2.1圆、2.4圆周角-2021-2022学年苏科版九年级数学上册培优训练（Word版 含答案）

2.1圆～2.4圆周角
-2021-2022学年苏科版九年级数学上册
培优训练
一、选择题
1、到圆心的距离不大于半径的点的集合是（　　）
A．圆的外部
B．圆的内部
C．圆
D．圆的内部和圆
2、已知的直径为8，点P在同一平面内，，则点P与的位置关系是（
）
A．点P在内
B．点P在上
C．点P在外
D．无法判断
3、若点A在⊙O内，点B在⊙O外，OA＝3，OB＝5，则⊙O的半径r的取值范围是（
）
A．0＜r＜3
B．2＜r＜8
C．3＜r＜5
D．r＞5
4、小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（　　）
A．①
B．②
C．③
D．④
(4题)
(5题)
(6题)
(7题)
5、如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为(　　)
A．70°
B．55°
C．45°
D．35°
6、如图，是的直径，，若，则圆周角的度数是
A．
B．
C．
D．
7、如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为(　　)
A.
45°
B.
50°
C.
55°
D.
60°
8、如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为(　　)
A．6
B．8
C．5
D．5
(8题)
(9题)
(10题)
9、如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为(　　)
A.
B．2
C．3
D．2
10、如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（　　）
A．3
B．4
C．6
D．8
二、填空题
11、已知⊙O的半径是3，OP＝2，则点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O　
　．
12、如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，，，则__________．
(12题)
(13题)
(14题)
(15题)
13、如图，AB是⊙O的直径，C，D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，
则∠ACE的度数为________．
14、如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE.若∠A＝65°，
则∠DOE＝________°.
15、如图，在直角坐标系中，点A（0，6）、B（0，﹣2）、C（﹣4，6），则△ABC外接圆的圆心坐标为___．
16、如图所示，在半圆O中，AB为直径，P为的中点，分别在和上取其中点A1和B1，再在1和1上分别取其中点A2和B2.若一直这样取下去，则∠AnOBn＝________°.
(16题)
(17题)
(18题)
17、如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100
cm，下雨前水面宽为60
cm，一场大雨过后，水面宽为80
cm，则水位上升了　　　　cm.?
18、如图，点O是的外心，，垂足分别为D、E，点M、N分别是、
的中点，连接，若，则_______．
19、如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动(点C，D与点A，B不重合)，M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P.若CD＝3，AB＝8，PM＝，则的最大值是________．
(19题)
(20题)
20、如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是⊙O的直径，AB⊥MN于点E，
CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA＋PC的最小值为________．
三、解答题
21、如图，在⊙O中，M，N分别是半径OA，OB的中点，且CM⊥OA交⊙O于点C，DN⊥OB交⊙O于点D.求证：＝.
22、将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．
23、已知锐角△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC于点D．
（1）请借助无刻度的直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线并说明理由；
（2）若∠BAC=60°，BC=，求OD旳长．
24、如图，网格纸中每个小正方形的边长为1，一段圆弧经过格点，点O为坐标原点．
（1）该图中弧所在圆的圆心D的坐标为　
　；．
（2）根据（1）中的条件填空：
①圆D的半径=　
　（结果保留根号）；
②点（7，0）在圆D　
　（填“上”、“内”或“外”）；
③∠ADC的度数为　
　．
25、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，将劣弧AC沿弦AC翻折与AB的交点恰好是圆心O，作OD⊥AC，垂足为E，交⊙O于点D，连接BC，CD.求证：四边形BCDO是菱形．
26、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E.若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，求AE的长度．
27、如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上(不与点A，B重合)，点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E.射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G.设∠GAB＝α，∠ACB＝β，∠EAG＋∠EBA＝γ.
