北师大版九上数学
第1章
第3节第2课时正方形的性质与判定（2)
一、选择题（共9小题；共45分）
1.
下列说法中不正确的是
A.
一组邻边相等的矩形是正方形
B.
对角线相等的菱形是正方形
C.
对角线互相垂直的矩形是正方形
D.
有一个角是直角的平行四边形是正方形
2.
下列命题中正确的是
A.
四角相等且两边相等的四边形是正方形
B.
对角线相等的平行四边形是正方形
C.
对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D.
对角线和一边的夹角是
的菱形是正方形
3.
如图，在
中，，
的垂直平分线
交
于点
，交
于点
，且
，添加一个条件，仍不能证明四边形
为正方形的是
A.
B.
C.
D.
4.
顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边的中点所得的四边形是
A.
平行四边形
B.
矩形
C.
菱形
D.
正方形
5.
将五个边长都为
的正方形按如图所示的方式摆放，点
，，，
分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为
A.
B.
C.
D.
6.
正方形具有而矩形不一定具有的性质是
A.
对角线相等
B.
对角线互相平分
C.
四个角都是直角
D.
每条对角线平分一组对角
7.
已知在正方形
中，，对角线
，
相交于点
，则
的周长是
A.
B.
C.
D.
8.
如图，将边长为
的正方形纸片
折叠，使点
落在边
的中点
处，点
落在点
处，折痕为
，则线段
的长度是
A.
B.
C.
D.
9.
如图，在正方形
中，点
，
分别在
，
上，且
，连接
，，相交于点
，则下列结论不正确的是
A.
B.
C.
D.
二、填空题（共7小题；共35分）
10.
正方形的判定定理．
（）对角线相等的
?是正方形．
（）对角线垂直的
?是正方形．
（）有一个角是直角的
?是正方形．
（）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的
?是正方形．
11.
在矩形
中，，
分别是
，
的中点，，
分别是
，
的中点，当
?时，四边形
是正方形．
12.
如图，在菱形
中，对角线
，
相交于点
，若再补充一个条件能使菱形
成为正方形?则这个条件是
?．（只填一个条件即可）
13.
如图，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕
翻折上去，使
与边
上的
重合，则四边形
就是一个大的正方形，他判定的方法是
?．
14.
如图，四边形
的两条对角线
，
互相垂直，，，，
分别是四边形
四条边的中点．如果
，，那么四边形
的面积为
?．
15.
如图，正方形
的周长为
，依次连接正方形
各边的中点，得到四边形
，则四边形
的形状是
?，四边形
的周长等于
?
，四边形
的面积等于
?
．
16.
四边形
的对角线
和
相交于点
，则下列几组条件中能判定它是正方形的是
?．（只需要填上序号）
①
，；
②
，，，；
③四边形
是矩形，并且
；
④四边形
是菱形，并且
．
三、解答题（共5小题；共70分）
17.
如图，在四边形
中，，垂足为
，，，，，
分别为
，，，
的中点，求证：四边形
为正方形．
18.
如图，已知在
中，，
平分
，，，垂足分别为
，，求证：四边形
是正方形．
19.
如图，
是
的垂直平分线，交
于点
，过点
作
垂直于
，
垂直于
，垂足分别为
，．
（1）求证：；
（2）若
，求证：四边形
是正方形．
20.
已知：如图，在矩形
中，，
分别是边
，
的中点，，
分别是线段
，
的中点．
（1）求证：；
（2）判断四边形
是什么特殊四边形，并证明你的结论．
21.
在正方形
中，点
是
上一动点，连接
，分别过点
，
分别作
，，垂足分别为
，，如图①．
（1）请探索
，，
这三条线段长度有怎样的数量关系，若点
在
的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系?若点
在
的延长线上呢（如图③）?请分别直接写出结论．
（2）请在（）中的三个结论中选择一个加以证明．
答案
1.
D
2.
D
3.
D
4.
D
5.
B
【解析】取题图中前两个正方形，如图，连接
，，点
是正方形
的中心，
则
，，
，
，，
四边形
的面积等于
的面积．
的面积是正方形
的面积的
，正方形
的面积为
，
四边形
的面积为
，
四块阴影面积的和为
．
故选B．
6.
D
7.
A
8.
A
9.
C
【解析】因为四边形
是正方形，
所以
，，
又因为
，
所以
，
所以
，，，
所以A正确，C错误；
因为
，，，
所以
，
所以B正确；
因为
，，
所以
，
所以
，
所以
，
所以D正确．
10.
菱形，矩形，菱形，平行四边形
11.
12.
或
13.
有一组邻边相等的矩形是正方形
14.
15.
正方形，，
16.
①②④
17.
因为
，，，
分别为
，，，
的中点，
所以
，，，，，，，．
所以
，．
所以四边形
为平行四边形．
因为
，
所以
．
所以四边形
为菱形．
因为
，，，
所以
．
所以四边形
为正方形．
18.
，，，
．
四边形
是矩形．
又
平分
，，，
，
四边形
是正方形．
19.
（1）
是
的垂直平分线，
，
又
，
（等腰三角形的三线合一）．
??????（2）
，，，
即
，
四边形
是矩形，
又
，，，
，
矩形
是正方形．
20.
