3.7 二次函数与一元二次方程 课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
第三章
二次函数
7
二次函数与一元二次方程的关系
知识点一
二次函数与一元二次方程的关系
当y＝0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）就成为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）.方程若有解，其解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴（即直线y＝0）交点的横坐标.因此有如下关系:
当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
当b2-4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有一个交点；
当b2-4ac＜0时，方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点.
知识拓展
①二次函数刻画的是某一变化过程中两个变量之间的关系；一元二次方程刻画的是这两个变量在变化过程中，当因变量取某一确定值时的情况.如图所示:
知识拓展
例1
抛物线y＝2x2＋2（k-1）x-k（k为常数）与x轴交点的个数是__________.
例1
抛物线y＝2x2＋2（k-1）x-k（k为常数）与x轴交点的个数是__________.
解析:
∵△＝［2（k-1）］2-4×2×（-k）＝4k2＋4＞0，
∴抛物线y＝2x2＋2（k-1）x-k（k为常数）与x轴有两个交点.
例1
抛物线y＝2x2＋2（k-1）x-k（k为常数）与x轴交点的个数是__________.
解析:
∵△＝［2（k-1）］2-4×2×（-k）＝4k2＋4＞0，
∴抛物线y＝2x2＋2（k-1）x-k（k为常数）与x轴有两个交点.
故答案为
2.
例2
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，下列结论:①b＞0；②a-b＋c＝0；③一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；④当x＜-1或x＞3时，y＞0.上述结论中正确的是_____________.（填上所有正确结论的序号）
解析
由题图可知，对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴b＝-2a，抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（-1，0）.
∵a＞0，∴b＜0，∴①错误；
当x＝-1时，y＝0，即a-b＋c＝0，∴②正确；
一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0（a≠0）可以看成是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝-1的交点，
由图象可知函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝-1有两个不同的交点，
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根∴③正确；
由题图可知，当x＜-1或x＞3时，y＞0，∴④正确.
解析
由题图可知，对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴b＝-2a，抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（-1，0）.
∵a＞0，∴b＜0，∴①错误；
当x＝-1时，y＝0，即a-b＋c＝0，∴②正确；
一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0（a≠0）可以看成是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝-1的交点，
由图象可知函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝-1有两个不同的交点，
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根∴③正确；
由题图可知，当x＜-1或x＞3时，y＞0，∴④正确.
答案
②③④
方法归纳
数形的有机结合与灵活转换是解决此类题的关键.
知识点二
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
由二次函数与一元二次方程的关系，可以用图象估算一元二次方程的根步骤:先利用图象大致求出一元二次方程的根的取值范围，再借助计算器利用两头夹逼的方法探索，逐步缩小方程根的取值范围，最终确定方程的近似根.
温馨提示
通过画函数的图象解一元二次方程可使解题过程直观化，但存在作图的误差，因此通过这种方法求得的方程的解一般是近似的.
例3
用图象法求一元二次方程x2-2x-1＝0的近似解（精确到0.1）.
解析
令y＝x2-2x-1，则y＝（x-1）2-2,其对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，-2）.
列表如下:
描点、连线，图象如图所示.
由图象知方程有两个根，一个在-0.5和0之间，另一个在2和2.5之间，易知当x＝-0.4或x＝2.4时，y≈0.因此方程x2-2x-1＝0的解的近似值为-0.4或2.4.
X
-1
-0.5
0
1
2
2.5
3
y
2
0.25
-1
-2
-1
0.25
2
点拨
图象法解方程（组）是一种直观法，其实质是观察交点坐标，即观察抛物线与x轴（即直线y＝0）的交点.
经典例题
题型一
根据抛物线与直线的交点情况，求字母的取值（范围）
例1
已知关于x的二次函数y＝（a-1）x2-2x＋3的图象与坐标轴有两个交点，则a的值是____________.
题型一
根据抛物线与直线的交点情况，求字母的取值（范围）
题型一
根据抛物线与直线的交点情况，求字母的取值（范围）
方法归纳
根据二次函数的图象与直线y＝m（m为常数）的交点情况，求有关字母的值或取值范围时，解题方法是根据对应的一元二次方程的根的情况，利用根的判别式列方程或不等式求解注意:若未说明函数是哪种类型的函数，还需分情况讨论.
题型二
根据二次函数的图象求解一元二次方程或不等式
例2
抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（-4，0）两点，下列四个结论:
①一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1＝2，x2＝-4；
②若点C（-5，y1），D（m，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；
③对于任意实数t，总有at2＋bt≤a-b；
④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2＋bx＋c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个.
其中正确的结论是___________（填写序号）.
方法归纳
易错易混
易错点
考虑不周，忽略分类讨论
判断函数图象与坐标轴的交点，要考虑两种情况，一是若函数是一次函数，则函数图象与坐标轴必有交点；二是若函数是二次函数，要分与x轴相交、与y轴相交两种情况讨论抛物线与y轴必有一交点，与x轴的交点则由b2-4ac决定注意不要忽略抛物线与y轴必有交点的情况.
例
若函数y＝mx2＋x＋1的图象与x轴只有一个公共点，则m的值是__________.