(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据
α
30°
40°
50°
60°
β
120°
130°
140°
150°
γ
150°
140°
130°
120°
猜想：β关于α的函数表达式，γ关于α的函数表达式，并给出证明；
(2)若γ＝135°，CD＝3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．
2.1圆～2.4圆周角
-2021-2022学年苏科版九年级数学上册
培优训练（有答案）
一、选择题
1、到圆心的距离不大于半径的点的集合是（　　）
A．圆的外部
B．圆的内部
C．圆
D．圆的内部和圆
【分析】根据圆是到定点距离等于定长的点的集合，以及点和圆的位置关系即可解决．
【解答】解：根据点和圆的位置关系，知圆的内部是到圆心的距离小于的所有点的集合；
圆是到圆心的距离等于半径的所有点的集合．
所以与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是圆的内部（包括边界）．
故选：D．
2、已知的直径为8，点P在同一平面内，，则点P与的位置关系是（
）
A．点P在内
B．点P在上
C．点P在外
D．无法判断
【答案】C
【分析】先求出⊙O的半径，再根据点与圆的位置关系即可求解．
【详解】解：∵⊙O的直径为8，∴⊙O的半径为4，
∵PO=6＞4，∴点P在⊙O外．
故选：C．
3、若点A在⊙O内，点B在⊙O外，OA＝3，OB＝5，则⊙O的半径r的取值范围是（
）
A．0＜r＜3
B．2＜r＜8
C．3＜r＜5
D．r＞5
【答案】C
【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法求解．
【详解】解：∵点A在半径为r的⊙O内，点B在⊙O外，∴OA小于r，OB大于r，
∵OA＝3，OB＝5，∴3＜r＜5．
故选：C．
4、小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（　　）
A．①
B．②
C．③
D．④
【分析】利用段完整的弧结合垂径定理确定圆心即可．
【解答】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
5、如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为(　　)
A．70°
B．55°
C．45°
D．35°
【答案】B
6、如图，是的直径，，若，则圆周角的度数是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵，，∴，
∵，∴，
∴，
故选B．
7、如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为(　　)
A.
45°
B.
50°
C.
55°
D.
60°
　
【答案】B　
【解析】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ABC＝105°，∴∠ADC＝75°，
∵＝，∴∠BAC＝∠DCF＝25°，
∴∠E＝∠ADC－∠DCF＝50°.
8、如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为(　　)
A．6
B．8
C．5
D．5
【答案】B　
[解析]
如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB＋∠BOE＝180°.
又∵∠AOB＋∠COD＝180°，∴∠BOE＝∠COD，∴BE＝CD＝6.
∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，
∴AB＝＝8.
9、如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为(　　)
A.
B．2
C．3
D．2
【答案】D　
[解析]
如图，过点O作OD⊥AB于点D，连接OA.根据题意，得OD＝OA＝1.
再根据勾股定理，得AD＝.根据垂径定理，得AB＝2
.
10、如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（　　）
A．3
B．4
C．6
D．8
【思路分析】由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．
【解答】解：∵PA⊥PB，∴∠APB=90°，
∵AO=BO，∴AB=2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ=3、MQ=4，∴OM=5，
又∵MP′=2，∴OP′=3，∴AB=2OP′=6，
故选：C．
二、填空题
11、已知⊙O的半径是3，OP＝2，则点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O　
　．
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；点与圆心的距离d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【解析】∵OP＝2＜3，
∴点P在⊙O内部．
故答案是：内部．
12、如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，，，则__________．
【答案】1
【解析】∵AB为直径，∴，
∵，∴．
故答案为：1．
13、如图，AB是⊙O的直径，C，D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，
则∠ACE的度数为________．
【答案】30°　
[解析]
如图，连接OC.∵AB是⊙O的直径，＝＝，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°.
∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠A＝60°.
∵CE⊥OA，∴∠AEC＝90°，∴∠ACE＝90°－60°＝30°.
14、如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE.若∠A＝65°，
则∠DOE＝________°.
【答案】50　
[解析]
由三角形的内角和定理，得∠B＋∠C＝180°－∠A.再由OB＝OD＝OC＝OE，得到
∠BDO＝∠B，∠CEO＝∠C.
在等腰三角形BOD和等腰三角形COE中，
∠DOB＋∠EOC＝180°－2∠B＋180°－2∠C＝360°－2(∠B＋∠C)
＝360°－2(180°－∠A)＝2∠A，
所以∠DOE＝180°－2∠A＝50°.
15、如图，在直角坐标系中，点A（0，6）、B（0，﹣2）、C（﹣4，6），则△ABC外接圆的圆心坐标为___．
【答案】
【分析】先根据点的坐标可得是直角三角形，再根据直角三角形的外接圆的圆心为斜边的中点即可得．
【详解】解：，
，
是直角三角形，
则外接圆的圆心坐标为，即，
故答案为：．
16、如图所示，在半圆O中，AB为直径，P为的中点，分别在和上取其中点A1和B1，再在1和1上分别取其中点A2和B2.若一直这样取下去，则∠AnOBn＝________°.
【答案】()　
[解析]
当n＝1时，∠A1OB1＝90°；
当n＝2时，∠A2OB2＝＝45
……
所以∠AnOBn＝()°.
