1.3.1用“边角边”判定两个三角形全等 自主培优练 2021-2022学年苏科版八年级数学上册（Word版 含答案）

1.3.1用“边角边”判定两个三角形全等
【自主培优练】-2021-2022学年八年级数学上册（苏科版）
一、选择题
1、已知：在中，，求证：
证明：如图，作
在和中，,
,
其中，横线应补充的条件是（
）
A．边上高
B．边上中线
C．的平分线
D．边的垂直平分线
（1题）
（3题）
（4题）
2、根据下列条件能画出唯一△ABC的是（　　）
A．AB＝1，BC＝2，CA＝3
B．AB＝7，BC＝5，∠A＝30°
C．∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70°
D．AC＝3.5，BC＝4.8，∠C＝70°
3、如图，AC、BD相交于O，∠1=∠2，若用“SAS”说明，则还需加上条件（
）
A．AD＝BC
B．∠D＝∠C
C．OA＝AB
D．BD＝AC
4、如图，在△ABC中，∠B＝40°，AB＝CB，AF＝CD，AE＝CF，则∠EFD＝（　　）
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
5、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠ADB，AB＝5，CD＝6，则AC的长为（　　）
A．3
B．9
C．11
D．15
（5题）
（6题）
（7题）
6、如图所示，是的边上的中线，cm，cm，则边的长度可能是（
）
A．3cm
B．5cm
C．14cm
D．13cm
7、如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法：①和面积相等；
②；
③≌；④；⑤．其中正确的是（
）
A．①②
B．①③
C．①③④
D．①④⑤
8、如图已知中，，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为，则当与全等时，的值为（
）
A．1
B．3
C．1或3
D．2或3
9、如图1，已知，为的角平分线上面一点，连接，；
如图2，已知，、为的角平分线上面两点，连接，，，；
如图3，已知，、、为的角平分线上面三点，连接，，，，，；…，依次规律，第个图形中有全等三角形的对数是（
）．
A．
B．
C．
D．
10、如图，已知AB∥CD，AD∥BC，E.F是BD上两点，且BF＝DE，则图中共有_____对全等三角形.
二、填空题
11、如图，在△ABC中，AB=AC，BE、CF是中线，则由______可得△AFC≌△AEB．
12、如图，把两根钢条的中点连在一起，就做成了一个可以测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中要测量工件内槽宽，只要测量出线段______的长度即可．
13、如图所示，若AD=AB,AC=AG,∠DAE=∠GAC=60°，则∠DOC＝___．
14、如图所示AB=AC，AD=AE，∠BAC＝∠DAE，∠1=28°，∠2=30°，则∠3=_________．
15、如图，在中，，CD为的角平分线，在AC边上取点E，使，
且，若，，则_______．（用x、y的代数式表示）
16、如图，△PAB与△PCD均为等腰直角三角形，点C在PB上，若△ABC与△BCD的面积之和为10，
则△PAB与△PCD的面积之差为_____．
17、如图，在中，与相交于点F，且，
则之间的数量关系是_____________．
三、解答题
18、如图所示，，，垂足均为点，且，．求证：．
19、已知，如图，点A，D，B，E在同一条直线上，，与交于点G．
（1）求证：；
（2）当时，求的度数．
20、如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．BE⊥AC，垂足为G，AB＝CF，BE＝AC．
（1）求证：AE＝AF；
（2）求∠EAF的度数．
21、已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE．
（1）如图1，点E在BC上，求证：BC＝BD+BE；
（2）如图2，点E在CB的延长线上，求证：BC＝BD﹣BE．
22、如图，在△ABC中，AD，CE分别是BC、AB边上的高，AD与CE交于点F，连接BF，延长AD到点G，使得AG＝BC，连接BG，若CF＝AB．
（1）求证：△ABG≌△CFB；
（2）在完成（1）的证明后，爱思考的琪琪想：BF与BG之间有怎样的数量关系呢？它们之间又有怎样的位置关系？请你帮琪琪解答这一问题，并说明理由．
23、在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，那么∠DCE＝　
　度；
（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，写出此时α与β之间的数量关系并证明．
1.3.1用“边角边”判定两个三角形全等
【自主培优练】（含答案）-2021-2022学年八年级数学上册（苏科版）
一、选择题
1、已知：在中，，求证：
证明：如图，作
在和中，,
,
其中，横线应补充的条件是（
）
A．边上高
B．边上中线
C．的平分线
D．边的垂直平分线
【答案】C
【分析】根据全等三角形判定，即可选出．
【详解】证明：如图，作的平分线
在和中，,,
故选C
2、根据下列条件能画出唯一△ABC的是（　　）
A．AB＝1，BC＝2，CA＝3
B．AB＝7，BC＝5，∠A＝30°
C．∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70°
D．AC＝3.5，BC＝4.8，∠C＝70°
【分析】根据各个选项中的条件，可以判断是否可以画出唯一△ABC，从而可以解答本题．
【解答】解：当AB＝1，BC＝2，CA＝3时，1+2＝3，则线段AB、BC、CA不能构成三角形，故选项A不符合题意；
当AB＝7，BC＝5，∠A＝30°时，可以得到点B到AC的距离为3.5，可以画出两个三角形，如图1所示，故选项B不符合题意；
当∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70°时，可以画出很多的三角形ABC，如图2所示，故选项C不符合题意；
当AC＝3.5，BC＝4.8，∠C＝70°时，可以画出唯一的三角形ABC，故选项D符合题意；
故选：D．
3、如图，AC、BD相交于O，∠1=∠2，若用“SAS”说明，则还需加上条件（
）
A．AD＝BC
B．∠D＝∠C
C．OA＝AB
D．BD＝AC
【答案】D
【分析】根据“SAS”判定定理即可得出结论．
【详解】解：已具有∠1=∠2，AB=BA，
用“SAS”证需添加夹∠1，∠2的边BD=AC，
A.
