2.2.1圆的旋转不变性-2021-2022学年苏科版九年级数学上册培优训练（Word版 含答案）

2.2.1圆的旋转不变性
-2021-2022学年苏科版九年级数学上册
培优训练
一、选择题
1、已知AB与A′B′分别是☉O与☉O′的两条弦,AB=A′B′,那么∠AOB与∠A′O′B′的大小关系是(　　)
A．∠AOB=∠A′O′B′
B．∠AOB>∠A′O′B′
C．∠AOB<∠A′O′B′
D．不能确定
2、如图,已知AB是☉O的直径,D,C是劣弧EB的三等分点,∠BOC=40°,那么∠AOE=
(
)
A．40°
B．60°
C．80°
D．120°
3、如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，∠BCD的度数为（　　）
A．105°
B．120°
C．135°
D．150°
4、如图所示，在⊙O中，弧AB和弧AC相等，∠A=30°，则∠B=（
）
A．150°
B．75°
C．60°
D．15°
5、如图，已知BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，=，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（　　）
A．20°
B．25°
C．30°
D．40°
6、已知，如图，，下列结论不一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．都是等边三角形
7、如图，AB，CD是⊙O的直径，AB∥ED，则（
）
A．AC=AE
B．AC＞AE
C．AC＜AE
D．AC与AE的大小关系无法确定
8、如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点E，BE=DE，∠B=40°，则∠A的度数是
A．20°
B．30°
C．40°
D．80°
9、如图，扇形OAB的圆心角为90°，点C、D是的三等分点，半径OC、OD分别与弦AB交于点E、F，下列说法错误的是(
)
A．AE＝EF＝FB
B．AC＝CD＝DB
C．EC＝FD
D．∠DFB＝75°
10、如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（　　）
A．
B．
C．1
D．2
二、填空题
11、如图，OA，OB，OC，OD是⊙O的半径，
（1）如果∠AOB＝∠COD，那么_______，_____=______，∠AOC______∠BOD；
（2）如果AB＝CD，那么_____=_____，______；
（3）如果=，那么____，_____，______．
12、在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，则弦AB所对的圆心角的度数为
．
13、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为____________．
14、如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，已知∠AOD=50°，AD∥OC，则∠BOC=
15、如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若的度数为35°，
则的度数是_____．
16、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是BC弧的中点，则∠ACD=?________．
?
17、如图，在△ABC中，∠A70°，∠B55°，以BC为直径作⊙O，分别交AB、AC于点E、F，
则的度数为________°．
18、如图，在以AB为直径的半圆中，=，CD⊥AB，EF⊥AB，CD=CF=1，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是________．
三、解答题
19、如图，点A，B，C，D在⊙O上，BD＝AC．求证：AB＝CD．
20、如图，A为⊙O上的一点，C为⊙O外的一点，AC交⊙O于点B，且OA=BC，∠C=24°.
求∠A的度数.
21、已知：如图所示，AB，CD是的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且，
求证：.
22、如图，D、E分别是⊙O两条半径OA、OB的中点，
．
（1）求证：CD=CE．
（2）若∠AOB=120°，OA=x，四边形ODCE的面积为y，求y与x的函数关系式．
23、如图，已知AB是⊙O的直径，M，N分别为AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N．
求证：AC=BD．
24、如图所示，为的直径，为延长线上一点，交于，连，，，求的度数.
2.2.1圆的旋转不变性
-2021-2022学年苏科版九年级数学上册
培优训练（有答案）
一、选择题
1、已知AB与A′B′分别是☉O与☉O′的两条弦,AB=A′B′,那么∠AOB与∠A′O′B′的大小关系是(　　)
A．∠AOB=∠A′O′B′
B．∠AOB>∠A′O′B′
C．∠AOB<∠A′O′B′
D．不能确定
【答案】D
【解析】解:由弦相等推弦所对的圆心角相等,必须保证在同圆或等圆中.
此题没有限制,所以不能确定∠AOB和∠A′O′B′的大小关系.
2、如图,已知AB是☉O的直径,D,C是劣弧EB的三等分点,∠BOC=40°,那么∠AOE=
(
)
A．40°
B．60°
C．80°
D．120°
【分析】根据题意先求出∠BOE=120°，再利用邻补角即可求出∠AOE.
∵D,C是劣弧EB的三等分点,∴∠BOE=3∠BOC=120°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=60°
选B.
