21.2.1 配方法解一元二次方程同步练习题2021-2022学年人教版九年级数学上册（Word版 含答案）

21.2.1
配方法解一元二次方程
一．选择题（共9小题）
1．将方程x2+4x+1＝0配方后得到的形式是（　　）
A．（x+2）2＝3
B．（x+2）2＝﹣5
C．（x+4）2＝﹣3
D．（x+4）2＝3
2．用配方法解方程2x2﹣4x＝8时，原方程变形为（　　）
A．（x﹣1）2＝5
B．（x﹣1）2＝9
C．（x﹣2）2＝10
D．（x﹣2）2＝12
3．若方程x2＝m的解是有理数，则实数m不能取下列四个数中的（　　）
A．1
B．4
C．
D．
4．一元二次方程（x﹣1）2＝2的解是（　　）
A．x1＝﹣1﹣，x2＝﹣1+
B．x1＝1﹣，x2＝1+
C．x1＝3，x2＝﹣1
D．x1＝1，x2＝﹣3
5．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10＝0时，下列变形正确的为（　　）
A．（x+3）2＝1
B．（x﹣3）2＝1
C．（x+3）2＝19
D．（x﹣3）2＝19
6．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（　　）
A．x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100
B．2t2﹣7t﹣4＝0化为（t﹣）2＝
C．x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25
D．3x2﹣4x﹣2＝0化为（x﹣）2＝
7．若方程4x2﹣（m﹣2）x+1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则m的值为（　　）
A．﹣2
B．﹣2或6
C．﹣2或﹣6
D．2或﹣6
8．将方程x2﹣6x﹣5＝0化为（x+m）2＝n的形式，则m，n的值分别是（　　）
A．3和5
B．﹣3和5
C．﹣3和14
D．3和14
9．下列各命题中正确的是（　　）
①方程x2＝﹣4的根为x1＝2，x2＝﹣2；②∵（x﹣3）2＝2，∴x﹣3＝，即x＝3±；③∵x2﹣＝0，∴x＝±4；④在方程ax2+c＝0中，当a＞0，c＞0时，一定无实根．
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④
二．填空题（共5小题）
10．将方程配方成（x+m）2＝n，则m＝　
　，n＝　
　．
11．方程x2+2x﹣1＝0配方得到（x+m）2＝2，则m＝　
　．
12．a2+12a+（
　
　）＝（a+　
　）2．
13．已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3＝0，则x+y的最大值为　
　．
14．已知a、b、c为△ABC的三边长，且a、b满足a2﹣6a+b2﹣4b+13＝0，c为奇数，则△ABC的周长为　
　．
三．解答题（共2小题）
15．用配方法解下列方程：
（1）x2﹣2x＝5；
（2）2x2﹣3x﹣6＝0．
16．观察下列方程及其解的特征：
（1）x+＝2的解为x1＝x2＝1；
（2）x+＝的解为x1＝2，x2＝；
（3）x+＝的解为x1＝3，x2＝；
…
解答下列问题：
（1）请猜想：方程x+＝的解为　
　；
（2）请猜想：关于x的方程x+＝　
　的解为x1＝a，x2＝（a≠0）；
（3）下面以解方程x+＝为例，验证（1）中猜想结论的正确性．
解：原方程可化为5x2﹣26x＝﹣5．
（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．将方程x2+4x+1＝0配方后得到的形式是（　　）
A．（x+2）2＝3
B．（x+2）2＝﹣5
C．（x+4）2＝﹣3
D．（x+4）2＝3
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：∵x2+4x+1＝0
∴x2+4x＝﹣1
∴x2+4x+4＝﹣1+4
∴（x+2）2＝3
故选：A．
2．用配方法解方程2x2﹣4x＝8时，原方程变形为（　　）
A．（x﹣1）2＝5
B．（x﹣1）2＝9
C．（x﹣2）2＝10
D．（x﹣2）2＝12
【分析】将二次项系数化为1，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可得出答案．
【解答】解：∵2x2﹣4x＝8，
