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数学华师版
八年级上
13.1.2
定理与证明
问题引入
1、什么是命题？怎样分类？
命题:判断一件事情的语句叫命题。
(1)命题的结构:命题由题设和结论两部分构成，常可写成“如果..，那么...”的形式。
(2)命题的分类:
正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。
2、怎样判断命题的真假？
判断一个命题是真命题，可以从公理或定理出发，用逻辑推理的方法证明(公理和定理都是真命题)
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立就可以了，这种方法称为举反例。
命题：①对顶角相等；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等；⑤两个锐角的和是锐角．其中真命题是(
)
A.
①②
B.
①③
C.
③④
D.
③⑤
解：对顶角相等，①是真命题；
在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，
②是真命题；
相等的角不一定是对顶角，③是假命题；
两直线平行，同位角相等，④是假命题；
两个锐角的和是锐角或直角或钝角，⑤是假命题．
故选A．
两点确定一条直线;
两点之间，线段最短;
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
公认的真命题
有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理(
theorem).
(1)一位同学在钻研数学题时发现:
2+1=3,
2x3+1=7,
2x3x5+1=31,
2x3x5x7+1=211.
于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：从
质数2开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定
也是质数，他的结论正确吗?
计算一下2
x3x5x7x11+1
与2x3x5x7x11x13+1，你发现了什么?
解：∵2×3×5×7×11×13+1=30031，
30031=59×509，
∴30031是合数，故他的结论不正确．
(2)如图13.1.1所示，一位同学在画图时发现:三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，于是他得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.他的结论正确吗?
画一个钝角三角形试试看.
A
C
B
钝角三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的外部
(3)
我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七
边形等的内角和,得到一个结论：n边形的内角和等于
(n-2)
x
180°，这个结论正确吗?是否有一个多边形的
内角和不满足这一规律?
正确
根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明(
proof).
已知:如图13.
1.2，在△ABC中，∠C=
90°.
求证:∠A+∠B=
90°.
证明:∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角
和等于180°)
,
又∵∠C=90°(已知)，
∴∠A+∠B=180°-∠C
=90°(等式的性质).
变式
如图，若∠1=∠C，AB//CE，则∠A=∠C.请用推理的方法说明它是真命题．
证明：∵AB//CE(已知)，
∴∠1=∠A(两直线平行，同位角相等)，
∵∠1=∠C(已知)，
∴∠A=∠C(等量代换)．
所以此命题是真命题．
证明真命题的步骤：
(1)根据题意画出图形;
(2)根据题设和结论，结合图形，写出已知和求证;
(3)经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程.
证明假命题的方法一
举反例
1、给出下列几个命题，其中真命题的个数是(
)
①若a>b则ac2>bc2
②三条直线a，b，c，若a//b，b//c则a//c
③内错角相等
④若直线l1⊥l2，l1⊥l3，则l2//l3
⑤垂线段最短
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
课堂练习
解：①若a>b则ac2>bc2，a，b可能有一个为零，所以是假命题;
②三条直线a，b，c，若a//b，b//c则a//c，是真命题;
③两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，是假命题;
④在同一平面内，三条直线l1、l2、l3，若直线l1⊥l2，l1⊥l3，则l2//l3，是假命题;
⑤直线外一点到这条直线的所有线段中垂线段最短，是假命题．即命题②是真命题，
故答案为A．
2.举反例说明下面的命题是假命题．
(1)互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角；
(2)两个负数的差一定是负数；
(3)两直线被第三条直线所截，同位角相等；
(4)一正一负两个数的和为0.
