第2章轴对称图形 解答题优生辅导专题突破训练 2021-2022学年苏科版八年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年苏科版八年级数学上册《第2章轴对称图形》解答题
优生辅导专题突破训练（附答案）
1．如图，已知∠CBG为△ABC的外角，BD平分∠CBG，且∠ACB＝∠CAB，AE⊥BC，垂足为E，延长AE与BD交与点D，F为BC边上一点，DF平分∠CDB．
（1）求证：AC∥BD；
（2）若∠CAD＝24°，∠EDF＝6°，求∠DCE的度数．
2．如图，△ABC中，点D在BC边上，且∠ADB＝90°∠CAD．
（1）求证：AD＝AC；
（2）点E在AB边上，连接CE交AD于点F，且∠CFD＝∠CAB，AE＝BD，
①求∠ABC的度数；
②若AB＝8，DF＝2AF，直接写出EF的长．
3．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若AB＝3cm，求△CMN的周长．
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
4．已知，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D为射线CB上一点，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，请直接写出∠BAC与∠EDC的数量关系：　
　．
（2）如图2，当点D在CB的延长线上时，画出图形，探究∠BAC与∠EDC的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，点F为线段BC上一点，过点F作FG⊥AC于点G，连接AF，且∠AFG＝∠CFG，∠BAF＝∠BFA，延长ED、AB交于点K，求∠EKA的度数．
5．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD．
（1）求证：△DEC是等腰三角形．
（2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，AD平分∠MAC，交BC于点D，AM交BE于点G．
（1）求证：∠BAM＝∠C；
（2）判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由．
7．如图，在△ABC中，AC＞BC，∠A＝45°，点D是AB边上一点，且CD＝CB，过点B作BF⊥CD于点E，与AC交于点F．
（1）求证：∠ABF＝∠BCD；
（2）判断△BCF的形状，并说明理由．
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，分别交BD、BC于点G、E，过点B作AE的垂线BF，分别交AE、AC于点H、F．
（1）求证：BF平分∠DBC；
（2）若∠ABF＝3∠C，求∠C的度数．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的角平分线交AC于点D，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E．
（1）若∠BAC＝50°，求∠E的度数．
（2）若F是DE上的一点，且AD＝AF，BF与DE相等吗？请说明理由．
10．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是线段AD的中点，连接EF，CF．
（1）求证：EF＝CF；
（2）若∠BAC＝45°，AD＝6，求C，E两点间的距离的平方．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，BC＝8，点D在AB边上，将△ACD沿CD折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处．
（1）求△BDE的周长；
（2）若∠B＝37°，求∠CDE的度数．
12．如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE．
（1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长．
（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数．
13．如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在网格中画出△ABC关于直线MN的对称图形△A1B1C1；
（2）在网格中画出△ABC向下平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的△A2B2C2；
（3）在图中探究并求得△ABC的面积为
　
　（直接写出结果）．
14．在△ABC中，∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，点F和E分别为射线CA和射线BC上的一个点，连结BF和EF，且∠BFE＝∠FEB．
（1）如图1，点F在线段AC上，点E在线段BC上时，
①当∠ABF＝20°时，则∠CFE＝　
　度；
②∠ABF和∠CFE存在怎样的数量关系？请说明理由．
（2）如图2，当点F在CA延长线上，点E在BC延长线上时，∠ABF和∠CFE是否仍然存在（1）的数量关系？请说明理由．
15．如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC边上的点，连接AD、BE，且AD、BE相交于点P，∠AEB＝∠CDA．