∴x2﹣2x＝4，
∴x2﹣2x+1＝4+1，即（x﹣1）2＝5，
故选：A．
3．若方程x2＝m的解是有理数，则实数m不能取下列四个数中的（　　）
A．1
B．4
C．
D．
【分析】将原方程直接开平方求得x＝±，然后根据条件方程x2＝m的解是有理数，利用排除法解答此题．
【解答】解：解方程x2＝m，得
x＝±；
∵方程x2＝m的解是有理数，
∴m是完全平方数；
A、∵（±1）2＝1，∴1符号要求；故本选项错误；
B、∵（±2）2＝4，∴4符号要求；故本选项错误；
C、∵（±）2＝，∴符号要求；故本选项错误；
D、∵（±）2＝，而是无理数；故本选项正确；
故选：D．
4．一元二次方程（x﹣1）2＝2的解是（　　）
A．x1＝﹣1﹣，x2＝﹣1+
B．x1＝1﹣，x2＝1+
C．x1＝3，x2＝﹣1
D．x1＝1，x2＝﹣3
【分析】直接用开平方法求解．
【解答】解：（x﹣1）2＝2，
∴x﹣1＝±，
∴x＝1±．
故选：B．
5．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10＝0时，下列变形正确的为（　　）
A．（x+3）2＝1
B．（x﹣3）2＝1
C．（x+3）2＝19
D．（x﹣3）2＝19
【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．
【解答】解：方程移项得：x2﹣6x＝10，
配方得：x2﹣6x+9＝19，即（x﹣3）2＝19，
故选：D．
6．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（　　）
A．x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100
B．2t2﹣7t﹣4＝0化为（t﹣）2＝
C．x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25
D．3x2﹣4x﹣2＝0化为（x﹣）2＝
【分析】将常数项移到方程的右边，再将一次项系数化为1，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可得出答案．
【解答】解：A．由x2﹣2x﹣99＝0得x2﹣2x＝99，则x2﹣2x+1＝99+1，即（x﹣1）2＝100，此选项正确，不符合题意；
B．由2t2﹣7t﹣4＝0得2t2﹣7t＝4，则t2﹣t＝2，继而得t2﹣t+＝2+，即（t﹣）2＝，此选项正确，不符合题意；
C．由x2+8x+9＝0得x2+8x＝﹣9，则x2+8x+16＝﹣9+16，即（x+4）2＝7，此选项错误，符合题意；
D．由3x2﹣4x﹣2＝0得3x2﹣4x＝2，则x2﹣x＝，继而得x2﹣x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，此选项正确，不符合题意；
故选：C．
7．若方程4x2﹣（m﹣2）x+1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则m的值为（　　）
A．﹣2
B．﹣2或6
C．﹣2或﹣6
D．2或﹣6
【分析】根据完全平方式a2±2ab+b2＝（a±b）2的结构，而4x2＝（2x）2，即可求解．
【解答】解：根据题意知，
﹣（m﹣2）＝±2×2×1，
∴m﹣2＝±4，即m﹣2＝4或m﹣2＝﹣4，
得m＝﹣2或m＝6．
故选：B．
8．将方程x2﹣6x﹣5＝0化为（x+m）2＝n的形式，则m，n的值分别是（　　）
A．3和5
B．﹣3和5
C．﹣3和14
D．3和14
【分析】利用配方法：先把常数项移到等号的右边，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将原方程配成（x+m）2＝n的形式．
【解答】解：∵x2﹣6x﹣5＝0，
∴x2﹣6x＝5，
∴x2﹣6x+9＝5+9，
∴（x﹣3）2＝14，
∴m＝﹣3，n＝14．
故选：C．
9．下列各命题中正确的是（　　）
①方程x2＝﹣4的根为x1＝2，x2＝﹣2；②∵（x﹣3）2＝2，∴x﹣3＝，即x＝3±；③∵x2﹣＝0，∴x＝±4；④在方程ax2+c＝0中，当a＞0，c＞0时，一定无实根．
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④
【分析】根据一元二次方程的有关知识判断即可．
【解答】解：①方程x2＝﹣4没有实数根，原命题是假命题；