3、如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，∠BCD的度数为（　　）
A．105°
B．120°
C．135°
D．150°
【答案】B
4、如图所示，在⊙O中，弧AB和弧AC相等，∠A=30°，则∠B=（
）
A．150°
B．75°
C．60°
D．15°
解：∵在⊙O中，=，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠C；又∠A=30°，
∴∠B==75°（三角形内角和定理）．
故选B．
5、如图，已知BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，=，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（　　）
A．20°
B．25°
C．30°
D．40°
【答案】C
6、已知，如图，，下列结论不一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．都是等边三角形
【分析】由题意根据圆心角、弧、弦之间的关系，由∠AOB=∠COD，可得弦相等，弧相等以及三角形全等，以此进行分析判断即可．
解：
，．
成立，D不成立．
故选：D．
7、如图，AB，CD是⊙O的直径，AB∥ED，则（
）
A．AC=AE
B．AC＞AE
C．AC＜AE
D．AC与AE的大小关系无法确定
【答案】A
8、如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点E，BE=DE，∠B=40°，则∠A的度数是
A．20°
B．30°
C．40°
D．80°
【解析】∵BE=DE，∠B=40°，
∴∠D＝∠B＝40°，
又∵∠A和∠D是弧BC所对的圆周角，
∴∠A＝∠D＝40°；
故选C。
9、如图，扇形OAB的圆心角为90°，点C、D是的三等分点，半径OC、OD分别与弦AB交于点E、F，下列说法错误的是(
)
A．AE＝EF＝FB
B．AC＝CD＝DB
C．EC＝FD
D．∠DFB＝75°
【答案】A
【解析】解：∵点C，D是的三等分点，
∴AC=CD=DB，∠AOC=∠COD=∠BOD=∠AOB=30°，∴选项B正确；
∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠AEC=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°，同理∠DFB=75°，
故选项D正确.
∴∠AEO=∠BFO，
在△AOE和△BOF中，∠AEO=∠BFO，∠AOC=∠BOD，AO=BO，
∴△AOE≌△BOF，∴OE=OF，
∴EC＝FD,故选项C正确.
在△AOC中，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO=（180°-30°）=75°，
∴∠ACO=∠AEC，∴AC=AE，同理BF=BD，
又∵AC=CD=BD，∴CD=AE=BF，
∵在△OCD中，OE=OF，OC=OD，∴EF∴CD=AE=BF>EF，故A错误.
故选A．
10、如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（　　）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【解析】作A关于MN的对称点Q，连接MQ，BQ，BQ交MN于P，此时AP+PB=QP+PB=QB，
根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值为QB的长度，
连接AO，OB，OQ，
∵B为中点，∴∠BON=∠AMN=30°，
∴∠QON=2∠QMN=2×30°=60°，∴∠BOQ=30°+60°=90°．
∵直径MN=2，∴OB=1，∴BQ==．
则PA+PB的最小值为．
故选B．
二、填空题
11、如图，OA，OB，OC，OD是⊙O的半径，
（1）如果∠AOB＝∠COD，那么_______，_____=______，∠AOC______∠BOD；
（2）如果AB＝CD，那么_____=_____，______；
（3）如果=，那么____，_____，______．
【分析】根据在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等进行解答．
（1）∵∠AOB=∠COD，∴AB=CD，，∠AOC=∠BOD；
（2）∵AB=CD，
∴，∠AOB=∠COD；
（3）∵，
∴AB=CD，∠AOB=∠COD，．
故答案为：（1）AB=CD，，，=；（2），，∠AOB=∠COD；
（3）AB=CD，∠AOB=∠COD，=．
12、在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，则弦AB所对的圆心角的度数为
．
【答案】60°
13、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为____________．
【解析】
试题分析：连接CD，
∵∠A=25°，∴∠B=65°，
∵CB=CD，∴∠B=∠CDB=65°，∴∠BCD=50°，∴的度数为50°
14、如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，已知∠AOD=50°，AD∥OC，则∠BOC=
【答案】65°
15、如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若的度数为35°，
则的度数是_____．
【分析】连接OD、OE，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AOD=35°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．
解：连接OD、OE，
∵的度数为35°，∴∠AOD=35°，
∵CD=CO，∴∠ODC=∠AOD=35°，
∵OD=OE，∴∠ODC=∠E=35°，
∴∠DOE=180°-∠ODC-∠E=180°-35°-35°=110°，
∴∠AOE=∠DOE-∠AOD=110°-35°=75°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-75°=105°，
∴的度数是105°．
故答案为105°．
16、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是BC弧的中点，则∠ACD=?________．
?
【解析】连接OD，由∠AOC=40°，可得出∠BOC，再由D是BC弧的中点，可得出∠COD，从而得出∠ACD即可．
解:
连接OD，
∵AB是⊙O的直径，∠AOC=40°，∴∠BOC=140°，∠ACO=（180°-40°）÷2=70°，
∵D是BC弧的中点，∴∠COD=70°，
∴∠OCD=（180°-70°）÷2=55°，∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=70°+55°=125°，
故答案为：125°．
17、如图，在△ABC中，∠A70°，∠B55°，以BC为直径作⊙O，分别交AB、AC于点E、F，
则的度数为________°．
分析：连接OE、OF.