【解析】
(1)根据互为补角的定义举例即可；
(2)被减数大于减数，差是正数；
(3)两直线不是平行线；
(4)这两个数不是互为相反数．
解：(1)两个直角互补，所以，互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角为假命题；
(2)－1－(－2)＝1，所以，两个负数的差一定是负数是假命题；
(3)两直线不是平行线，则被第三条直线所截得到的同位角不相等，所以，两直线被第三条直线所截，同位角相等是假命题；
(4)－1＋2＝1，所以，一正一负两个数的和为0是假命题．
3.若∠1与∠B互为补角，∠B＝∠E，那么直线AB与直线DE平行吗？直线BC与直线EF平行吗？为什么？
【解析】
要判断AB与DE平行，只需证明∠1＋∠B＝180°即可，要说明BC∥EF，只需要说明∠2＋∠E＝180°即可．
解：
∵∠1＋∠B＝180°，
∴AB∥DE.
又∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，
又∵∠B＝∠E，
∴∠2＋∠E＝180°，
∴BC∥EF.
4、如图，现有以下3句话：①AB//CD；②∠B=∠C；③∠E=∠F.请以其中两句话为条件，第三句话为结论构造命题．
(1)你构造的是哪几个命题？
(2)你构造的命题是真命题还是假命题？请选择一个加以证明．
解：(1)命题1：条件①②，结论③；命题2：条件①③，结论②；命题3：条件②③，结论①．
(2)三个命题都是真命题．选择命题1
证明：∵AB//CD，
∴∠B=∠CDF．
∵∠B=∠C，∴∠C=∠CDF，
∴CE//BF，
∴∠E=∠F．
1、什么是定理？
有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理
2、什么是证明？
根据条件定义以及基本事实定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明
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13.1.2
定理与证明
课题
13.1.2
定理与证明
单元
第14单元
学科
数学
年级
八年级（上）
学习目标
1理解基本事实、定理等概念.
2.理解证明的概念，并会对真命题进行证明.
重点难点
理解证明的概念，并会对真命题进行证明.
教学过程
教学环节
教师活动
设计意图
讲授新课
1、什么是命题？怎样分类？命题:判断一件事情的语句叫命题。(1)命题的结构:命题由题设和结论两部分构成，常可写成“如果..，那么...”的形式。(2)命题的分类:正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。2、怎样判断命题的真假？判断一个命题是真命题，可以从公理或定理出发，用逻辑推理的方法证明(公理和定理都是真命题)判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立就可以了，这种方法称为举反例。
命题：①对顶角相等；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等；⑤两个锐角的和是锐角．其中真命题是(
)A.
①②
B.
①③
C.
③④
D.
③⑤解：对顶角相等，①是真命题；在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，②是真命题；相等的角不一定是对顶角，③是假命题；两直线平行，同位角相等，④是假命题；两个锐角的和是锐角或直角或钝角，⑤是假命题．故选A．两点确定一条直线;两点之间，线段最短;过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理(
theorem).(1)一位同学在钻研数学题时发现:2+1=3,2x3+1=7,2x3x5+1=31,2x3x5x7+1=211.于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：从质数2开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定也是质数，他的结论正确吗?解：∵2×3×5×7×11×13+1=30031，30031=59×509，∴30031是合数，故他的结论不正确．(2)如图13.1.1所示，一位同学在画图时发现:三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，于是他得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.他的结论正确吗?
画一个钝角三角形试试看.钝角三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的外部(3)
我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和,得到一个结论：n边形的内角和等于(n-2)
x
180°，这个结论正确吗?是否有一个多边形的内角和不满足这一规律?
正确根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明(
proof).
已知:如图，在△ABC中，∠C=
90°.求证:∠A+∠B=
90°.证明:∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)
,又∵∠C=90°(已知)，∴∠A+∠B=180°-∠C
=90°(等式的性质).