②∵（x﹣3）2＝2，∴x﹣3＝，即x＝3±，是真命题；
③∵x2﹣＝0，∴x＝±2，原命题是假命题；
④在方程ax2+c＝0中，当a＞0，c＞0时，一定无实根，是真命题；
故选：D．
二．填空题（共5小题）
10．将方程配方成（x+m）2＝n，则m＝　﹣　，n＝　2　．
【分析】将方程常数项移动右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，即可求出m与n的值．
【解答】解：方程变形为x2﹣3x＝﹣，
配方得：x2﹣3x+＝2，即（x﹣）2＝2，
∴m＝﹣，n＝2．
故答案为：﹣；2
11．方程x2+2x﹣1＝0配方得到（x+m）2＝2，则m＝　1　．
【分析】先把方程中的常数项移到等号的右边，再在方程的两边同时加上1，配成完全平方的形式，即可得到结果．
【解答】解：x2+2x﹣1＝0，
x2+2x＝1，
x2+2x+1＝2，
（x+1）2＝2，
则m＝1；
故答案为：1．
12．a2+12a+（
　36　）＝（a+　6　）2．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．
【解答】解：a2+12a+36＝（a+6）2．
故答案为：36，6．
13．已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3＝0，则x+y的最大值为　4　．
【分析】将函数方程x2+3x+y﹣3＝0代入x+y，把x+y表示成关于x的函数，根据二次函数的性质求得最大值．
【解答】解：由x2+3x+y﹣3＝0得
y＝﹣x2﹣3x+3，把y代入x+y得：
x+y＝x﹣x2﹣3x+3＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4≤4，
∴x+y的最大值为4．
故答案为：4．
14．已知a、b、c为△ABC的三边长，且a、b满足a2﹣6a+b2﹣4b+13＝0，c为奇数，则△ABC的周长为　8　．
【分析】利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可．
【解答】∵a2+b2﹣6a﹣4b+13＝0，
∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣4b+4）＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣2）2＝0，
∴a＝3，b＝2，
∴边长c的范围为1＜c＜5．
∵边长c的值为奇数，
∴c＝3，
∴△ABC的周长为2+3+3＝8．
故答案为：8．
三．解答题（共2小题）
15．用配方法解下列方程：
（1）x2﹣2x＝5；
（2）2x2﹣3x﹣6＝0．
【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得出答案；
（2）将常数项移到方程的右边，再把二次项系数化为1，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得出答案．
【解答】解：（1）∵x2﹣2x＝5，
∴x2﹣2x+1＝5+1，即（x﹣1）2＝6，
则x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）∵2x2﹣3x﹣6＝0，
∴2x2﹣3x＝6，
∴x2﹣x＝3，
则x2﹣x+＝3+，即（x﹣）2＝，
∴x﹣＝±，
则x＝，
即x1＝，x2＝．
16．观察下列方程及其解的特征：
（1）x+＝2的解为x1＝x2＝1；
（2）x+＝的解为x1＝2，x2＝；
（3）x+＝的解为x1＝3，x2＝；
…
解答下列问题：
（1）请猜想：方程x+＝的解为　x1＝5，　；
（2）请猜想：关于x的方程x+＝　（或）　的解为x1＝a，x2＝（a≠0）；
（3）下面以解方程x+＝为例，验证（1）中猜想结论的正确性．
解：原方程可化为5x2﹣26x＝﹣5．
（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）
【分析】解此题首先要认真审题，寻找规律，依据规律解题．解题的规律是将分式方程转化为一元二次方程，再采用配方法即可求得．而且方程的两根互为倒数，其中一根为分母，另一根为分母的倒数．
【解答】解：（1）x1＝5，；
（2）（或）；
（3）方程二次项系数化为1，
得．
配方得，
，即，
开方得，
，
解得x1＝5，．
经检验，x1＝5，都是原方程的解．