
C．5cm
D．6cm
10．如图1，?ABCD的对角线交于点O，?ABCD的面积为120，AD＝20．将△AOD、△COB合并（A与C、D与B重合）形成如图2所示的轴对称图形，则MN+PQ＝（　　）
A．29
B．26
C．24
D．25
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．如图，△ABC的周长为20cm，若∠ABC，ACB的平分线交于点O，且点O到AC边的距离为cm，则△ABC的面积为
　
　cm2．
12．如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于点M，交OB于点N，若∠P1PP2＝132°，则∠MPN＝　
　．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连接BD．若CD＝1，则AD的长为
　
　．
14．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，点D是OB上的动点，若PC＝1cm，则PD的长的最小值为
　
　．
15．如图所示，AD是△ABC的平分线，DF⊥AB于点F，DE＝DG，若S△DEF＝2，S△ADG＝9：则△ADE的面积为
　
　．
16．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝1，则PE+PF＝　
　．
17．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是
　
　．
18．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的底角度数是　
　．
19．如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：
①CP平分∠ACF；②∠BPC＝∠BAC；③∠APC＝90°﹣∠ABC；④S△APM+S△CPN＞S△APC．
其中结论正确的为　
　．（填写结论的编号）
20．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、Q同时在不等边△ABC的内部时，∠BOC＝100度，那么∠BPC＝　
　．
三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）
21．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，分别交BD、BC于点G、E，过点B作AE的垂线BF，分别交AE、AC于点H、F．
（1）求证：BF平分∠DBC；
（2）若∠ABF＝3∠C，求∠C的度数．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的角平分线交AC于点D，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E．
（1）若∠BAC＝50°，求∠E的度数．
（2）若F是DE上的一点，且AD＝AF，BF与DE相等吗？请说明理由．
23．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，E为边AC上一点，连接DE，EC＝ED，过点E作EF⊥AB，垂足为F．
（1）判断DE与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A＝30°，∠ACB＝80°，求∠DEF的度数．
24．如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE．
（1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长．
（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数．
25．在△ABC中，∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，点F和E分别为射线CA和射线BC上的一个点，连结BF和EF，且∠BFE＝∠FEB．
（1）如图1，点F在线段AC上，点E在线段BC上时，
①当∠ABF＝20°时，则∠CFE＝　
　度；
②∠ABF和∠CFE存在怎样的数量关系？请说明理由．
（2）如图2，当点F在CA延长线上，点E在BC延长线上时，∠ABF和∠CFE是否仍然存在（1）的数量关系？请说明理由．
26．已知在△ABC与△CDE中，AB＝CD，∠B＝∠D，∠ACE＝∠B，点B、C、D在同一直线上，射线AH、EI分别平分∠BAC、∠CED．
（1）如图1，试说明AC＝CE的理由；
（2）如图2，当AH、EI交于点G时，设∠B＝α，∠AGE＝β，求β与α的数量关系，并说明理由；
（3）当AH∥EI时，求∠B的度数．
参考答案
一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．解：①当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，9cm，
∵4+4＜9，
∴不符合三角形的三边关系定理，此种情况舍去；
②当腰为9cm时，三边为4cm，9cm，9cm，
此时符合三角形的三边关系定理，
此时等腰三角形的周长是4cm+9cm+9cm＝22cm，
故选：A．
2．解：∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD⊥AC，AD＝4，
∴CD＝2AD＝2×4＝8，
∵∠C+∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝90°﹣30°＝60°，
∵∠ADC＝∠DAB+∠B，
∴∠DAB＝30°，
∴∠DAB＝∠B，
∴DB＝AD＝4，
∴BC＝BD+DC＝4+8＝12，
故选：C．
3．解：过D点作DE⊥BC于E，如图，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，
∴DE＝DA＝3，
∴△BCD的面积＝×5×3＝7.5．
故选：B．
4．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°,
∵E是AB的中点,AB＝4，
∴CE＝BE＝,
∴△BCE为等边三角形，
∵CD⊥AB,
∴DE＝BD＝,
故选：A．
5．解：∵AB＝AD＝DC，∠BAD＝α，
∴∠B＝∠ADB，∠C＝∠CAD＝β，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠CAD+∠AED＝90°，
∵∠CDE＝γ，∠AED＝∠C+∠CDE，