（1）
四边形
是矩形，
，，
是边
的中点，
，
．
??????（2）
四边形
是菱形．证明如下：
，
分别是边
，
的中点，
，，
，
同理可得
，
四边形
为平行四边形，
又
，
，
，
分别是线段
，
的中点，
，，
，
平行四边形
是菱形．
21.
（1）
图①的结论是
；
图②的结论是
；
图③的结论是
．
??????（2）
对于图①：
，
．
，
．
，，
．
在正方形
中，，
．
，．
，
．
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页）北师大版九上数学
第1章
第3节第1课时正方形的性质与判定（1）
一、选择题（共7小题；共35分）
1.
正方形具有而菱形不一定具有的性质是
A.
对角线互相垂直平分
B.
每条对角线平分一组对角
C.
对角线相等
D.
四条边相等
2.
正方形具有而矩形不一定具有的性质是
A.
对角线相等
B.
对角线互相平分
C.
四个角都是直角
D.
每条对角线平分一组对角
3.
如图，正方形
的对角线
是菱形
的一边，则
的度数为
A.
B.
C.
D.
4.
已知在正方形
中，，对角线
，
相交于点
，则
的周长是
A.
B.
C.
D.
5.
如图，将边长为
的正方形纸片
折叠，使点
落在边
的中点
处，点
落在点
处，折痕为
，则线段
的长度是
A.
B.
C.
D.
6.
下列说法中不正确的是
A.
一组邻边相等的矩形是正方形
B.
对角线相等的菱形是正方形
C.
对角线互相垂直的矩形是正方形
D.
有一个角是直角的平行四边形是正方形
7.
如图，正方形
的边长为
，
在
上，且
，
是
上一动点，则
的最小值为
A.
B.
C.
D.
二、填空题（共8小题；共40分）
8.
如图，已知四边形
是正方形，
是等边三角形，则
?．
9.
如图，已知正方形
的边长为
，则图中阴影部分的面积为
?
．
10.
如图，
为边长为
的正方形
内的一点，
为等边三角形，则
?．
11.
如图，已知点
是正方形
的对角线
上一点，
于点
，
于点
，连接
，给出下列五个结论：①
；②
；③
一定是等腰三角形；④
；⑤
．其中正确结论的序号是
?．
12.
如图，在正方形
中，点
是
上的一点，
与
交于点
．若
，则
?．
13.
正方形的判定定理．
（）对角线相等的
?是正方形．
（）对角线垂直的
?是正方形．
（）有一个角是直角的
?是正方形．
（）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的
?是正方形．
14.
在矩形
中，，
分别是
，
的中点，，
分别是
，
的中点，当
?时，四边形
是正方形．
15.
如图，在正方形
中，
是对角线
上一点，
的延长线交
于点
，连接
．若
，则
?
．
三、解答题（共5小题；共75分）
16.
如图，在正方形
中，，
交对角线
于点
，交
于点
，求
的度数．
17.
如图，已知在正方形
中，
是边
上的一点，
为
延长线上的一点，．
（1）求证：；
（2）若
，求
的度数．
18.
如图，四边形
是边长为
的正方形，点
，
分别是边
，
的中点，，且
交正方形外角的平分线
于点
．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）求
的面积．
19.
如图（），在正方形
中，
是对角线
上的一点，点
在
的延长线上，且
，
交
于
．
（1）证明：；
（2）求
的度数；
（3）如图（），把正方形
改为菱形
，其他条件不变，当
时，连接
，试探究线段
与线段
的数量关系，并说明理由．
20.
如图，已知在
中，，
平分
，，，垂足分别为
，，求证：四边形
是正方形．
答案
1.
C
2.
D
3.
C
4.
A
5.
A
6.
D
7.
C
【解析】连接
，由正方形的对称性，知
，则
的最小值即为
的最小值，也就是线段
的长．
连接
，在
中，，
（舍负）．
8.
9.
10.
11.
①②④⑤
12.
13.
菱形，矩形，菱形，平行四边形
14.
15.
【解析】因为正方形
中，，
所以
，，
因为
，，，
所以
，
所以
，
因为
是
的外角，
所以
，
故答案为：．
16.
提示：先证
，得
．
17.
（1）
四边形
是正方形，
，，
在
和
中，
，，，
．
??????（2）
．
18.
（1）
因为
，
所以
．
在
中，，
所以
．
??????（2）
因为
，
分别是正方形
的边
，
的中点，
所以
，且
．
又
是
的平分线，
所以
．
在
和
中，
所以
．
??????（3）
由
，得
．
又
，
所以
是等腰直角三角形．
由
，，知
．
所以
．
19.
（1）
在正方形
中，，
，
在
和
中，
．
，
，
．
??????（2）
由（）知
，
，
，
，
，
，
（对顶角相等），
，
即
．
??????（3）
在菱形
中，，，
在
和
中，
，
，．
，
，
，
，
，
，
（对顶角相等），
，
即
，
是等边三角形，
，
．
20.
，，，
．
四边形
是矩形．
又
平分
，，，
，
四边形
是正方形．
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