北师大版九上数学第1章第2节第3课时
矩形的性质与判定（3)
一、选择题（共8小题；共40分）
1.
如图，在
中，，，，
为边
上一动点，
于点
，
于点
，则
的最小值为
A.
B.
C.
D.
2.
如图，在矩形
中，对角线
与
相交于点
，已知
，则
的度数为
A.
B.
C.
D.
3.
下列说法中错误的是
A.
平行四边形有可能是矩形
B.
矩形一定是平行四边形
C.
不是平行四边形的图形一定不是矩形
D.
不是矩形的图形一定不是平行四边形
4.
已知：线段
，，．求作：矩形
．
以下是甲、乙两名同学的作业：
甲：
．以点
为圆心，
长为半径画弧；
．以点
为圆心，
长为半径画弧；
．两弧在
上方交于点
，连接
，，四边形
即为所求（如下图）．
乙：
．连接
，作线段
的垂直平分线，交
于点
；
．连接
并延长，在延长线上取一点
，使
，连接
，，四边形
即为所求（如下图）．
对于两人的作业，下列说法中正确的是
A.
两人都对
B.
两人都不对
C.
甲对，乙不对
D.
甲不对，乙对
5.
如图，在
中，
的垂直平分线分别交
，
于点
，，
交
的延长线于点
，已知
，，，则四边形
的面积是
A.
B.
C.
D.
6.
如图，在矩形
中，，对角线
与
相交于点
，，垂足为
，，则
的长为
A.
B.
C.
D.
7.
甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测．检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最具有说服力的是
A.
甲量得窗框两组对边分别相等
B.
乙量得窗框对角线相等
C.
丙量得窗框的一组邻边相等
D.
丁量得窗框的两组对边分别相等，且两条对角线也相等
8.
在平行四边形
（对角线
与
相交于点
）中添加下列条件中的一个，这个四边形就是矩形，则添加的条件是
A.
，
B.
C.
D.
二、填空题（共10小题；共50分）
9.
矩形的判定定理．
（）有一个角是
?的
?是矩形．
（）有三个角是
?的
?是矩形．
（）对角线
?的平行四边形是矩形．
（）对角线
?的四边形是矩形．
10.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的
?．
11.
有一个角是
?的平行四边形是矩形．
12.
矩形的性质定理
（）矩形具有平行四边形
?的性质．
（）矩形的四个角都是
?．
（）矩形的对角线
?．
13.
如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是
?．
14.
顺次连接四边形
各边的中点，得到四边形
，要使四边形
是矩形，可以添加的一个条件是
?．
15.
在菱形
中，，，顺次连接菱形
各边的中点所得四边形的面积为
?．
16.
如图，在矩形
中，对角线
，
相交于点
，点
，
分别是
，
的中点，若
，，则
的周长为
?
．
17.
如图，折叠矩形纸片
，使点
落在
上一点
处，折痕的两端点分别在
，
上（含端点），且
，．设
，则
的取值范围是
?．
18.
如图，在
中，．
是
的中点，，．若
，，则四边形
的周长是
?．
三、解答题（共4小题；共60分）
19.
如图，矩形
的对角线
，
相交于点
，点
，
在
上，．
（1）求证：；
（2）若
，，求矩形
的面积．
20.
如图，在矩形
中，，
相交于点
，
平分
，交
于点
，连接
，若
，求
的度数．
21.
如图，已知矩形
的对角线
，
相交于点
，，，，
分别是
，，，
的中点，求证：四边形
是矩形．
22.
如图，在平行四边形
中，，四个角的平分线
，，，
的交点分别是
，，过点
，
分别作
与
间的垂线
与
，在
与
上的垂足分别是
，
与
，，连接
．
（1）求证：四边形
是矩形；
（2）已知
，，，求
的长．
答案
1.
C
2.
B
3.
D
4.
A
5.
A
6.
B
【解析】，
，
四边形
是矩形，
，
，
又
，
，
，
是等边三角形，
，
，
又
，
，
故选B．
7.