AD＝BC与已知构成边边角，不能判断两个三角形全等，故本选项错误；
B.
∠D＝∠C与已知构成AAS判定两个三角形全等，不符合题意，故本选项错误；
C.
OA＝AB能推出三角形OAB为等边三角形，证缺条件，故本选项错误；
D.
BD＝AC与已知构成SAS证，故本选项正确．
故选择：D．
4、如图，在△ABC中，∠B＝40°，AB＝CB，AF＝CD，AE＝CF，则∠EFD＝（　　）
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
【分析】由等腰三角形的性质得出∠A＝∠C＝70°，证明△AEF≌△CFD（SAS），由全等三角形的性质得出∠AFE＝∠CDF，则可得出答案．
【解答】解：∵∠B＝40°，AB＝CB，∴∠A＝∠C=（180°﹣40°）＝70°，
在△AEF和△CFD中，
∴△AEF≌△CFD（SAS），∴∠AFE＝∠CDF，
∵∠AFE+∠EFD+∠CFD＝180°，∠C+∠CDF+∠CFD＝180°，
∴∠EFD＝∠C＝70°．
故选：C．
5、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠ADB，AB＝5，CD＝6，则AC的长为（　　）
A．3
B．9
C．11
D．15
【分析】在AC上截取AE＝AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，得到∠B＝∠AED，再证明ED＝EC，进而代入数值解答即可．
【解答】解：在AC上截取AE＝AB，连接DE，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，
在△ABD和△AED中，
∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B＝∠AED，BD＝DE，
∵∠B＝2∠ADB，∴∠AED＝2∠ADB，
而∠AED＝∠C+∠EDC＝2∠ADB，∴∠CED＝∠EDC，
∴CD＝CE，∴AB+CD＝AE+CE＝AC＝5+6＝11．
故选：C．
6、如图所示，是的边上的中线，cm，cm，则边的长度可能是（
）
A．3cm
B．5cm
C．14cm
D．13cm
【答案】B
【分析】延长AD至M使DM=AD，连接CM，根据SAS得出，得出AB=CM=4cm，再根据三角形的三边关系得出AC的范围，从而得出结论；
【详解】解：延长AD至M使DM=AD，连接CM，
∵是的边上的中线，∴BD=CD，
∵∠ADB=∠CDM,∴，
∴MC=AB=5cm，AD=DM=4cm，
在中，3＜AC＜13，
故选：B
7、如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法：①和面积相等；
②；
③≌；④；⑤．其中正确的是（
）
A．①②
B．①③
C．①③④
D．①④⑤
【答案】C
【分析】根据三角形中线的定义可得BD=CD，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明△BDF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BF，全等三角形对应角相等可得∠F=∠CED，再根据内错角相等，两直线平行可得BF∥CE．
【详解】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∴△ABD和△ACD面积相等，故①正确；
∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误；
在△BDF和△CDE中，，∴△BDF≌△CDE（SAS），故③正确；
∴∠F=∠DEC，∴BF∥CE，故④正确；
∵△BDF≌△CDE，∴CE=BF，故⑤错误，
正确的结论为：①③④，
故选：C．
8、如图已知中，，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为，则当与全等时，的值为（
）
A．1
B．3
C．1或3
D．2或3
【答案】D
【分析】设运动时间为t秒，由题目条件求出BD=AB=6，由题意得BP=2t，则CP=8-2t，CQ=vt，然后结合全等三角形的判定方法，分两种情况列方程求解．
【详解】解：设运动时间为t秒，
∵，点为的中点．∴BD=AB=6，
由题意得BP=2t，则CP=8-2t，CQ=vt，
又∵∠B=∠C
∴①当BP=CQ，BD=CP时，≌,∴2t=vt，解得：v=2
②当BP=CP，BD=CQ时，≌,∴8-2t=2t，解得：t=2
将t=2代入vt=6，解得：v=3
综上，当v=2或3时，与全等
故选：D
9、如图1，已知，为的角平分线上面一点，连接，；
如图2，已知，、为的角平分线上面两点，连接，，，；
如图3，已知，、、为的角平分线上面三点，连接，，，，，；…，依次规律，第个图形中有全等三角形的对数是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数．
【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD．
在△ABD与△ACD中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD．
∴图1中有1对三角形全等；
同理图2中，△ABE≌△ACE，∴BE=EC，
∵△ABD≌△ACD．∴BD=CD，
又DE=DE，∴△BDE≌△CDE，∴图2中有3对三角形全等；
同理：图3中有6对三角形全等；
由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是．
故选：C．
10、如图，已知AB∥CD，AD∥BC，E.F是BD上两点，且BF＝DE，则图中共有_____对全等三角形.
