北师大版九上数学
第1章
第1节
第1课时菱形的性质与判定（1)
一、选择题（共5小题；共25分）
1.
菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是
A.
对角相等
B.
对边相等
C.
对角线互相垂直
D.
对角线相等
2.
已知菱形的周长为
，两条对角线的长度之比为
，那么两条对角线的长分别为
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
3.
如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个内角为
的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为
A.
或
B.
或
C.
或
D.
或
4.
如图，已知
，
是菱形
的对角线，则下列结论一定正确的是
A.
与
的周长相等
B.
与
的面积相等
C.
菱形的周长等于两条对角线之和的两倍
D.
菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
5.
如图，在菱形
中，，，，，垂足分别为
，，连接
，则
的面积是
A.
B.
C.
D.
二、填空题（共8小题；共40分）
6.
菱形的定义．
有
?的平行四边形叫做菱形.
7.
菱形的性质定理
（）菱形的四条边
?．
（）菱形的
?互相垂直．
8.
对称性：菱形是
?图形，有
?条对称轴．
9.
已知菱形的两条对角线的长分别是
和
，则菱形的边长为
?．
10.
如图，在菱形
中，，，则
的周长为
?．
11.
已知菱形中较大角是较小角的
倍，高为
，则这个菱形的边长为
?．
12.
如图，已知菱形
的对角线
，
的长分别为
，，
于点
，则
的长为
?．
13.
如图，菱形
的边长是
，
是
的中点，且
，则菱形
的面积为
?
．
三、解答题（共7小题；14-19题各12分。20题13分，共85分）
14.
如图，已知在菱形
中，，
分别是
，
上的点，且
，求证：．
15.
如图，已知在菱形
中，点
为对角线
与
的交点，在
中，，，求菱形
两对边的距离
．
16.
如图，在菱形
中，
是
的中点，作
，交
于点
，如果
，求
的长．
17.
如图，在菱形
中，对角线
与
相交于点
，
过点
且与边
，
分别交于点
和点
．
（1）请你判断
和
的数量关系，并说明理由．
（2）过点
作
交
的延长线于点
，当
，
时，求
的周长．
18.
如图，四边形
为菱形，
在
的延长线上，
在
的反向延长线上，且
．
求证：．
19.
如图，，分别以
，
为圆心，以
为半径作弧，两条弧分别相交于点
和点
．依次连接
，，，，连接
交
于点
．
（1）判断四边形
的形状并说明理由；
（2）求
的长．
20.
如图，，
平分
交
于点
，点
在
上且
，连接
．求证：四边形
是菱形．
答案
1.
C
【解析】菱形除具有平行四边形的一切性质外，还具有对角线互相垂直且平分每一组对角的性质．
2.
C
3.
D
4.
B
5.
B
6.
一组邻边相等
7.
相等，对角线
8.
轴对称，两
9.
10.
11.
12.
13.
14.
四边形
是菱形，
，．
在
与
中，
，，，
．
，
．
15.
．
16.
．
17.
（1）
四边形
是菱形，
，，
．
．
??????（2）
四边形
是菱形，
，．
．
．
，，
四边形
是平行四边形．
．
的周长是：
即
的周长是
．
18.
证明：
四边形
是菱形，
，
，
．
，
，
．
在
和
中，
，
，
．
19.
（1）
四边形
为菱形．
理由如下：
由作法得
，
所以四边形
为菱形．
??????（2）
四边形
为菱形，
，，，
在
中，，
．
20.
，
，
平分
，
，
，
，
又
，
，
又
，即
，
四边形
为平行四边形，
又
，
四边形
为菱形．
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第1章
第1节
第2课时菱形的性质与判定（2)
一、选择题（共9小题；共45分）
1.
下列命题中正确的是
A.
对角线相等的平行四边形是菱形
B.
对角线互相垂直的四边形是菱形
C.
对角线相等的四边形是菱形
D.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
2.
如图，四边形
的对角线
，
互相垂直，则下列条件能判定四边形
为菱形的是
A.
B.
，
互相平分
C.
D.
3.
