2021-2022学年苏科版八年级数学上册 第1章 全等三角形 专题训练（Word版 附答案）

2021-2022学年苏科版八年级数学上册《第1章全等三角形》解答题
优生辅导专题突破训练（附答案）
1．如图所示，A，D，B，E四点在同一条直线上，若AC＝DF，∠A＝∠EDF，∠E+∠CBE＝180°，求证：AD＝BE．
2．如图，AB，CD交于点O，AC＝DB，∠ACD＝∠DBA．
（1）说明△AOC≌△DOB的理由；
（2）若∠ACD＝94°，∠CAO＝28°，求∠OCB的度数．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是BC，AC上的点，且BD＝CE，连接AD，DE，若∠ADE＝∠B．求证：AD＝DE．（每行都要写理由）
4．如图，AD，CE是△ABC的两条高，它们交于点F，且AE＝CE．
（1）试说明：△AEF≌△CEB；
（2）若AB＝AC，试说明：AF＝2CD．
5．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，CE⊥AB，垂足为点E，AD＝DC，CE和AD交于点F，联结BF，试说明∠FBD＝45°．
6．如图，△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上；BE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若点D在AF的延长线上，AD＝AC，∠BAE＝30°，∠BAD＝75°，求证：AB∥DC．
7．如图，在等腰△ABC中，BA＝BC，点F在AB边上，延长CF交AD于点E，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE．
（1）求证：AD＝CE；
（2）若∠ABC＝30°，∠AFC＝45°，求∠EAC的度数．
8．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D是△ABC外的一点，连结CD、BD、AD，线段BC与AD相交于点F，E为AF上一点，连结CE，已知∠CAD＝∠CBD，∠ACB＝∠ECD．
（1）证明：CE＝CD；
（2）若∠CAB＝72°，求∠ADB的大小．
9．如图，等腰△ABE与等腰△ACF中，AB＝AE，AC＝AF且∠B＝∠ACF．连接BC、FE，点E恰好落在线段BC上，EF交AC于点G．
（1）求证：BC＝EF；
（2）若∠B＝70°，∠ACB＝25°，求∠CGF的度数．
10．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在AB边上，点E在BC边上，连接CD，DE．已知∠ACD＝∠BDE，CD＝DE．
（1）猜想AC与BD的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若AD＝3，BD＝5，求CE的长．
11．如图，已知凸五边形ABCDE中，EC，EB为其对角线，EA＝ED．
（1）如图1，若∠A＝60°，∠CDE＝120°，且CD+AB＝BC．求证：EC平分∠BCD；
（2）如图2，∠A与∠D互补，∠DEA＝2∠CEB，若凸五边形ABCDE面积为30，且CD＝AB＝4．求点E到BC的距离．
12．如图，点E在△ABC的边AC上，且∠ABE＝∠C，AF平分∠BAE交BE于F，FD∥BC交AC于点D．
（1）求证：△ABF≌△ADF；
（2）若BE＝7，AB＝8，AE＝5，求△EFD的周长．
13．如图，已知D是AC上一点，AB＝DA，AB+DC＝ED，AE＝BC．
（1）求证：△ABC≌△DAE，
（2）若∠BAE＝125°，求∠DCB的度数．
14．如图，已知AD、BC相交于点O，AB＝CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，BN＝CM．
（1）求证：△ABM≌△DCN；
（2）试猜想OA与OD的大小关系，并说明理由．
15．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．则线段AB，BE，CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
16．如图，已知：∠A＝∠E，AB＝EB，点D在AC边上，且∠ABE＝∠CBD．
（1）求证：△EBD≌△ABC；