（1）求∠BPD的度数．
（2）过点B作BQ⊥AD于Q，若PQ＝3，PE＝1，求BE的长．
16．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若AB+AC＝10，S△ABC＝15，∠EAF＝60°，求AD的长．
17．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于点F，交CA的延长线于点P，CH∥AB交AD的延长线于点H．
（1）求证：△APF是等腰三角形；
（2）求证：AB＝PC．
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC+AD．
19．已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC．
（1）如图1，如果点E是边AC的中点，AC＝8，求DE的长；
（2）如图2，若DE平分∠ADC，∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝9，求DF的长．
20．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，AC＝AD，∠BAC＝∠BDC＝α，∠CAD＝β．
（1）求证：∠ABD＝∠ADC；
（2）当∠AED＝65°时，求β﹣2α的度数；
（3）α+2β＝180°时，求证：BD＝CD．
参考答案
1．（1）证明：∵∠CBG为△ABC的外角，
∴∠CBG＝∠ACB+∠CAB，
∵BD平分∠CBG，
∴∠CBD＝CBG，
∵∠ACB＝∠CAB＝CBG，
∴∠ACB＝∠CBD，
∴AC∥BD；
（2）解：∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝∠DEB＝∠CED＝90°，
∵∠CAD＝24°，
∴∠ACE＝66°，
∵AC∥BD，
∴∠DBC＝∠ACE＝66°，
∵∠EDF＝6°，
∴∠DFC＝84°，
∴∠BDF＝∠DFC﹣∠DBF＝18°，
∵DF平分∠CDB，
∴∠CDF＝∠BDF＝18°，
∴∠CDE＝∠CDF﹣∠EDF＝12°，
∴∠DCE＝90°﹣∠CDE＝78°．
2．解：（1）∵∠ADB＝∠ACB+∠CAD，∠ADB＝90°∠CAD，
∴∠ACB＝∠ADB﹣∠CAD＝90°∠CAD，
∵∠ADB+∠CDA＝180°，
∴∠CDA＝180°﹣∠ADB＝180°﹣（90°∠CAD）＝90°∠CAD，
∴∠ACB＝∠ADC，
∴AD＝AC；
（2）①过点D作DG∥CE交AB于点G，
∵∠CFD＝∠CAB，∠CFD＝∠CAD+∠ACE，∠CAB＝∠CAD+∠DAB，
∴∠ACE＝∠DAB，
又∵∠ACD＝∠ADC，∠ECB＝∠ACD﹣∠ACE，∠B＝∠ADC﹣∠DAB，
∴∠ECB＝∠B，
∴CE＝BE，
∵DG∥CE，
∴∠ECB＝∠BDG，
∴∠BDG＝∠B，
∴DG＝BG，
∵∠AEC＝∠DGA，AC＝DA，∠ACE＝∠DAG，
∴△AEC≌△DGA(AAS)，
∴DG＝AE，
又∵AE＝BD，
∴DG＝BD＝BG，
∴△BDG为等边三角形，
∴∠ABC＝60°；
②EF＝．
过点D作DH∥AB交CE于点H，
由①知△EBC和△HDC均为等边三角形，
设AE＝BD＝x，则BE＝BC＝8﹣x，
∴DH＝CD＝8﹣2x，
∴x＝2，
∵∠ACE＝∠DAB，
∵AC＝AD＝3AF，
∴＝，EF＝AE＝．
3．解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB＝3（cm）；
（2）∵∠MFN＝70°，
∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，
∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，
∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，
∵AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．
4．（1）如图1中，作AH⊥BC于H．
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴∠BAH＝∠CAH，
∵DE⊥AC，
∴∠AHC＝∠CED＝90°，
∴∠C+∠CAH＝90°，∠C+∠EDC＝90°，
∴∠CAH＝∠EDC，
∴∠BAC＝2∠EDC．
故答案为∠BAC＝2∠EDC．
（2）如图2中，结论：∠BAC＝2∠EDC．
理由：∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴∠BAH＝∠CAH，
∵DE⊥AC，
∴∠AHC＝∠CED＝90°，
∴∠C+∠CAH＝90°，∠C+∠EDC＝90°，
∴∠CAH＝∠EDC，
∴∠BAC＝2∠EDC．
（3）如图2中，设∠C＝∠FAC＝∠ABC＝x，则∠BAF＝∠BFA＝2x，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠EAK＝∠ABC+∠C＝72°，
∵KE⊥EC，
∴∠E＝90°，
∴∠EKA＝90°﹣72°＝18°．
5．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，
∴∠E＝∠DCE，
∴DE＝DC，
∴△DEC是等腰三角形；
（2）解：设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，
∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，
∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，
∴α＝15°，
∴∠E＝∠DCE＝45°，
∴∠EDC＝90°，
如图，过D作DH⊥CE于H，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴∠EDH＝∠E＝45°，
∴EH＝HC＝DH＝EC＝8＝4，
∴△EDC的面积＝EC?DH＝8×4＝16．
6．解：（1）∵AM⊥BC，
∴∠ABC+∠BAM＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠C＝90°，
∴∠BAM＝∠C；
（2）BE垂直平分AD，
理由：∵AD平分∠MAC，
∴∠3＝∠4，
∵∠BAD＝∠BAM+∠3，
∠ADB＝∠C+∠4，
∠BAM＝∠C，
∴∠BAD＝∠ADB，
∴△BAD是等腰三角形，
又∵∠1＝∠2，
∴BE垂直平分AD．
7．（1）证明：过点C作CG⊥AB于点G，
∴∠DCG+∠CDG＝90°，
∵BC＝DC，
∴∠BCG＝∠DCG＝∠BCD，
∵BF⊥CD于点E，
∴∠ABF+∠CDG＝90°，
∴∠ABF＝∠DCG＝∠BCD；
（2）解：如上图，△BCF是等腰三角形，
理由：∵∠A＝45°，CG⊥AB，
∴∠ACG＝45°，
∵∠ACB＝∠ACG+∠BCG，∠BFC＝∠A+∠ABF，
∴∠ACB＝45°+∠BCG，∠BFC＝45°+∠ABF，
∵∠BCG＝∠DCG＝∠ABF，
∴∠BCF＝∠BFC，
∴BC＝BF，
∴△BCF是等腰三角形．
8．（1）证明：∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠DBC＝90°，∠DBC+∠C＝90°，
∴∠ABD＝∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠BGE＝∠ABD+∠BAE，∠BEG＝∠C+∠EAC，
∴∠BGE＝∠BEG，
∴BG＝BE，
∵BF⊥EG，
∴BF平分∠DBC．
（2）解：∵∠ABF＝3∠C，∠ABD＝∠C，BF平分∠DBC，
∴∠FBD＝∠FBC＝2∠C，
∴5∠C＝90°，
∴∠C＝18°．
9．解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝65°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC＝32.5°，
∵AE∥BC，
∴∠E＝∠CBD＝32.5°．
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AE∥BC，
∴∠AEF＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠AEF，
∵AD＝AF，
∴∠ADF＝∠AFD，
∵∠ADB＝180°﹣∠ADF，∠AFE＝180°﹣∠AFD，
∴∠ADB＝∠AFE，
在△ABD与△AEF中，
，
∴△ABD≌△AEF（AAS），
∴BD＝EF，
∴BD+DF＝EF+DF，
∴BF＝DE．
10．（1）证明：∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
∵点F是斜边AD的中点，
∴EF＝AD，CF＝AD，
∴EF＝CF；
（2）解：连接CE，由（1）得EF＝AF＝CF＝AD＝3，
∴∠FEA＝∠FAE，∠FCA＝∠FAC，
∴∠EFC＝2∠FAE+2∠FAC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，
∴CE2＝18．
即C，E两点间的距离是3．
11．解：（1）由折叠可得，AC＝CE，DE＝AD，
∵AC＝6，
∴CE＝6，
∵BC＝8，
∴BE＝2，
∴△BDE的周长＝DE+EB+BD＝AD+BD+EB＝AB+EB，
∵AB＝10，
∴△BDE的周长＝10+2＝12；
（2）∵∠B＝37°，
∴∠CED＝37°+∠BDE，
∵∠A＝∠CED，
∴∠CED＝37°+∠BDE，
∵∠ACB＝90°，
∴37°+∠BDE+37°＝90°，
∴∠BDE＝16°，
∴∠ADE＝180°﹣16°＝164°，
∴∠CDE＝∠ADE＝82°．
12．解：（1）∵BD是线段AE的垂直平分线，
∴AB＝BE，AD＝DE，
∵△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，
∴AB+BE+EC+CD+AD＝18，CD+EC+DE＝CD+CE+AD＝6，
∴AB+BE＝18﹣6＝12，
∴AB＝6；
（2）∵∠ABC＝30°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
在△BAD和△BED中，
，
∴△BAD≌△BED（SSS），
∴∠BED＝∠BAC＝105°，
∴∠CDE＝∠BED﹣∠C＝105°﹣45°＝60°．
13．解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）△ABC的面积＝2×3﹣×1×1﹣×1×3﹣×2×2＝2．
故答案为2．
14．解：（1）①在△ABC中，∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，∠ABF＝20°，
∴∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝40°，
∵∠BFE＝∠FEB，