先利用三角形内角和定理计算出∠C=55°，再求出∠COF=∠BOE=70°，从而得出∠EOF=40°，故可得解.
解：如图，连接OE，OF.
∵∠A70°，∠B55°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=55°，
∵OC=OF,
∴∠OFC=∠C=55°，
∴∠COF=180°-∠CFO-∠C=70°，
同理，∠BOE=70°，
∴∠EOF=180°-∠COF-∠BOE=40°，
故的度数为40°.
故答案为40.
18、如图，在以AB为直径的半圆中，=，CD⊥AB，EF⊥AB，CD=CF=1，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是________．
【分析】连接OD，OE，因为=，根据等弧所对的圆心角相等可得∠DOC=∠EOF，因为CD⊥AB，EF⊥AB，所以∠DCO=∠EFO=90°，又因为DO==EO，所以Rt△DOC∽Rt△EOF，所以CO=OF=，
在Rt△DOC中，OD=，
所以AO=DO=，AC=，BC=AB-AC=-
=，
所以以AC和BC的长为两根的一元二次方程是（x-）(x-)=0，
整理，得．
解：连接OE，OD，
∵=，∴∠DOC=∠EOF，
∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴∠DCO=∠EFO=90°，
又∵DO=EO，∴Rt△DOC≌Rt△EOF，∴CO=OF=，
∵在Rt△DOC中，OD=，
∴AO=DO=，AC=AO-CO=，AB=2AO=，BC=AB-AC=-
=，
∴以AC和BC的长为两根的一元二次方程是（x-）(x-)=0，
整理，得．
故答案为：x2-x+1=0．
三、解答题
19、如图，点A，B，C，D在⊙O上，BD＝AC．求证：AB＝CD．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，先由BD=AC得到，于是两边都减去得到，即AB=CD；
证明：∵BD＝AC，∴，
∴
即，
∴AB＝CD.
20、如图，A为⊙O上的一点，C为⊙O外的一点，AC交⊙O于点B，且OA=BC，∠C=24°.
求∠A的度数.
【答案】48°
【分析】连接OB，利用等腰三角形的性质和圆心角、弧、弦的关系解答即可．
解：连接OB则OA=OB
∵OA=BC∴OB=BC
∴∠C=∠BOC=24°
∴∠A=∠OBA=∠C+∠BOC=24°+24°=48°
21、已知：如图所示，AB，CD是的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且，
求证：.
【分析】过点O作于点M.由等腰三角形的性质可证，，从而可得，然后根据相等的圆心角所对的弧相等即可求得结论.
证明：如图，过点O作于点M.
，.
同理，.
.
.
22、如图，D、E分别是⊙O两条半径OA、OB的中点，
．
（1）求证：CD=CE．
（2）若∠AOB=120°，OA=x，四边形ODCE的面积为y，求y与x的函数关系式．
【分析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠COA=∠COB，证明△COD≌△COE，根据全等三角形的性质证明；
（2）连接AC，根据全等三角形的判定定理得到△AOC为等边三角形，根据正切的定义求出CD，根据三角形的面积公式计算即可．
解：（1）证明：连接OC，
∵，∴∠COA=∠COB，
∵D、E分别是⊙O两条半径OA、OB的中点，∴OD=OE，
在△COD和△COE中，，∴△COD≌△COE（SAS）,∴CD=CE；
（2）连接AC，
∵∠AOB=120°，∴∠AOC=60°，又OA=OC，∴△AOC为等边三角形，
∵点D是OA的中点，∴CD⊥OA，OD=OA=x，
在Rt△COD中，CD=OD?tan∠COD=x，
∴四边形ODCE的面积为y=×OD×CD×2=x2．
23、如图，已知AB是⊙O的直径，M，N分别为AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N．
求证：AC=BD．
证明：连接OC，OD
∵AB是⊙O的直径
∴OD=OC
∵M，N分别为AO，BO的中点
∴OM=AO，ON=BO
∴OM=ON
又∵CM⊥AB，DN⊥AB
∴Rt△COM≌Rt△DON（HL）
∴∠COA=∠DOB
∴AC=BD
24、如图所示，为的直径，为延长线上一点，交于，连，，，求的度数.
【答案】.
【分析】由AB=OC得到AB=BO，则∠A=∠2，而∠1=∠E，因此∠EOD=3∠A，即可求出∠EOD．
解：连OB，如图，
∵AB=OC，OB=OC，∴AB=BO，∴∠A=∠1，
而∠2=∠A+∠1，∴∠2=2∠A，
∵OB=OE，∴∠2=∠E，∴∠E=2∠A，
∴∠DOE=∠A+∠E=3∠A=60°．