变式
如图，若∠1=∠C，AB//CE，则∠A=∠C.请用推理的方法说明它是真命题．证明：∵AB//CE(已知)，∴∠1=∠A(两直线平行，同位角相等)，∵∠1=∠C(已知)，∴∠A=∠C(等量代换)．所以此命题是真命题．证明真命题的步骤：(1)根据题意画出图形;(2)根据题设和结论，结合图形，写出已知和求证;(3)经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程.证明假命题的方法一
举反例课堂练习：1、给出下列几个命题，其中真命题的个数是(
)①若a>b则ac2>bc2②三条直线a，b，c，若a//b，b//c则a//c③内错角相等④若直线l1⊥l2，l1⊥l3，则l2//l3⑤垂线段最短A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个解：①若a>b则ac2>bc2，a，b可能有一个为零，所以是假命题;②三条直线a，b，c，若a//b，b//c则a//c，是真命题;③两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，是假命题;④在同一平面内，三条直线l1、l2、l3，若直线l1⊥l2，l1⊥l3，则l2//l3，是假命题;
⑤直线外一点到这条直线的所有线段中垂线段最短，是假命题．即命题②是真命题，故答案为A．2.举反例说明下面的命题是假命题．
(1)互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角；
(2)两个负数的差一定是负数；
(3)两直线被第三条直线所截，同位角相等；
(4)一正一负两个数的和为0.解：(1)两个直角互补，所以，互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角为假命题；
(2)－1－(－2)＝1，所以，两个负数的差一定是负数是假命题；
(3)两直线不是平行线，则被第三条直线所截得到的同位角不相等，所以，两直线被第三条直线所截，同位角相等是假命题；
(4)－1＋2＝1，所以，一正一负两个数的和为0是假命题．3.若∠1与∠B互为补角，∠B＝∠E，那么直线AB与直线DE平行吗？直线BC与直线EF平行吗？为什么？【解析】
要判断AB与DE平行，只需证明∠1＋∠B＝180°即可，要说明BC∥EF，只需要说明∠2＋∠E＝180°即可．
解：
∵∠1＋∠B＝180°，
∴AB∥DE.
又∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，
又∵∠B＝∠E，
∴∠2＋∠E＝180°，
∴BC∥EF.4、如图，现有以下3句话：①AB//CD；②∠B=∠C；③∠E=∠F.请以其中两句话为条件，第三句话为结论构造命题．(1)你构造的是哪几个命题？(2)你构造的命题是真命题还是假命题？请选择解：(1)命题1：条件①②，结论③；命题2：条件①③，结论②；命题3：条件②③，结论①．(2)三个命题都是真命题．选择命题1证明：∵AB//CD，∴∠B=∠CDF．∵∠B=∠C，∴∠C=∠CDF，∴CE//BF，∴∠E=∠F．
课堂小结
1、什么是定理？有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理2、什么是证明？根据条件定义以及基本事实定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明
公认的真命题
计算一下2
x3x5x7x11+1
与2x3x5x7x11x13+1，你发现了什么?
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13.1.2定理与证明
学案
课题
13.1.2定理与证明
单元
第13章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1理解基本事实、定理等概念.
2.理解证明的概念，并会对真命题进行证明.
重点
难点
理解证明的概念，并会对真命题进行证明.
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
1、什么是命题？怎样分类？
命题:判断一件事情的语句叫命题。
(1)命题的结构:命题由题设和结论两部分构成，常可写成“如果..，那么...”的形式。
(2)命题的分类:
正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。
2、怎样判断命题的真假？
判断一个命题是真命题，可以从公理或定理出发，用逻辑推理的方法证明(公理和定理都是真命题)
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立就可以了，这种方法称为举反例。
合
作
探
究
探究一：
两点确定一条直线;
两点之间，线段最短;
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理(
theorem).
(1)一位同学在钻研数学题时发现:
2+1=3,
2x3+1=7,
2x3x5+1=31,
2x3x5x7+1=211.
于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：从
质数2开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定
也是质数，他的结论正确吗?
计算一下2
x3x5x7x11+1与2x3x5x7x11x13+1，你发现了什么?
(2)如图13.1.1所示，一位同学在画图时发现:三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，于是他得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.他的结论正确吗?
图13.1.1
画一个钝角三角形试试看.
(3)
我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和,得到一个结论：n边形的内角和等于(n-2)
x
180°，这个结论正确吗?是否有一个多边形的内角和不满足这一规律?
根据条件定义以及基本事实定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明(
proof).
探究二：
已知:如图13.