（2）如果O为CD中点，∠BDE＝65°，求∠OBD的度数．
17．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．E为BD上一点，且BE＝AD，∠DEF＝∠ADC，EF交BC的延长线于点F．
（1）AD和BC相等吗？为什么？
（2）BF和BD相等吗？为什么？
18．如图，在△ABC中，AB＝12cm，BC＝20cm，过点C作射线CD∥AB．点M从点B出发，以3cm/s的速度沿BC匀速移动；点N从点C出发，以acm/s的速度沿CD匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动．连接AM、MN，设移动时间为t（s）．
（1）点M、N从移动开始到停止，所用时间为
　
　s；
（2）当△ABM与△MCN全等时，
①若点M、N的移动速度相同，求t的值；
②若点M、N的移动速度不同，求a的值．
19．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，过点D作CE的平行线交BC延长线于点F，连接DE．
求证：（1）∠DBC＝∠ECB；
（2）DE＝CF．
20．如图所示，BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，CA＝BP，点Q在CE上，QC＝AB．
（1）探究PA与AQ之间的关系；
（2）若把（1）中的△ABC改为钝角三角形，AC＞AB，∠A是钝角，其他条件不变，上述结论是否成立？画出图形并证明你的结论．
参考答案
1．证明：∵∠E+∠CBE＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠E＝∠ABC，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AB＝DE，
∴AB﹣DB＝DE﹣DB，
∴AD＝BE．
2．解：（1）在△AOC和△DOB中，
，
∴△AOC≌△DOB（AAS）；
（2）∵∠ACD＝94°，∠CAO＝28°，
∴∠COB＝∠ACD+∠CAO＝122°，
∵△AOC≌△DOB，
∴OC＝OB，
∴∠OCB＝（180°﹣122°）÷2＝29°．
3．证明：∵AB＝AC，（已知）
∴∠B＝∠C．（等边对等角）
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，（三角形外角定理）
∠ADC＝∠ADE+∠CDE．（角的运算）
且∠ADE＝∠B，（已知）
∴∠BAD＝∠CDE．（等量代换）
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）．
∴AD＝DE．（全等三角形的对应边相等）
4．解：（1）∵CE⊥AB，
∴∠AEF＝∠CEB＝90°．
∴∠AFE+∠EAF＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CFD+∠ECB＝90°，
又∵∠AFE＝∠CFD，
∴∠EAF＝∠ECB．
在△AEF和△CEB中，
，
∴△AEF≌△CEB（ASA）；
（2）∵△AEF≌△CEB，
∴AF＝BC，
∵AB＝AC，AD⊥BC
∴CD＝BD，BC＝2CD．
∴AF＝2CD．
5．解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°＝∠CEB，
∴∠ABD+∠BAD＝90°＝∠BCE+∠ABD，
∴∠BAD＝∠BCE，
在△ABD和△CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（ASA），
∴BD＝DF，
又∵∠ADB＝90°，
∴∠FBD＝45°．
6．证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE＝30°，
∴∠BAE＝∠CAF＝30°，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠ADC＝＝75°，
∵∠BAD＝75°，
∴∠BAD＝∠ADC，
∴AB∥DC．
7．（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABC+∠ABE＝∠DBE+∠ABE，
∴∠ABD＝∠CBE．
在△ADB和△CEB中，
，
∴△ADB≌△CEB（SAS），
∴AD＝CE；