17、如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100
cm，下雨前水面宽为60
cm，一场大雨过后，水面宽为80
cm，则水位上升了　　　　cm.?
【答案】10或70　
[解析]作OD⊥AB于C，OD交☉O于点D，连接OB.
由垂径定理得:BC=AB=30
cm.
在Rt△OBC中，OC==40(cm).
当水位上升到圆心以下且水面宽80
cm时，
圆心到水面距离==30(cm)，
水面上升的高度为:40-30=10(cm).
当水位上升到圆心以上且水面宽80
cm时，水面上升的高度为:40+30=70(cm).
综上可得，水面上升的高度为10
cm或70
cm.
故答案为10或70.
18、如图，点O是的外心，，垂足分别为D、E，点M、N分别是、
的中点，连接，若，则_______．
【答案】8
【分析】连接DE，由点O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC得到DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理即可求得BC．
【详解】解：连接DE，
∵O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，∴AD=BD，AE=CE，
∴DE=BC，∴BC=2DE，
∵M、N分别是OD、OE的中点，∴MN=DE，∴DE=2MN，∴BC=4MN，
∵MN=2，∴BC=8，
故答案为：8．
19、如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动(点C，D与点A，B不重合)，M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P.若CD＝3，AB＝8，PM＝，则的最大值是________．
【答案】4　
[解析]
方法一：连接OM，OC.
∵∠CPO＝∠CMO＝90°,
∴C,M,O,P四点共圆，且CO为直径，PM为此圆的一条弦，
当PM为直径时，PM最大，PM=CO=AB=4
方法二：
如图，当CD∥AB时，PM的长最大，连接OM，OC.
∵CD∥AB，CP⊥AB，∴CP⊥CD.
∵M为CD的中点，OM过点O，∴OM⊥CD，
∴∠OMC＝∠PCD＝∠CPO＝90°，∴四边形CPOM是矩形，∴PM＝OC.
∵⊙O的直径AB＝8，
∴半径OC＝4，∴PM＝4.
20、如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是⊙O的直径，AB⊥MN于点E，
CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA＋PC的最小值为________．
【答案】7
　
[解析]
如图，连接OB，OC，BC，则BC的长即为PA＋PC的最小值．过点C作CH⊥AB于点H，
则四边形EFCH为矩形，
∴CH＝EF，EH＝CF.根据垂径定理，得BE＝AB＝4，CF＝CD＝3，
∴OE＝＝＝3，OF＝＝＝4，
∴CH＝EF＝OE＋OF＝3＋4＝7，BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝4＋3＝7.
在Rt△BCH中，由勾股定理，得BC＝7
，则PA＋PC的最小值为7
.
三、解答题
21、如图，在⊙O中，M，N分别是半径OA，OB的中点，且CM⊥OA交⊙O于点C，DN⊥OB交⊙O于点D.求证：＝.
证明：如图，连接OC，OD，则OC＝OD.
∵M，N分别是半径OA，OB的中点，∴OM＝ON.
∵CM⊥OA，DN⊥OB，∴∠OMC＝∠OND＝90°.
在Rt△OMC和Rt△OND中，∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL)，
∴∠MOC＝∠NOD，∴＝.
22、将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．
【分析】（1）根据垂径定理，分别作弦AB和AC的垂直平分线交点即为所求；
（2）连接AO，OB，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径R．
【解答】解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；
（2）连接AO，OB，BC，BC交OA于D．
∵BC＝16cm，∴BD＝8cm，
∵AB＝10cm，∴AD＝6cm，
设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，
∴R2＝82+（R﹣6）2，解得：R=cm，
∴圆片的半径R为cm．
23、已知锐角△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC于点D．
（1）请借助无刻度的直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线并说明理由；
（2）若∠BAC=60°，BC=，求OD旳长．
【答案】(1)见解析;(2)1.
【分析】（1）延长OD交⊙O于E，连接AE，射线AE即为∠BAC的角平分线．
（2）连接OB，OC．解直角三角形OBD即可．
【详解】解：（1）延长OD交⊙O于E，连接AE，射线AE即为∠BAC的角平分线．
（2）连接OB，OC．
∵∠BOC＝2∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，
∵OD⊥BC，∴BD＝CD＝，∠BOD＝∠BOC＝60°，
∴OD＝.