1.2，在OABC中，∠C=
90°.求证:∠A+∠B=
90°.
注意：如果要证明一个文字语言叙述的证明题,而没有给出图形、已知、求证,
我们要证明这个命题，必须:
1.首先必须根据命题的要求准确的画出图形，标出字母.
2.再根据要求按照图中所标字母写出数学语言表示的已知和求证.
3.如果命题已给出已知和求证,就可以按照所学有关公理、
定理、性质等直接进行证明
当
堂
检
测
课堂练习：
1、给出下列几个命题，其中真命题的个数是(
)
①若a>b则ac2>bc2
②三条直线a，b，c，若a//b，b//c则a//c
③内错角相等
④若直线l1⊥l2，l1⊥l3，则l2//l3
⑤垂线段最短
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
解：①若a>b则ac2>bc2，a，b可能有一个为零，所以是假命题;
②三条直线a，b，c，若a//b，b//c则a//c，是真命题;
③两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，是假命题;
④在同一平面内，三条直线l1、l2、l3，若直线l1⊥l2，l1⊥l3，则l2//l3，是假命题;
⑤直线外一点到这条直线的所有线段中垂线段最短，是假命题．即命题②是真命题，
故答案为A．
2.举反例说明下面的命题是假命题．
(1)互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角；
(2)两个负数的差一定是负数；
(3)两直线被第三条直线所截，同位角相等；
(4)一正一负两个数的和为0.
解：(1)两个直角互补，所以，互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角为假命题；
(2)－1－(－2)＝1，所以，两个负数的差一定是负数是假命题；
(3)两直线不是平行线，则被第三条直线所截得到的同位角不相等，所以，两直线被第三条直线所截，同位角相等是假命题；
(4)－1＋2＝1，所以，一正一负两个数的和为0是假命题．
3.若∠1与∠B互为补角，∠B＝∠E，那么直线AB与直线DE平行吗？直线BC与直线EF平行吗？为什么？
【解析】
要判断AB与DE平行，只需证明∠1＋∠B＝180°即可，要说明BC∥EF，只需要说明∠2＋∠E＝180°即可．
解：
∵∠1＋∠B＝180°，
∴AB∥DE.
又∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，
又∵∠B＝∠E，
∴∠2＋∠E＝180°，
∴BC∥EF.
4、如图，现有以下3句话：①AB//CD；②∠B=∠C；③∠E=∠F.请以其中两句话为条件，第三句话为结论构造命题．
(1)你构造的是哪几个命题？
(2)你构造的命题是真命题还是假命题？请选择
解：(1)命题1：条件①②，结论③；命题2：条件①③，结论②；命题3：条件②③，结论①．
(2)三个命题都是真命题．选择命题1
证明：∵AB//CD，
∴∠B=∠CDF．
∵∠B=∠C，∴∠C=∠CDF，
∴CE//BF，
∴∠E=∠F．
课
堂
小
结
1、什么是定理？
2、什么是证明？
参考答案
自主学习：
1、解：A、每个命题都有逆命题，所以A选项正确；
B、每个定理不一定有逆定理，所以B选项错误；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，所以C选项错误；
D、假命题的逆命题不一定是假命题，所以D选项错误．
故选A．
2、证明：假设结论不成立，则是直角或钝角．
当是直角时，
则，
这与三角形内角和定理矛盾；
当是钝角时，
则，
这与三角形内角和定理矛盾．
综上所述，假设不成立．
所以一定是锐角．
故答案为直角；钝角；直角；；三角形内角和定理；钝角；；三角形内角和定理．
合作探究：
探究一：
(1)解：∵2×3×5×7×11×13+1=30031，
30031=59×509，
∴30031是合数，故他的结论不正确．
(2)
钝角三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的外部
正确
探究二：
证明:∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)
,
又:∠C=90°(已知)，
∠A+∠B=180°-∠C
=90°(等式的性质).
课堂小结：
1、有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理
2、根据条件定义以及基本事实定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明
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