【解析】∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，
又BD=DB，∴△ABD≌△CDB，∴AB=CD，AD=BC.
又∵BF=DE，∴BE=DF，
∵AB=CD，∠ABD=∠CDB，BE=DF，∴△ABE≌△CDF，
∵AD=BC，∠ADB=∠CBD，BF＝DE，∴△ADE≌△CBF.
综上，共有3对全等三角形．
故答案为3．
二、填空题
11、如图，在△ABC中，AB=AC，BE、CF是中线，则由______可得△AFC≌△AEB．
【答案】：SAS．
【解析】
【分析】由AB=AC，BE、CF是中线可知AE=AF，由∠A是公共角，AB=AC即可根据SAS证明△AFC≌△AEB．
【详解】∵BE、CF是中线，∴AF=AB，AE=AC，
∵AB=AC∴AE=AF，
∵AE=AF，∠A=∠A，AB=AC，∴△AFC≌△AEB（SAS）．
故答案为SAS
12、如图，把两根钢条的中点连在一起，就做成了一个可以测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中要测量工件内槽宽，只要测量出线段______的长度即可．
【答案】
【分析】测量两点之间的距离，只要符合全等三角形全等的条件之一SAS，只需要测量易测量的边CD．
【详解】解：只要测量CD．
理由：连接AB，CD，如图，
∵点O分别是AC、BD的中点，∴OA=OC，OB=OD．
在△AOB和△COD中，OA=OC，∠AOB=∠COD（对顶角相等），OB=OD，
∴△AOB≌△COD（SAS）．∴CD=AB．
答：需要测量CD的长度，即为工件内槽宽AB，
故答案为：CD．
13、如图所示，若AD=AB,AC=AG,∠DAE=∠GAC=60°，则∠DOC＝___．
【答案】120°
【分析】先证明得到，再利用以及三角形的内角和定理、邻补角的性质可得答案．
【详解】解：
在与中，
,
故答案为：
14、如图所示AB=AC，AD=AE，∠BAC＝∠DAE，∠1=28°，∠2=30°，则∠3=_________．
【答案】58°
【分析】根据∠BAC＝∠DAE能够得出∠1＝∠EAC，然后可以证明△BAD≌△CAE，则有∠2＝∠ABD，最后利用∠3＝∠1+∠ABD可求解．
【详解】∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝28°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝28°+30°＝58°，
故答案为：58°．
15、如图，在中，，CD为的角平分线，在AC边上取点E，使，
且，若，，则_______．（用x、y的代数式表示）
【答案】180°-x°-y°
【分析】在AC上截取CF=BC，根据全等三角形的性质可得BD=DF=DE，可得∠AED=∠ABC，根据三角形的内角和可求解．
【详解】解：如图，在AC上截取CF=BC，
∵CD为∠ACB的角平分线，∴∠ACD=∠BCD，
∵CF=BC，∠ACD=∠BCD，CD=CD，
∴△BDC≌△FDC（SAS），∴∠ABC=∠CFD，DF=BD，
∵BD=DE，
∴DE=DF，∴∠DEF=∠DFE，∴∠AED=∠CFD，
∵∠A=x°，∠ACB=y°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180°-x°-y°，
∴∠AED=∠DBC=180°-x°-y°，
故答案为：180°-x°-y°．
16、如图，△PAB与△PCD均为等腰直角三角形，点C在PB上，若△ABC与△BCD的面积之和为10，
则△PAB与△PCD的面积之差为_____．
【答案】10
【分析】由“SAS”可证△APC≌△BPD，可得S△APC＝S△BPD，由面积和差关系可求解．
【详解】解：∵△PAB与△PCD均为等腰直角三角形，
∴PC＝PD，∠APB＝∠CPD＝90°，AP＝BP，
∴△APC≌△BPD（SAS），∴S△APC＝S△BPD，
∵S△APB﹣S△PCD＝S△APC+S△ABC﹣（S△BPD﹣S△BCD），
∴S△APB﹣S△PCD＝S△BCD+S△ABC＝10，
故答案为：10．
17、如图，在中，与相交于点F，且，
则之间的数量关系是_____________．
【答案】
【分析】先利用同角的余角相等得到=，再通过证，得到即，再
利用三角形内角和得可得，最后利用角的和差即可得到答案，=．
【详解】证明：∵，
∴，,
∴=
又∵，,
∴(SAS)
∴,即
∵
∴,
即
∴=
故答案为：．
三、解答题
18、如图所示，，，垂足均为点，且，．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据SAS证明即可．
【详解】证明：∵，，∴
∴，
即
在和中
∴，
∴
19、已知，如图，点A，D，B，E在同一条直线上，，与交于点G．
（1）求证：；
（2）当时，求的度数．
【分析】（1）先根据线段的和差可得，再根据三角形全等的判定定理即可得证；
（2）先根据三角形全等的性质可得，再根据三角形的外角性质即可得．
【详解】证明：（1），，即，
在和中，，；
（2）由（1）已证：，，即，