（2）解：∵BA＝BC，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣30°）＝75°，
∵∠AFC＝45°，
∴∠BCE＝∠AFC﹣∠ABC＝45°﹣30°＝15°，
∵△ADB≌△CEB，
∴∠BAD＝∠BCE＝15°，
∴∠EAC＝∠BAD+∠BAC＝15°+75°＝90°．
8．（1）证明：∵∠ACB＝∠ECD，
∴∠ACB﹣∠ECB＝∠ECD﹣∠ECB，
∴∠ACE＝∠BCD，
∵∠AC＝BC，∠CAD＝∠CBD，
∴△CAE≌△CBD（ASA），
∴CE＝CD．
（2）解：∵∠AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝72°，
∵∠CAD＝∠CBD，∠CAB＝∠CAD+∠DAB＝72°，
∴∠CBD+∠DAB＝72°，
∴∠CBA+∠CBD+∠DAB＝72°+72°＝144°，
∴∠ADB＝180°﹣144°＝36°．
9．（1）证明：∵AB＝AE，AC＝AF，
∴∠B＝∠AEB，∠ACF＝∠AFC，
∴∠BAE＝180°﹣2∠B，∠CAF＝180°﹣2∠ACF，
∵∠B＝∠ACF，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴∠BAE+∠EAC＝∠EAC+∠CAF，
即∠BAC＝∠EAF，
在△ABC和△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴BC＝EF；
（2）由（1）得，△ABC≌△AEF，
∴∠B＝∠AEF，
∵∠B＝70°，
∴∠B＝∠AEB＝∠AEF＝70°，
∴∠GEC＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵∠ACB＝25°，
∴∠CGF＝∠GEC+∠ACB＝65°．
10．解：（1）AC＝BD，理由如下：
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
在△ADC和△BED中，
∴△ADC≌△BED（AAS），
∴AC＝BD；
（2）由（1）知：△ADC≌△BED，
∴AC＝BD＝5，BE＝AD＝3，
∴BC＝AC＝5，
∴CE＝BC﹣BE＝2．
11．（1）证明：延长CD到T，使得DT＝BA，连接ET．
∵∠CDE＝120°，
∴∠EDT＝180°﹣120°＝60°，
∵∠A＝60°，
∴∠A＝∠EDT，
在△EAB和△EDT中，
，
∴△EAB≌△EDT（SAS），
∴EB＝ET，
∴CB＝CD+BA＝CD+DT＝CT，
在△ECB和△ECT中，
，
∴△ECB≌△ECT（SSS），
∴∠ECB＝∠ECD．
（2）解：延长CD到Q，使得∠QED＝∠AEB，过点E作EH⊥BC于H．
∵∠A+∠CDE＝180°，∠CDE+∠EDQ＝180°，
∴∠A＝∠EDQ，
在△AEB和△DEQ中，
，
∴△AEB≌△DEQ（ASA），
∴EB＝EQ，
∵∠AED＝2∠BEC，
∴∠AEB+∠CED＝∠BEC，
∴∠CED+∠DEQ＝∠BEC，
∴∠CEB＝∠CEQ，
在△CEB和△CEQ中，
，
∴△ECB≌△ECQ（SAS），
∵S五边形ABCDE＝S四边形EBCQ＝2S△EBC＝30，
∴S△EBC＝15，
∵CD＝AB＝4，
∴AB＝6，CD＝4，
∴BC＝CD+QD＝CD+AB＝10，
∴×10×EH＝15，
∴EH＝3，
∴点E到BC的距离为3．
12．解：（1）∵FD∥BC，
∴∠ADF＝∠C，
∵∠ABF＝∠C，
∴∠ABF＝∠ADF，
∵AF平分∠BAE，
∴∠BAF＝∠CAF，
在△ABF和△ADF中，
，
∴△ABF≌△ADF（AAS）；
（2）∵△ABF≌△ADF，
∴AD＝AB＝8，BF＝DF，
∵AE＝5，
∴DE＝AD﹣AE＝8﹣5＝3，
∴△EFD的周长＝EF+DF+DE＝EF+BF+DE＝BE+DE＝7+3＝10．
13．（1）证明：∵DE＝AB+DC，AB＝AD，
∴DE＝AD+DC＝AC，
在△ABC和△DAE中，
，
∴△ABC≌△DAE（SSS）．
（2）解：∵△ABC≌△DAE，
∴∠EAD＝∠B，
∴∠B+∠BAC＝∠EAD+∠BAC＝∠EAB＝125°，
∴∠DCB＝180°﹣（∠B+∠BAC）＝180°﹣125°＝55°．
14．（1）证明：∵BN＝CM，
∴BN+MN＝MN+CM，
即CN＝BM，
