1.3.1用“边角边”判定两个三角形全等【自主提升练习】 2021-2022学年苏科版八年级数学上册（Word版 含答案）

1.3.1用“边角边”判定两个三角形全等
【自主提升练】-2021-2022学年八年级数学上册（苏科版）
一、选择题
1、在△ABC和△DEF中，下列给出的条件，能用“SAS”判定这两个三角形全等的是（
）
A．AB＝DE，BC＝DF，∠A＝∠D
B．AB＝BC，DE＝EF，∠B＝∠E
C．AB＝EF，AC＝DF，∠A＝∠D
D．BC＝EF，AC＝DF，∠C＝∠F
2、如图，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC上一点，AD＝AE，BE、CD相交于点M．若∠BAC＝70°，∠C＝30°，则∠BMD的大小为（　　）
A．50°
B．65°
C．70°
D．80°
3、如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能用SAS判定△ABC≌△DEC，能添加的一组条件是（　　）
A．∠B＝∠E，BC＝EC
B．∠B＝∠E，AC＝DC
C．∠A＝∠D，BC＝EC
D．BC＝EC，AC＝DC
4、如图，已知AC＝DB，AO＝DO，CD＝100
m，则A，B两点间的距离(
)
A．大于100
m
B．等于100
m
C．小于100
m
D．无法确定
5、如图，AB，CD表示两根长度相等的铁条，若O是AB，CD的中点，经测量AC＝15cm，则容器的内径长为（　　）
A．12cm
B．13cm
C．14cm
D．15cm
6、如图，△ABC中，AB＝AC，D、E分别在CA、BA的延长线上，连接BD、CE，且∠D+∠E＝180°，若BD＝6，则CE的长为（　　）
A．6
B．5
C．3
D．4.5
7、如图，已知，，且，，，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
8、如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝(　
)
A．60°
B．55°
C．50°
D．无法计算
9、如图为个边长相等的正方形的组合图形，则
A．
B．
C．
D．
二、填空题
10、如图，∠1=∠2，要利用“SAS”说明△ABD≌△ACD，需添加的条件是_________．
11、如图，在与中，与相交于点M，，在不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母的情况下，要证明．需添加的一个条件是___________．
12、如图是由4个全等的小正方形组成的网格，点、、、、都在格点上，则与
的数量关系为__________．
13、如图所示，点O为AC的中点，也是BD的中点，那么AB与CD的关系是________．
14、在中，是边上的中线，若，则长的取值范围是_________．
15、如图，在中，，点D是上的一点，过点B作，使，连接与相交于点G，则与的关系是_______________．
16、如图，在中，与相交于点F，且，
则之间的数量关系是_____________．
三、解答题
17、完成下列证明过程如图，已知，，，在
上，且，求证：．
证明：
_________（_________________________）
即______________________
在和中，，____________，
（_____________）
18、如图，B、C、D、E在同一条直线上；．求证：．
19、已知：如图，点A、B、C在一条直线上，，AB=EC，BD=CB．求证：AD=EB．
20、如图，四边形ABCD的对角线交于点O，点E、F在AC上，，且，．
求证：，且．
21、如图，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，过B点作BD⊥AC于D，E在CD上，且DE＝AB，过点D作DF∥BC，使得DF＝BD，连接EF．求证：
（1）∠ABD＝∠C；
（2）DF⊥EF．
22、如图1，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．
（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由．
23、（1）如图1，已知在△ABC中，AD为中线，求证AB+AC＞2AD．
（2）如图2，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB，AC于点E，F．
求证：BE+CF＞EF．
1.3.1用“边角边”判定两个三角形全等
【自主提升练】（含答案）-2021-2022学年八年级数学上册（苏科版）
一、选择题
1、在△ABC和△DEF中，下列给出的条件，能用“SAS”判定这两个三角形全等的是（
）
A．AB＝DE，BC＝DF，∠A＝∠D
B．AB＝BC，DE＝EF，∠B＝∠E
C．AB＝EF，AC＝DF，∠A＝∠D
D．BC＝EF，AC＝DF，∠C＝∠F
【答案】D