24、如图，网格纸中每个小正方形的边长为1，一段圆弧经过格点，点O为坐标原点．
（1）该图中弧所在圆的圆心D的坐标为　
　；．
（2）根据（1）中的条件填空：
①圆D的半径=　
　（结果保留根号）；
②点（7，0）在圆D　
　（填“上”、“内”或“外”）；
③∠ADC的度数为　
　．
【答案】（1）（2，0）；（2）①；②外；③90°；
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心，根据勾股定理即可得到圆的半径；根据点到圆心的距离d=5即可判断点与圆的位置关系．
【详解】解：（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，
则圆心D的坐标为（2，0）；
（2）①圆D的半径==2，
②∵点（7，0）到圆心的距离d=5，
∴d>r,故该点在圆D外；
③如图，由A(0,4),
C(6,2)可知，∠ADC的度数为90°．
故答案为（2，0），2，外，90°．
25、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，将劣弧AC沿弦AC翻折与AB的交点恰好是圆心O，作OD⊥AC，垂足为E，交⊙O于点D，连接BC，CD.求证：四边形BCDO是菱形．
证明：如图，连接AD，OC.
∵OD⊥AC，∴AE＝EC.
由翻折的性质，得AC是OD的垂直平分线，∴OE＝DE，
∴四边形OADC是平行四边形，∴OA∥CD，OA＝CD.
∵OA＝OB，∴OB＝CD，OB∥CD，
∴四边形BCDO是平行四边形．
又∵OB＝OD，∴四边形BCDO是菱形．
26、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E.若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，求AE的长度．
解：连接AC，如图．
∵BA平分∠DBE，∴∠1＝∠2.
∵∠1＋∠ABC＝180°，∠ABC＋∠CDA＝180°，∴∠1＝∠CDA.
又∵∠2＝∠3，∴∠3＝∠CDA，∴AC＝AD＝5.
∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°，
∴AE＝＝＝2
.
27、如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上(不与点A，B重合)，点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E.射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G.设∠GAB＝α，∠ACB＝β，∠EAG＋∠EBA＝γ.
(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据
α
30°
40°
50°
60°
β
120°
130°
140°
150°
γ
150°
140°
130°
120°
猜想：β关于α的函数表达式，γ关于α的函数表达式，并给出证明；
(2)若γ＝135°，CD＝3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．
【思维教练】(1)观察表格可猜想β＝90°＋α，γ＝180°－α.连接BG，由直径所对的圆周角为90°和圆内接四边形的对角和为180°即可得出β＝90°＋α；由题干条件易知△EBD≌△EGD，∠EBC＝∠ECB，再由三角形的外角和定理和β＝90°＋α，利用角度之间的转化即可得出结论；(2)由(1)的结论可以得出α＝∠BAG＝45°，β＝∠ACB＝135°，∴∠ECB＝45°，∠CEB＝90°，△ECD、△BEC、△ABG都是等腰直角三角形，由CD的长，可得出BE和CE的长，再由题干条件△ABE的面积是△ABC的面积的4倍可得出AC的长，利用勾股定理在△ABE中求出AB的长，再利用勾股定理在△ABG求出AG的长，即可求出半径长．
解：(1)①β＝90°＋α，γ＝180°－α
证明：如解图①，连接BG，
∵AG是⊙O的直径，∴∠ABG＝90°，
∴α＋∠BGA＝90°，(1分)
又∵四边形ACBG内接于⊙O，
∴β＋∠BGA＝180°，
∴β－α＝90°，即β＝90°＋α；(3分)
②∵D是BC的中点，且DE⊥BC，
∴△EBD≌△ECD，∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EAG＋∠EBA＝γ，
∴∠EAB＋α＋∠EBC＋∠CBA＝γ，
∵∠EAB＋∠CBA＝∠ECB，∴2∠ECB＋α＝γ，(4分)
∴2(180°－β
)＋α＝γ，
由①β＝90°＋α代入后化简得，γ＝180°－α；(6分)
(2)如解图②，连接BG，
∵γ＝135°，γ＝180°－α，∴α＝45°，β＝135°，
∴∠AGB＝∠ECB＝45°，(8分)
∴△ECD和△ABG都是等腰直角三角形，
又∵△ABE的面积是△ABC的面积的4倍，
∴AE＝4AC，∴EC＝3AC，(9分)
∵CD＝3，∴CE＝3，AC＝，∴AE＝4，(10分)
∵∠BEA＝90°，
∴由勾股定理得，AB＝＝＝＝5，(11分)
∴AG＝AB＝×5＝10，
∴r＝5.(12分)