D
8.
C
9.
直角，平行四边形，直角，四边形，相等，互相平分且相等
10.
一半
11.
直角
12.
所有，直角，相等
13.
直角三角形
14.
15.
16.
17.
18.
19.
（1）
四边形
是矩形，
，，，．
，
．
在
和
中，
．
．
??????（2）
，，，
，
，
是等边三角形．
．
．
在
中，
．
矩形
的面积
．
20.
因为四边形
是矩形，
所以
，，
因为
平分
，
所以
．
因为
，
所以
．
所以
为等边三角形．
所以
，．
所以
．
因为
，
所以
．
所以
．
所以
．
所以
．
21.
是
的中点，
是
的中点，
，，
四边形
是矩形，
，，
．
同理可证
，
四边形
是平行四边形，
，，
，
同理可证
，
又
，
，
四边形
是矩形．
22.
（1）
过点
，
分别作
，
的垂线，垂足分别为
，．
，，，，，
，．
．
同理可证，．
，，，
．
．
又
，，
四边形
是矩形．
??????（2）
，
．
，，
．
在
中，
，，
．
四边形
是平行四边形，
．
又
，．
．
由（）知，，
在
和
中，
．
．
在
和
中，
，，
．
．
．
．
四边形
是矩形，
．
第9页（共9
页）北师大版九上数学
第1章
第2节
第2课时矩形的性质与判定（2）
一、选择题（共5小题；共25分）
1.
下列给出的条件中，不能判定一个四边形是矩形的是
A.
一组对边平行且相等，且有一个角是直角
B.
有三个角是直角
C.
两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形
D.
一组对边平行，另一组对边相等，且两条对角线相等
2.
甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测．检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最具有说服力的是
A.
甲量得窗框两组对边分别相等
B.
乙量得窗框对角线相等
C.
丙量得窗框的一组邻边相等
D.
丁量得窗框的两组对边分别相等，且两条对角线也相等
3.
下列条件中，不能判定四边形是矩形的是
A.
有一个角为
的平行四边形
B.
四个角都相等的四边形
C.
对角线相等的平行四边形
D.
对角线互相平分的四边形
4.
在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟订的方案，其中正确的是
A.
测量对角线是否相互平分
B.
测量两组对边是否分别相等
C.
测量一组对角是否都为直角
D.
测量其中三个角是否都为直角
5.
在平行四边形
（对角线
与
相交于点
）中添加下列条件中的一个，这个四边形就是矩形，则添加的条件是
A.
，
B.
C.
D.
二、填空题（共6小题；共30分）
6.
矩形的判定方法．
（）有一个角是
?的
?是矩形．
（）有三个角是
?的
?是矩形．
（）对角线
?的平行四边形是矩形．
（）对角线
?的四边形是矩形．
7.
已知在四边形
中，对角线
与
互相平分，交点为
，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形
成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是
?．
8.
如图，在平行四边形
中，四内角平分线相交于点
，，，．四边形
的形状是
?．
9.
木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为
厘米，宽为
厘米，对角线为
厘米，这个桌面
?（填“合格”或“不合格”）．
10.
延长等腰三角形
的腰
到点
，
到点
，分别使
，，则四边形
是
?，根据是
?．
11.
给出下列说法：①四个角都相等的四边形是矩形；②两组对边分别相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；④一组对边平行，另一组对边相等并且有一个角为直角的四边形是矩形.其中正确的个数是
?．
三、解答题（共4小题；12-14题各11分，15题12分，共45分）
12.
如图，在
中，，
是
的中线，延长
到点
，使
，连接
，，求证：四边形
是矩形．
13.
如图，在
中，，
平分
，四边形
是平行四边形，
交
于点
，连接
．求证：四边形
为矩形．
14.
如图，已知
为平行四边形
外一点，，，求证：平行四边形
为矩形．
15.