∴∠AED＝γ+β，
∴2β+γ＝90°，
故选：D．
6．解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，
∵AC＝BC，
∴BC＝AE，
∴△DEB的周长＝BD+DE+BE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝AE+BE＝AB＝10．
故选：C．
7．解：∵∠BAD+∠B’AD+∠B’AC＝90°，且∠BAD＝∠B’AD，∠B′AC＝14°，
∴∠BAD＝38°
∴∠B＝90°﹣38°＝52°
故选：D．
8．解：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠ACB＝（180°﹣100°）÷2＝40°，
∵CE平分∠BCA，
∴∠BCE＝20°，
∵AD是BC边上的中线，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CFA＝90°+20°＝110°．
故选：C．
9．解：∵等腰△ABC的底角∠C＝15°，
∴∠ABC＝15°，
∴∠BAD＝15°+15°＝30°，
在Rt△ADB中，∠D＝90°，BD＝3cm，
∴AB＝2BD＝6cm，
∴AC＝AB＝6cm．
故选：D．
10．解：如图，连接PQ，
则可得对角线PQ⊥MN，且PQ与平行四边形的高相等．
∵平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD＝20，
∴MN＝AD＝20，，
∴PQ＝6，
又MN＝20，
∴MN+PQ＝26，
故选：B．
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．解：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OG⊥AC于G，OF⊥BC于F，
∵∠ABC，ACB的平分线交于点O，
∴OE＝OF，OG＝OF，
∴OE＝OF＝OG，
∵点O到AC边的距离为cm，
∴OE＝OF＝OG＝cm，
∵△ABC的周长为20cm，
∴AB+BC+AC＝20cm，
∴△ABC的面积S＝S△ABO+S△BCO+S△ACO
＝
＝××（AB+BC+AC）
＝×20
＝15（cm2），
故答案为：15．
12．解：∵P点关于OA的对称是点P1，P点关于OB的对称点P2，
∴∠P2＝∠P2PN，∠P1＝∠P1PM，
∵∠P2PP1＝132°，
∴∠P1+∠P2＝∠P2PN+∠P1PM＝180°﹣∠P1PP2＝180°﹣132°＝48°，
∴∠MPN＝∠P1PP2﹣∠P2PN﹣∠P1PM＝132°﹣48°＝84°，
故答案为：84°．
13．解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠A＝30°，
∴∠ABD＝30°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝30°+30°＝60°，
∵∠C＝90°，
∴∠CBD＝30°，
∵CD＝1，
∴BD＝2CD＝2，
∴AD＝2．
故答案为2．
14．解：过P点作PE⊥OB于E，如图，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PC＝1cm，
∵点D是OB上的动点，
∴PD的最小值为1cm．
故答案为1cm．
15．解：过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DH＝DF，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴△DEF的面积＝△DGH的面积＝2，
同理可证，Rt△ADF≌Rt△ADH，
∴△ADF的面积＝△ADH的面积＝9﹣2＝7，
∴△ADE的面积＝△ADF的面积﹣△DEE的面积＝7﹣2＝5，
故答案为：5．
16．解：如图所示，连接AP，则S△ABC＝S△ACP+S△ABP，
∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，
∴S△ACP＝AC×PF，S△ABP＝AB×PE，
又∵S△ABC＝1，AB＝AC＝2，
∴1＝AC×PF+AB×PE，
即1＝×2×PF+×2×PE，
∴PE+PF＝1，
故答案为：1．
17．解：如图所示，过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA＝PE，PD＝PE，
∴PE＝PA＝PD，
∵PA+PD＝AD＝8，
∴PA＝PD＝4，
∴PE＝4，即点P到BC的距离是4．
故答案为：4．
18．解：在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°，
当BD在△ABC内部时，如图1，
∵BD为高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣40°＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣50°）＝65°；
当BD在△ABC外部时，如图2，
∵BD为高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣40°＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
而∠BAD＝∠ABC+∠ACB，
∴∠ACB＝∠BAD＝25°，
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为65°或25°．
故答案为：65°或25°．
19．解：①作PD⊥AC于D．
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），
故①正确；
②∵PB平分∠ABC，CP平分∠ACF，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACF＝2∠PCF，
∵∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠PCF＝∠PBF+∠BPC，
∴∠BAC＝2∠BPC，
∴∠BPC＝∠BAC，故②正确；
③∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
∴∠APC＝90°﹣∠ABC，故③正确；
④∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACF，
∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠PCN＝∠ACF＝∠BPC+∠ABC，