，．
20、如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．BE⊥AC，垂足为G，AB＝CF，BE＝AC．
（1）求证：AE＝AF；
（2）求∠EAF的度数．
【分析】（1）利用SAS证明△AEB≌△FAC可证明结论；
（2）由全等三角形的性质可得∠E＝∠CAF，由余角的定义可求得∠EAF的度数．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠EBA＝90°，∴∠ACD＝∠EBA，
在△AEB和△FAC中，
∴△AEB≌△FAC（SAS），∴AE＝FA；
（2）解：∵△AEB≌△FAC，∴∠E＝∠CAF，
∵∠E+∠EAG＝90°，∴∠CAF+∠EAG＝90°，即∠EAF＝90°．
21、已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE．
（1）如图1，点E在BC上，求证：BC＝BD+BE；
（2）如图2，点E在CB的延长线上，求证：BC＝BD﹣BE．
【分析】（1）先证∠DAB＝∠EAC，再证△DAB≌△EAC（SAS），得出BD＝CE，则可得出结论；
（2）证明△DAB≌△EAC（SAS），得出BD＝CE，进而得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，即∠DAB＝∠EAC，
又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，
∴BC＝BE+CE＝BD+BE；
（2）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠EAB＝∠DAE+∠EAB，即∠DAB＝∠EAC，
又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，
∴BC＝CE﹣BE＝BD﹣BE．
22、如图，在△ABC中，AD，CE分别是BC、AB边上的高，AD与CE交于点F，连接BF，延长AD到点G，使得AG＝BC，连接BG，若CF＝AB．
（1）求证：△ABG≌△CFB；
（2）在完成（1）的证明后，爱思考的琪琪想：BF与BG之间有怎样的数量关系呢？它们之间又有怎样的位置关系？请你帮琪琪解答这一问题，并说明理由．
【分析】（1）根据SAS证明△ABG≌△CFB，再利用全等三角形的性质证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠G＝∠FBD，再证明即可．
【解答】（1）证明：∵AD，CE是高，∴∠BAD+∠AFE＝∠BCF+∠CFD＝90°，
∵∠AFE＝∠CFD，∴∠BAD＝∠BCF，
在△ABG与△CFB中，
∴△ABG≌△CFB（SAS）；
（2）解：BF＝BG，BF⊥BG，理由如下：
∵△ABG≌△CFB，∴BF＝BG，∠G＝∠FBD，
∵AD⊥BC，∴∠BDG＝90°,
∴∠G+∠DBG＝90°，
∴∠FBD+∠DBG＝90°，∴∠FBG的度数为90°，∴BF⊥BG．
23、在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，那么∠DCE＝　
　度；
（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，写出此时α与β之间的数量关系并证明．
【分析】（1）易证∠BAD＝∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，即可解题；
（2）易证∠BAD＝∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，
根据∠B+∠ACB＝180°﹣α即可解题；
（3）易证∠BAD＝∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，根据∠ADE+∠AED+α＝180°，∠CDE+∠CED+β＝180°即可解题．
【解答】解：（1）∵∠BAD+∠DAC＝90°，∠DAC+∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B，
∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝90°；
故答案为
90．
（2）∵∠BAD+∠DAC＝α，∠DAC+∠CAE＝α，∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B，
∵∠B+∠ACB＝180°﹣α，∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝180°﹣α＝β，
∴α+β＝180°；
（3）作出图形，
∵∠BAD+∠BAE＝α，∠BAE+∠CAE＝α，∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠AEC＝∠ADB，
∵∠ADE+∠AED+α＝180°，∠CDE+∠CED+β＝180°，∠CED＝∠AEC+∠AED，
∴α＝β．