∴∠FEB＝×（180°﹣∠FBC）＝70°，
∵∠FEB＝∠CFE+∠C，
∴∠CFE＝∠FEB﹣∠C＝70°﹣60°＝10°，
故答案为：10；
②∠ABF＝2∠CFE，理由如下：
设∠ABF＝x°则∠CBF＝60°﹣x°，
∵∠FBE+∠BFE+∠BEF＝180°，∠BFE＝∠FEB，
∴，
∵∠FBC+∠BFC+∠ACB＝180°，∠ACB＝60°，
∴∠BFC＝180°﹣60°﹣（60°﹣x°）＝60°+x°，
∴，
∴∠ABF＝2∠CFE．
（2）存在∠ABF＝2∠CFE，理由如下：
设∠ABF＝x°则∠CBF＝60°+x°，
∵∠FBE+∠BFE+∠BEF＝180°，∠BFE＝∠FEB，
∴，
∵∠FBC+∠BFC+∠ACB＝180°，∠ACB＝60°，
∴∠BFC＝180°﹣60°﹣（60°+x°）＝60°﹣x°，
∴，
∴∠ABF＝2∠CFE．
15．解：（1）由△ABC是等边三角形可得，
∠ABC＝∠C＝60°，
∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD，∠AEB＝∠C+∠EBC，∠AEB＝∠CDA，
∴∠BAD＝∠EBC，
∵∠BPD＝∠ABE+∠BAD，
∴∠BPD＝∠ABE+∠EBC＝∠ABC＝60°；
（2）∵BQ⊥AD于Q，
∴∠BQP＝90°，
∵∠BPD＝60°，
∴∠PBQ＝90°﹣∠BPD＝30°，
在Rt△BPQ中，
∵PQ＝3，∠PBQ＝30°，
∴BP＝2PQ＝6，
又∵PE＝1，
∴BE＝BP+PE＝6+1＝7．
16．证明：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
而DE＝DF，
∴AD垂直平分EF．
（2）∵DE＝DF，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝AB?ED+AC?DF＝DE（AB+AC）＝15，
∵AB+AC＝10，
∴×10DE＝15，
∴DE＝3，
∵∠EAF＝60°，
∴∠DAF＝∠EAD＝30°，
∴AD＝2DE＝6．
17．证明：如图
：
（1）∵EF∥AD，
∴∠1＝∠4，∠2＝∠P，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠4＝∠P，
∴AF＝AP，
即△APF是等腰三角形；
（2）∵CH∥AB，
∴∠5＝∠B，∠H＝∠1，
∵EF∥AD，
∴∠1＝∠3，
∴∠H＝∠3，
在△BEF和△CDH中，
，
∴△BEF≌△CDH（AAS），
∴BF＝CH，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠H，
∴AC＝CH，
∴AC＝BF，
∵AB＝AF+BF，PC＝AP+AC，AF＝AP，
∴AB＝PC．
18．证明：（1）∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E是CD的中点（已知），
∴DE＝EC（中点的定义）．
∵在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC＝AD（全等三角形的性质）．
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，AD＝CF（全等三角形的对应边相等），
又∵BE⊥AF，
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB＝BF＝BC+CF，
∵AD＝CF（已证），
∴AB＝BC+AD（等量代换）．
19．解：（1）∵DC平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACD，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
∴∠EDC＝∠ACD，
∴ED＝EC，
∵点E是边AC的中点，AC＝8，
∴EC＝AC＝4，
∴DE＝4；
（2）∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠CDE＝∠BCD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠B＝∠BCD，
∴DB＝DC．
如图2，作DG⊥BC于点G，
∵DB＝DC，DG⊥BC，
∴GB＝BC＝×9＝4.5，
∵∠ABC＝30°，BF＝DF，
∴∠BDF＝∠B＝30°，
∴∠DFG＝∠B+∠BDF＝60°，
∴∠FDG＝30°，
∴BF＝DF＝2FG，
∴GF＝1.5，
∴DF＝2FG＝3．
20．（1）证明：∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠AED是△ABE和△CDE的外角，∠BAC＝∠BDC＝α，
∴∠AED＝∠ABD+α＝∠ACD+α，
∴∠ABD＝∠ACD，
∵∠ACD＝∠ADC，
∴∠ABD＝∠ADC；
（2）∵AC＝AD，∠CAD＝β，
∴∠ACD＝（180°﹣β）＝90°﹣，
∵∠AED是△CDE的外角，∠BDC＝α，
∴∠AED＝∠ACD+α＝90°﹣+α，
∵∠AED＝65°，
∴90°﹣+α＝65°，
∴β﹣2α＝50°；
（3）解：延长BA到F，使AF＝AC，连接FD，
∵∠BAC＝α，∠CAD＝β，
∴∠DAF＝180°﹣α﹣β，
∵α+2β＝180°，
∴∠DAF＝180°﹣α﹣β＝α+2β﹣α﹣β＝β＝∠DAC，
在△ADF和△ADC中
，
∴△ADF≌△ADC（SAS），
∴FD＝CD，∠F＝∠ACD，
∵由（1）得∠ABD＝∠ACD，
∴∠F＝∠ABD，
∴FD＝BD，
∴CD＝BD