∴∠BAC＝2∠BPC，
∴∠BPC＝∠BAC，故本小题正确；
∵S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④不正确．
综上所述，①②③正确．
故答案为：①②③．
20．解：连接AO，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠BAC）
＝90°+∠BAC，
∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，
∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC，
∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC），
＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC），
＝2∠OAB+2∠OAC
＝2∠BAC，
∴2∠BAC＝100°，
解得，∠BAC＝50°，
∴∠BPC＝90°+×50°＝115°，
故答案为：115°．
三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）
21．（1）证明：∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠DBC＝90°，∠DBC+∠C＝90°，
∴∠ABD＝∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠BGE＝∠ABD+∠BAE，∠BEG＝∠C+∠EAC，
∴∠BGE＝∠BEG，
∴BG＝BE，
∵BF⊥EG，
∴BF平分∠DBC．
（2）解：∵∠ABF＝3∠C，∠ABD＝∠C，BF平分∠DBC，
∴∠FBD＝∠FBC＝2∠C，
∴5∠C＝90°，
∴∠C＝18°．
22．解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝65°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC＝32.5°，
∵AE∥BC，
∴∠E＝∠CBD＝32.5°．
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AE∥BC，
∴∠AEF＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠AEF，
∵AD＝AF，
∴∠ADF＝∠AFD，
∵∠ADB＝180°﹣∠ADF，∠AFE＝180°﹣∠AFD，
∴∠ADB＝∠AFE，
在△ABD与△AEF中，
，
∴△ABD≌△AEF（AAS），
∴BD＝EF，
∴BD+DF＝EF+DF，
∴BF＝DE．
23．解：（1）DE∥BC，理由如下：
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵EC＝ED，
∴∠ACD＝∠EDC，
∴∠BCD＝∠EDC，
∴DE∥BC；
（2）∵EF⊥AB，∠A＝30°，
∴∠AEF＝60°，
∵∠ACB＝80°，DE∥BC，
∴∠AED＝∠ACB＝80°，
∴∠DEF＝∠AED﹣∠AEF＝80°﹣60°＝20°．
24．解：（1）∵BD是线段AE的垂直平分线，
∴AB＝BE，AD＝DE，
∵△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，
∴AB+BE+EC+CD+AD＝18，CD+EC+DE＝CD+CE+AD＝6，
∴AB+BE＝18﹣6＝12，
∴AB＝6；
（2）∵∠ABC＝30°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
在△BAD和△BED中，
，
∴△BAD≌△BED（SSS），
∴∠BED＝∠BAC＝105°，
∴∠CDE＝∠BED﹣∠C＝105°﹣45°＝60°．
25．解：（1）①在△ABC中，∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，∠ABF＝20°，
∴∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝40°，
∵∠BFE＝∠FEB，
∴∠FEB＝×（180°﹣∠FBC）＝70°，
∵∠FEB＝∠CFE+∠C，
∴∠CFE＝∠FEB﹣∠C＝70°﹣60°＝10°，
故答案为：10；
②∠ABF＝2∠CFE，理由如下：
设∠ABF＝x°则∠CBF＝60°﹣x°，
∵∠FBE+∠BFE+∠BEF＝180°，∠BFE＝∠FEB，
∴，
∵∠FBC+∠BFC+∠ACB＝180°，∠ACB＝60°，
∴∠BFC＝180°﹣60°﹣（60°﹣x°）＝60°+x°，
∴，
∴∠ABF＝2∠CFE．
（2）存在∠ABF＝2∠CFE，理由如下：
设∠ABF＝x°则∠CBF＝60°+x°，
∵∠FBE+∠BFE+∠BEF＝180°，∠BFE＝∠FEB，
∴，
∵∠FBC+∠BFC+∠ACB＝180°，∠ACB＝60°，
∴∠BFC＝180°﹣60°﹣（60°+x°）＝60°﹣x°，
∴，
∴∠ABF＝2∠CFE．
26．（1）证明：∵∠ACD＝∠ACE+∠ECD＝∠A+∠B，
又∠B＝∠ACE，
∴∠A＝∠ECD．
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA）．
∴AC＝CE．
（2）解：3α﹣2β＝180°．理由如下：
如图1所示，连接GC并延长至点K．
∵AH、EI分别平分∠BAC、∠DEC，
则设∠CAH＝∠BAH＝a，∠CEI＝∠DEI＝b，
∵∠ACK为△ACG的外角，
∴∠ACK＝a+∠AGC，
同理可得∠ECK＝b+∠EGC，
∴∠ACE＝∠ACK+∠ECK＝∠B＝α
＝（a+∠AGC）+（b+∠EGC）＝a+b+∠AGE＝a+b+β，
即α＝a+b+β，
∴a+b＝α﹣β．
又由（1）中证明可知∠ECD＝∠BAC＝2a，
由三角形内角和公式可得∠ECD+∠DEC+∠D＝180°，
即2a+2b+α＝180°，
∴2（a+b）+α＝180°，
∴3α﹣2β＝180°．
（3）当AH∥EI时，如图2所示，
过点C作MN∥AH，则MN∥AH∥EI．
∴∠CAH＝∠ACM＝a，∠CEI＝∠ECM＝b，
∴∠ACE＝∠ACM+∠ECM＝a+b＝α，即α＝a+b．
由（1）中证明可得∠ECD＝∠BAC＝2a，∠D＝∠B＝α．
在△CED中，根据三角形内角和定理有∠ECD+∠CED+∠D＝180°，
即2a+2b+α＝180°，
即2（a+b）＝180°﹣α，
即3α＝180°，解得：α＝60°．
故∠B＝60°．