【分析】根据三角形全等的判定条件“SAS”逐项判断即可．
【详解】A．BC边和EF边是对应边，所以所给条件证明不出．故A不符合题意．
B．边AB与BC都在中，边DE与EF都在中，所给条件不是对应边相等，所以证明
不出，故B不符合题意．
C．AB边和DE边是对应边，所以所给条件证明不出，故C不符合题意．
D．相邻两对应边分别相等且所夹的角相等，可以利用SAS证明，故D符合题意．
故选：D．
2、如图，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC上一点，AD＝AE，BE、CD相交于点M．若∠BAC＝70°，∠C＝30°，则∠BMD的大小为（　　）
A．50°
B．65°
C．70°
D．80°
【分析】根据SAS证明△ADC与△AEB全等，利用全等三角形的性质和三角形内角和解答即可．
【解答】解：在△ADC与△AEB中，
∴△ADC≌△AEB（SAS），∴∠B＝∠C，∠AEB＝∠ADC，
∵∠BAC＝70°，∠C＝30°，
∴∠AEB＝∠ADC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∴∠BMC＝∠DME＝360°﹣∠AEB﹣∠ADC﹣∠BAC＝360°﹣80°﹣80°﹣70°＝130°，
∴∠BMD＝180°﹣130°＝50°，
故选：A．
3、如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能用SAS判定△ABC≌△DEC，能添加的一组条件是（　　）
A．∠B＝∠E，BC＝EC
B．∠B＝∠E，AC＝DC
C．∠A＝∠D，BC＝EC
D．BC＝EC，AC＝DC
【分析】由AB＝DE知，由全等三角形的判定定理SAS知，缺少的添加是：一组对应边相等及其对应夹角相等．
【解答】解：A、若AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故符合题意．
B、若AB＝DE，AC＝DC，∠B＝∠E，由SSA不能判定△ABC≌△DEC，故不符合题意；
C、若AB＝DE，BC＝EC，∠A＝∠D，由SSA不能判定△ABC≌△DEC，故不符合题意；
D、若AB＝DE，BC＝EC，AC＝DC，由SSS不能判定△ABC≌△DEC，故不符合题意；
故选：A．
4、如图，已知AC＝DB，AO＝DO，CD＝100
m，则A，B两点间的距离(
)
A．大于100
m
B．等于100
m
C．小于100
m
D．无法确定
【答案】B
【分析】已知AC=DB，AO=DO，得OB=OC，∠AOB=∠DOC，可以判断△AOB≌△DOC，所以AB=CD=100m．
【详解】∵AC=DB，AO=DO，∴OB=OC，
又∠AOB=∠DOC，∴△AOB≌△DOC，∴AB=CD=100m．
故选B．
5、如图，AB，CD表示两根长度相等的铁条，若O是AB，CD的中点，经测量AC＝15cm，则容器的内径长为（　　）
A．12cm
B．13cm
C．14cm
D．15cm
【解析】
解：∵O是AB，CD的中点，AB=CD，∴OA=OB=OD=OC，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD，
∴BD=AC=
15cm，
故选：D．
6、如图，△ABC中，AB＝AC，D、E分别在CA、BA的延长线上，连接BD、CE，且∠D+∠E＝180°，若BD＝6，则CE的长为（　　）
A．6
B．5
C．3
D．4.5
【分析】延长BE使AF＝AD，连接CF，由“SAS”可证△ABD≌△ACF，可得∠F＝∠D，BD＝CF＝6，由平角的性质可得∠F＝∠FEC＝∠D，即可求解．
【解答】解：如图，延长BE使AF＝AD，连接CF，
在△ABD和△ACF中，
∴△ABD≌△ACF（SAS），∴∠F＝∠D，BD＝CF＝6，
∵∠D+∠BEC＝180°，∠BEC+∠FEC＝180°，
∴∠D＝∠FEC，∴∠F＝∠FEC，∴CF＝CE＝6，
故选：A．
7、如图，已知，，且，，，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由已知可得△ABC≌△ADE，故有∠BAC=∠DAE，由∠EAB=120°及∠CAD=10°可求得∠AFB的度数，进而得∠GFD的度数，在△FGD中，由三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可求得∠EGF的度数．
【详解】在△ABC和△ADE中
,∴
△ABC≌△ADE（SAS）,∴∠BAC=∠DAE
∵∠EAB=∠BAC+∠DAE+∠CAD=120°,
∴∠BAC=∠DAE
∴∠BAF=∠BAC+∠CAD=65°
∴在△AFB中，∠AFB=180°-∠B-∠BAF=90°,∴∠GFD=90°
在△FGD中，∠EGF=∠D+∠GFD=115°
故选：C
8、如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝(　
)
A．60°
B．55°
C．50°
D．无法计算
【答案】B