如图，已知在
中，点
是边
上一个动点，过点
作直线
，设
交
的平分线于点
，交
的外角平分线于点
．
（1）求证：；
（2）当点
运动到何处时，四边形
是矩形?并证明你的结论．
答案
1.
D
2.
D
3.
D
4.
D
5.
C
6.
直角，平行四边形，直角，四边形，相等，相等且互相平分
7.
（答案不唯一）
8.
矩形
9.
合格
10.
矩形，对角线互相平分且相等的四边形是矩形
11.
12.
是
的中线，
．
，
四边形
是平行四边形．
又
，
四边形
是矩形．
13.
因为
，
平分
，
所以
，．
因为四边形
是平行四边形，
所以
，．
因为
，
所以
，
所以四边形
是矩形．
14.
连接
，，交于点
，连接
，如图所示，
在平行四边形
中，，．
在
中，．
在
中，．
．
平行四边形
为矩形．
15.
（1）
，
．
又
，
，
．
同理可证
，
．
??????（2）
当
为
的中点时，四边形
为矩形．
证明如下：
（已证），，
四边形
为平行四边形．
又
，
为
内、外角的平分线，
．
四边形
为矩形．
第1页（共5
页）北师大版九上数学第1章第2节第1课时
矩形的性质与判定（1)
一、选择题（共4小题；共20分）
1.
矩形具有而菱形不具有的性质是
A.
两组对边分别平行
B.
对角线相等
C.
对角线互相平分
D.
两组对角分别相等
2.
已知在直角三角形中，两直角边长分别为
和
，则斜边上的中线的长度是
A.
B.
C.
D.
3.
已知矩形的面积是
，其中一边与一条对角线的比为
，则矩形的对角线长是
A.
B.
C.
D.
4.
如图，把矩形
沿
对折，若
，则
的大小为
A.
B.
C.
D.
二、填空题（共10小题；共50分）
5.
矩形的定义
有一个角是
?的平行四边形叫做矩形．
6.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的
?．
7.
如图，在矩形
中，，，则图中五个小矩形的周长之和为
?．
8.
矩形的两边长分别为
厘米和
厘米，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分的长分别为
?厘米和
?厘米．
9.
矩形的性质定理．
（）矩形的四个角都是
?．
（）矩形的对角线
?．
10.
对称性：矩形是
?图形，有
?条对称轴.
11.
下列性质中，矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是
?．（填序号）
①对边平行且相等；
②对角线互相平分；
③对角相等；
④对角线相等；
⑤四个角都是直角；
⑥轴对称图形．
12.
若已知矩形的周长为
，长是宽的
倍，则长为
?．
13.
已知在
中，
为斜边
上的中线，若
，那么
?．
14.
已知矩形
的两条对角线
，
交于点
，，，则
的周长为
?．
三、解答题（共5小题；共80分）
15.
如图，在矩形
中，两条对角线
，
相交于点
，，求
与
的长度．
16.
如图，在矩形
中，，，若将矩形折叠，使点
与点
重合，那么折痕
的长度是多少?
17.
如图，在矩形
中，
为
上一点，
垂直于
交
于点
，若
，矩形
的周长为
，且
，求
的长．
18.
如图，矩形
的两条对角线
，
相交于点
，，，垂足分别为
，，，，求
的度数和
的长度．
19.
如图，已知
为平行四边形
外一点，，，求证：平行四边形
为矩形．
答案
1.
B
2.
D
3.
C
4.
B
5.
直角
6.
一半
7.
8.
，
9.
直角，相等
10.
轴对称，两
11.
④⑤⑥
12.
13.
14.
15.
，．
16.
．
17.
．
18.
由矩形的性质，可知
．
由
，可知
是
的中点．
又
，
根据三线合一，得
．
所以
．
所以
是等边三角形．
所以
，
所以
．
由三角形的中位线定理，得
．
所以
．
19.
连接
，，交于点
，连接
，如图所示，
在平行四边形
中，，．
在
中，．
在
中，．
．
平行四边形
为矩形．
第5页（共5
页）