已知平行四边形
的对角线相交于点
，分别添加下列条件：①
；②
；③
平分
；④
．其中使得平行四边形
是菱形的条件有
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
4.
下列图形中，不一定是菱形的是
A.
两条对角线互相垂直平分的四边形
B.
四条边都相等的四边形
C.
有一条对角线平分一个内角的平行四边形
D.
用两个边长相等的等边三角形拼成的图形
5.
小明和小亮在做一道习题：若四边形
是平行四边形，请补充条件：，使得四边形
是菱形．小明补充的条件是
；小亮补充的条件是
．你认为下列说法正确的是
A.
小明、小亮都正确
B.
小明正确，小亮错误
C.
小明错误，小亮正确
D.
小明、小亮都错误
6.
如图，在四边形
中，，，，
分别是
，，，
的中点，要使四边形
是菱形，则四边形
只需要满足一个条件，是
A.
四边形
是梯形
B.
四边形
是菱形
C.
对角线
D.
7.
如图，两条笔直的公路
，
相交于点
，村庄
的村民在公路的旁边建三个加工厂
，，，已知
公里，村庄
到公路
的距离为
公里，则村庄
到公路
的距离是
A.
公里
B.
公里
C.
公里
D.
公里
8.
如图，下列条件之一能使平行四边形
是菱形的为
①
；②
；③
；④
．
A.
①③
B.
②③
C.
③④
D.
①②③
9.
如图，
既是
的中点，又是
的中点，并且
，连接
，，，，则这四条线段的大小关系是
A.
全相等
B.
互不相等
C.
只有两条相等
D.
不能确定
二、填空题（共7小题；共35分）
10.
菱形的判定定理
（）有一组
?相等的平行四边形是菱形；
（）对角线互相
?的平行四边形是菱形；
（）对角线互相
?且
?的四边形是菱形；
（）四边
?的四边形是菱形．
11.
已知四边形
是平行四边形，请补充条件：
?（写一个即可），使四边形
是菱形．
12.
若平行四边形
的对角线
，且
，则
?．
13.
四边形的四边长顺次为
，，，，且
，则此四边形一定是
?．
14.
若菱形的两条对角线长分别是
和
，则它的边长为
?，面积为
?．
15.
如图，菱形
的对角线的长分别为
和
，
是对角线
上任意一点（点
不与点
，
重合），且
交
于点
，
交
于点
，则阴影部分的面积是
?．
16.
如图，菱形
的周长为
，
的垂直平分线
经过点
，则对角线
的长是
?
．
三、解答题（共5小题；共70分）
17.
如图，在
中，，
是角平分线，
为
延长线上一点，
交
于点
，连接
，，求证：四边形
是菱形．
18.
如图，
是
的角平分线，
交
于点
，
交
于点
，四边形
是菱形吗?说明你的理由．
19.
如图，在给定的一张平行四边形纸片．上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：
甲：连接
，作
的垂直平分线
，分别交
，，
于点
，，，连接
，，则四边形
是菱形．
乙：分别作
，
的平分线
，，分别交
，
于点
，，连接
，则四边形
是菱形．
根据两人的作法，你会做出怎样的判断?
20.
如图，在四边形
中，，对角线
的垂直平分线与边
，
分别相交于点
，．
（1）求证：四边形
是菱形；
（2）若
，，求菱形
的周长．
21.
如图，在菱形
中，将对角线
分别向两端延长到点
和
，使得
．连接
，，，．
求证：四边形
是菱形．
答案
1.
D
2.
B
3.
C
4.
D
5.
B
6.
D
7.
B
【解析】如图，连接
，作
，
.
公里，
四边形
是菱形.
.
公里．
8.
A
【解析】根据菱形的判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边
形是菱形可知：①，③正确．
9.
A
10.
邻边，垂直，垂直，平分，相等
11.
（答案不唯一）
12.
13.
菱形
14.
，
15.
16.
17.
在
中，，
是角平分线，
，，
，
，
又
，
，
，，
得四边形
为平行四边形．
又
，
四边形
是菱形．
18.