【解析】∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠1=∠EAC，
在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴∠2=∠ABD=30°，
∵∠1=25°，∴∠3=∠1+∠ABD=25°+30°=55°，
故选B．
9、如图为个边长相等的正方形的组合图形，则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】标注字母，利用“边角边”判断出△ABC和△DEA全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠4，然后求出∠1+∠3=90°，再判断出∠2=45°，然后计算即可得解．
【详解】如图，在△ABC和△DEA中，
，∴△ABC≌△DEA（SAS），∴∠1=∠4，
∵∠3+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，
又∵∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°．
故选B．
二、填空题
10、如图，∠1=∠2，要利用“SAS”说明△ABD≌△ACD，需添加的条件是_________．
【答案】CD=BD
【解析】
试题解析：BD=CD，
理由是：∵在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
故答案为BD=CD．
11、如图，在与中，与相交于点M，，在不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母的情况下，要证明．需添加的一个条件是___________．
【答案】AD＝BC（答案不唯一）
【分析】要使AC＝BD，可以证明△ACB≌△BDA，从而得到结论．
【详解】解：添加条件：AD＝BC，
∵BC＝AD，∠2＝∠1，AB＝BA，
∴△ABC≌△BAD（SAS），
∴AC＝BD．
12、如图是由4个全等的小正方形组成的网格，点、、、、都在格点上，则与
的数量关系为__________．
【答案】互补
【分析】如图，由已知条件可知，，，,然后利用全等三角形的判定和性质解答即可．
【详解】如图∵，,，∴，
∴，
∴，
故答案为：互补．
13、如图所示，点O为AC的中点，也是BD的中点，那么AB与CD的关系是________．
【答案】平行且相等
【分析】只需要证明△AOB≌△COD，根据全等三角形的性质和平行线的判定定理即可得出结论．
【详解】解：∵点O为AC的中点，也是BD的中点，∴AO=OC，BO=OD，
又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB≌△COD（SAS）
∴AB=CD，∠A=∠C，
∴AB//CD,
即AB与CD的关系是平行且相等，
故答案为：平行且相等．
14、在中，是边上的中线，若，则长的取值范围是_________．
【答案】
【分析】利用中线的性质，作辅助线AD=DE，构造全等三角形，再有全等三角形对应边相等的性质，解得，最后由三角形三边关系解题即可．
【详解】如图，AD为BC边上的中线,延长AD至点E，使得AD=DE
在△ADB和△EDC中
故答案为：．
15、如图，在中，，点D是上的一点，过点B作，使，连接与相交于点G，则与的关系是_______________．
【答案】AD⊥CE，AD=CE
【分析】证明△ACD≌△CBE，得到∠CAD=∠BCE，AD=CE，结合∠ACB=90°，可得∠CGD=90°，从而可得结果．
【详解】解：由题意可知：
∵∠ACB=90°，BE∥AC，∴∠ACB=∠EBC=90°，
在Rt△ACD和Rt△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴∠CAD=∠BCE，AD=CE，
∵∠CAD+∠CDA=90°，∴∠CDA+∠BCE=90°，
∴∠CGD=180°-（∠CDA+∠BCE）=90°，∴AD⊥CE，
综上：AD⊥CE，AD=CE，
故答案为：AD⊥CE，AD=CE．
16、如图，在中，与相交于点F，且，
则之间的数量关系是_____________．
【答案】
【分析】先利用同角的余角相等得到=，再通过证，得到即，再
利用三角形内角和得可得，最后利用角的和差即可得到答案，=．
【详解】证明：∵，，
∴，，
∴=
又∵，，
∴
∴即
∵
∴，即
∴=
故答案为：．
三、解答题
17、完成下列证明过程如图，已知，，，在
上，且，求证：．
证明：
_________（_________________________）
即______________________
在和中，，____________，
（_____________）
【答案】；两直线平行，同位角相等；；；
【分析】利用平行线的性质、线段的和差等知识证出、，再根据已知条件，凑够三个条件后即可根据即可得证
【详解】解：∵
∴(两直线平行，同位角相等)
∵
∴即
∴在和中
∴