∵AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，
∴∠AMB＝∠DNC＝90°，
在Rt△ABM和Rt△DCN中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△DCN（HL）；
（2）解：OA＝OD，理由如下：
∵Rt△ABM≌Rt△DCN，
∴AM＝DN，
在△AMO和△DNO中，
，
∴△AMO≌△DNO（AAS），
∴OA＝OD．
15．解：AB+BE＝CD，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC，
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（AAS），
∴AB＝DE，BD＝CD，
∵DE+BE＝BD，
∴AB+BE＝CD．
16．（1）证明：∵∠ABE＝∠CBD，
∴∠ABE+∠ABD＝∠CBD+∠ABD，
即∠EBD＝∠ABC．
在△EBD和△ABC中，
，
∴△EBD≌△ABC（ASA）；
（2）解：∵△EBD≌△ABD，
∴BD＝BC，∠BDE＝∠C，
∵∠BDE＝65°，
∴∠BDC＝∠BDE＝65°，
∵∠CBD＝50°，
∵O点为CD中点，
∴∠OBD＝CBD＝25°．
17．解：（1）AD＝CB，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠ABD＝∠CDB，
同理可得，∠ADB＝∠CBD，
在△ABD与△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（ASA），
∴AD＝CB；
（2）BF＝BD，理由如下：
∵AD＝CB，BE＝AD，
∴BC＝BE，
∵∠DEF＝∠ADC，
∴∠DEF﹣∠DBF＝∠ADC﹣∠ADB，
即∠EFB＝∠CDB，
在△EFB与△CDB中，
，
∴△EFB≌△CDB（ASA），
∴FB＝DB．
18．解：（1）点M的运动时间t＝（秒），
故答案为；
（2）①∵点M、N的移动速度相同，
∴CN＝BM，
∵CD∥AB，
∴∠NCM＝∠B，
∴当CM＝AB时，△ABM与△MCN全等，
则有12＝20﹣3t，解得t＝；
②∵点M、N的移动速度不同，
∴BM≠CN，
∴当CN＝AB，CM＝BM时，两个三角形全等，
∴运动时间t＝，
∴a＝＝．
19．证明：（1）∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
在Rt△ACE和Rt△ABD中，
∴△ACE≌△ABD（AAS）
∴AE＝AD，CE＝BD，
∴∠AED＝∠ADE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠AED+∠ADE+∠A＝∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴∠AED＝∠ABC，
∴ED∥BC，
∵CE∥FD，
∴四边形ECFD为平行四边形，∠ECB＝∠F，
∴CE＝FD，
∴BD＝FD，
∴∠DBC＝∠F，
∴∠DBC＝∠ECB；
（2）∵四边形ECFD为平行四边形，
∴DE＝CF．
20．（1）结论：AP＝AQ，AP⊥AQ
证明：∵BD、CE是△ABC的高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠1+∠CAB＝90°，∠2+∠CAB＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△QAC和△APB中，
，
∴△QAC≌△APB（SAS），
∴AQ＝AP，∠QAC＝∠P，
而∠DAP+∠P＝90°，
∴∠DAP+∠QAC＝90°，
即∠QAP＝90°，
∴AQ⊥AP；
即AP＝AQ，AP⊥AQ；
（2）上述结论成立，理由如下：
如图所示：
∵BD、CE是△ABC的高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠1+∠CAE＝90°，∠2+∠DAB＝90°，
∵∠CAE＝∠DAB，
∴∠1＝∠2，
在△QAC和△APB中，
，
∴△QAC≌△APB（SAS），
∴AQ＝AP，∠QAC＝∠P，
∵∠PDA＝90°，
∴∠P+∠PAD＝90°，
∴∠QAC+∠PAD＝90°，
∴∠QAP＝90°，
∴AQ⊥AP，
即AP＝AQ，AP⊥AQ．