四边形
是菱形．理由如下：
，，
四边形
是平行四边形．
平分
，
．
四边形
是平行四边形，
．
，
．
．
四边形
是菱形．
19.
甲、乙两人均正确．
20.
（1）
，
．
直线
是对角线
的垂直平分线，
，．
在
和
中，
，
．
，
四边形
是平行四边形．
，
四边形
是菱形．
??????（2）
四边形
是菱形，，，
，，，
在
中，由勾股定理得
．
菱形
的周长
．
21.
方法一：如图，连接
交
于点
，
四边形
是菱形，
，，，
又
，
，
四边形
是菱形．
【解析】方法二：
四边形
是菱形，
，，
，又
，
，
，
四边形
是菱形．
方法三：
四边形
是菱形，
，，，
，
又
，
，
，
，
，
，
又
，，
，
，同理可证
，
，
四边形
是平行四边形，
又
，
平行四边形
是菱形．
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第1章
第1节
第3课时菱形的性质与判定（3)
一、选择题（共4小题；共20分）
1.
下列命题中，真命题是
A.
对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B.
有一条对角线平分对角的四边形是菱形
C.
菱形是对角线互相垂直平分的四边形
D.
菱形的对角线相等
2.
如图，
既是
的中点，又是
的中点，并且
，连接
，，，，则这四条线段的大小关系是
A.
全相等
B.
互不相等
C.
只有两条相等
D.
不能确定
3.
如图，在菱形
中，，，，
分别是菱形四边的中点，连接
，，且
，
交于点
，则图中共有菱形
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
4.
如图，将两根宽度都为
的纸条叠放在一起，如果
，则四边形
的面积为
A.
B.
C.
D.
二、填空题（共6小题；共30分）
5.
若菱形的两条对角线的长分别是
，，则菱形的面积等于
?．
6.
若菱形的两条对角线长分别是
和
，则它的边长为
?，面积为
?．
7.
如图，在四边形
中，，，，，
分别是
，，，
的中点，则
?．
8.
如图，菱形
的对角线的长分别为
和
，
是对角线
上任意一点（点
不与点
，
重合），且
交
于点
，
交
于点
，则阴影部分的面积是
?．
9.
如图，在菱形
中，过对角线
上任一点
，作
，，下列结论正确的是
?．（填序号）
①图中共有
个菱形；
②
；
③四边形
的面积等于
的面积的一半；
④四边形
的周长等于四边形
的周长．
10.
如图，菱形
的周长为
，
的垂直平分线
经过点
，则对角线
的长是
?
．
三、解答题（共4小题；11题12分，12题10分，13-14题各14分，共50分）
11.
已知菱形的周长为
，它的一条对角线长为
．求：
（1）菱形的每一个内角的度数；
（2）菱形另一条对角线的长；
（3）菱形的面积．
12.
如图所示，学校有一处花坛是由两个一样的菱形图案组成的，小颖沿其中一个的边缘走完一周用了
，而她从
到
用相同的速度直线行走用了
．求
的度数．
13.
如图，，点
，
在
上，，．
（1）求证：四边形
是菱形；
（2）若
，求证：．
14.
如图，在
中，
是边
上的一个动点，过点
作直线
，设
交
的平分线于点
，交
的外角平分线于点
．
（1）求证：；
（2）当点
在边
上运动时，四边形
可能是菱形吗?请说明理由．
答案
1.
C
2.
A
3.
B
4.
C
5.
6.
，
7.
8.
9.
①②④
10.
11.
（1）
，，，．
??????（2）
另一条对角线长
．
??????（3）
菱形的面积为
．
12.
13.
（1）
，
．
，
．
．
，
．
又
，
四边形
是平行四边形．
，
四边形
是菱形．
??????（2）
，，，
四边形
，
均为平行四边形，
，．
，
．
14.
（1）
平分
，
，
，
，
，
，
同理可证
，
．
??????（2）
四边形
不可能是菱形．理由如下：
若四边形
为菱形，则
．
由（），可得
．
在平面内过同一点
不可能有两条直线垂直于同一条直线，
不能成立，
四边形
不可能是菱形．
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