18、如图，B、C、D、E在同一条直线上；．求证：．
【答案】见解析
【分析】直接证明△ACB≌△FDE即可证明．
【详解】证明：∵，∴，∴，
∴在和中，，
∴，
∴．
19、已知：如图，点A、B、C在一条直线上，，AB=EC，BD=CB．求证：AD=EB．
【答案】证明见解析
【分析】根据SAS证明，可得结论．
【详解】证明：∵，∴∠ABD＝∠C，
在和中，∵，
∴（SAS），∴．
20、如图，四边形ABCD的对角线交于点O，点E、F在AC上，，且，．
求证：，且．
【答案】见解析
【分析】根据已知条件可证得，从而由全等三角形的性质可得要证的结论．
【详解】，，
又，，
，，
21、如图，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，过B点作BD⊥AC于D，E在CD上，且DE＝AB，过点D作DF∥BC，使得DF＝BD，连接EF．求证：
（1）∠ABD＝∠C；
（2）DF⊥EF．
【分析】（1）由直角三角形的性质可得出答案；
（2）证明△ABD≌△EDF（SAS），由全等三角形的性质得出∠ADB＝∠DFE＝90°，则可得出结论．
【解答】证明：（1）∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠C＝90°，
∵BD⊥AC，∴∠BDA＝90°，
∵∠ABD+∠A＝90°，∴∠ABD＝∠C；
（2）∵DF∥BC，∴∠FDE＝∠C，
∵∠ABD＝∠C，∴∠ABD＝∠FDE，
在△ABD和△EDF中，
∴△ABD≌△EDF（SAS），
∴∠ADB＝∠DFE＝90°，∴DF⊥EF．
22、如图1，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．
（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由．
【分析】（1）延长BD交AC于F，求出∠AEB＝∠AEC＝90°，证出△BED≌△AEC，推出BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，根据∠EBD+∠BDE＝90°推出∠ADF+∠CAE＝90°，求出∠AFD＝90°即可；
（2）求出∠BED＝∠AEC，证出△BED≌△AEC，推出BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，根据∠ACE+∠EOC＝90°求出∠BDE+∠DOF＝90°，求出∠DFO＝90°即可．
【解答】解：（1）BD＝AC，BD⊥AC，
理由：延长BD交AC于F．
∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
在△BED和△AEC中，
∴△BED≌△AEC（SAS），∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，
∵∠BED＝90°，∴∠EBD+∠BDE＝90°，
∵∠BDE＝∠ADF，∴∠ADF+∠CAE＝90°，
∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC；
（2）结论不发生变化，
理由是：设AC与DE相交于点O，
∵∠BEA＝∠DEC＝90°，
∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，
在△BED和△AEC中，
∴△BED≌△AEC（SAS），∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，
∵∠DEC＝90°，∴∠ACE+∠EOC＝90°，
∵∠EOC＝∠DOF，∴∠BDE+∠DOF＝90°，
∴∠DFO＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC．
23、（1）如图1，已知在△ABC中，AD为中线，求证AB+AC＞2AD．
（2）如图2，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB，AC于点E，F．
求证：BE+CF＞EF．
【分析】（1）根据SAS证明△ABD≌△CED，得出AB＝EC，由三角形三边关系得出答案；
（2）根据全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】证明：（1）延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE，如图1．则AE＝2AD，
在△ABD与△ECD中，
∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB＝EC，
在△ACE中，有AC+CE＞AE，即AC+AB＞2AD；
（2）延长ED至点G，使DG＝DE，连接CG，FG，如图2．
∵FD垂直平分EG，∴EF＝FG，
在△EDB与△GDC中，
∴△EDB≌△GDC（SAS），∴BE＝CG，
在△FCG中，CF+CG＞FG，即CF+BE＞EF．